Apa itu diferensial derivatif turunan fungsi

FUNGSI TURUNAN (DERIVATIF)

Definisi

Contoh:

Contoh :

Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

Sifat-Sifat Turunan Jika ksuatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam sehingga u f() dan v g() maka berlaku:

Contoh:

Contoh Diferensial Perkalian Fungsi f() (3 6) ( + ) Cara 1: Misal : U 3 6 U 1 6 6 V + V 1 1 Sehingga: f 1 () (6 6)(+)+(3 +6).1 f 1 () 6 +1 6 1+3 6 f 1 () 9 1

Contoh :

Contoh Diferensial Pembagian Fungsi f() 3+ Misal U : 4-1 3+ U 1 V 3 4-1 V1 4 Maka : f f f f 1 1 1 1 () () () U 1 V - V 3(4 16 UV 1 1) (3 + )4 (4 1) 1 3 1 8 () 16 8 + 1 11 8 + 1

Diferensial Fungsi Komposit

Tentukan turunan dari fungsi f() (5 1) Jawab : f 1 () (5 1) (10) f 1 () 0 (5 1) f 1 () 100 3 0

Turunan Fungsi Trigonometrik jika f() cos, jika f() sin, jika f() tg, jika f() ctg, jika f() sec, jika f() cosec, maka f () sin maka f () cos maka f () sec maka f () cosec maka f () sec tg maka f () cosec ctg

Contoh: Tentukan turunan fungsi y 5 cos ( 1) Jawab: y -5 sin u () -10 sin ( 1) Tentukan turunan fungsi y sin ln Jawab: y (cos ln ) 1/ 1/ cos ln

Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus)

Turunan Fungsi Logaritma Jika y a log, maka dy 1 ln a contoh: y 5 log, dy 1 ln a 1 ln5

Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik Jika y a log u, dimana u g(), maka : a dy log e du u 3 contoh: y log + ( 3) misalkan : u ( + ) a dy log e du u log e 5 3 ( + ) + du 5log e ( 3)( + ) ( + ) ( 3) ( + ) 5log e ( 6) 5 ( + )

Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat Jika y ( a logu) n, dimana u g() dan n adalah konstanta, maka : a dy dy log e du du u 3 contoh : y (log 5 ) du misalkan u 5 10 dy log e 3(log 5 ) (10) 5 30(log 5 5 ) log e 6 (log 5 ) log e

Diferensiasi fungsi logaritmik-napier Jika y ln, maka dy/ 1/ Contoh : y ln 5, dy/ 1/ 1/5

Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier 6) ( 5 ) ( 5 3) ( ) ( 1 ) ( 5 ) ( 3) ( misalkan : 3 ln contoh: 1 + + + + + du u dy du u y du u dy

Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat Jika y (ln u) n, dimana u g() dan n : konstanta Maka : dy dy 1 du du u contoh : y (ln 5 du misalkan u 5 10 dy 1 6 3(ln 5 ) (10) 5 ) 3 (ln 5 )

Turunan Fungsi Eksponensial

Contoh: Tentukan turunan fungsi dari y 5 Jawab : dy a ln a 5 ln 5 Dalam hal y e,maka dy e juga, sebab ln e 1

Diferensasi fungsi komposit - eksponensial Jika y a u dimana u g(), maka : dy dy a a u Contoh: Kasus u ln y ln a a du 9 3 du 4 9 misalkan 3 4 Khusus :dalam hal (ln 9)(6) y u e 3 u 4 (6)9,maka dy 3 du 4 e u 6 ln 9 du

Diferensiasi fungsi kompleks Jika y u v, dimana u g() dan v h() Maka : dy contoh : dy vu vu ( 3 16 4 v 1 y v 1 )4 3 3+ du + u 4 + 3 1 3 du + u (4) + 4 + 1,misalkan : u v v (4 + 3ln 4) 3 dv ln u dv ln u + 3 ln 4 v 4 3 ln 4(3 du/ dv/ ) 4 3

Diferensiasi fungsi balikan Jika y f() dan g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse functions) Maka : dy contoh: y dy dy 1 dy / 3, inversnya 1 dy / y /3 3 1 3 y 1/3 1 3( y 1/3 ) 1 3y /3

Soal:... 3 4 f() ) +... 6 (3 4) 1 f() 3) 4 3 ) ( 1) 4 + f f 4 1 ) ( ) 4 + ) )( (3 ) ( 5) 1 + f 4 4 4 ) ( 6) + + f ) 3 log( ) ( 7) + f 3 7) log( ) ( ) 8 f ) ln( ) ( 9) + f f sin ) ( ) 10

Diferensiasi Implisit Jika f (, y)0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/ dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari contoh : 4y 8y ( 8y + ) dy dy + 4y + y dy 4y 8y + 0, tentukan + 4y dy y 4y + 1 0 dy

Diferensiasi Implisit

Contoh:

Contoh: Tentukan turunan implisit dari y + sin (y) 5

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: f(t) y g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari f(t) dibentuk t h() dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y g(t) g(h())

Contoh:

Contoh:

Soal: Tentukan turunan fungsi implisit dari 3 y 7y + 1 0 Tentukan turunan fungsi implisit dari Tentukan turunan kedua dari fungsi parameter : t + t 3 Y 3t t