Show
Fungsi y = f(x) disebut meningkat (memudar) dalam selang waktu tertentu jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)). Jika fungsi terdiferensiasi y = f(x) pada suatu ruas bertambah (berkurang), maka turunannya pada ruas ini f "(x) > 0, (f "(x)< 0). Dot xtentang ditelepon titik maksimum lokal (minimum) dari fungsi f(x) jika ada lingkungan dari titik x o, untuk semua titik yang pertidaksamaannya f(x) f(x o), (f(x) f(x o)) benar. Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi pada titik-titik ini adalah ekstrim. titik ekstrimKondisi yang diperlukan ekstrim. Jika titik xtentang adalah titik ekstrem dari fungsi f (x), maka f "(x o) \u003d 0, atau f (x o) tidak ada. Titik seperti itu disebut kritis, di mana fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya. Syarat pertama yang cukup. Biarlah xtentang- titik kritis. Jika f "(x) saat melewati suatu titik xtentang ubah tanda plus menjadi minus, lalu di titik x o fungsi memiliki maksimum, jika tidak, ia memiliki minimum. Jika turunan tidak berubah tanda saat melewati titik kritis, maka pada titik xtentang tidak ada ekstrem. Syarat cukup kedua. Biarkan fungsi f(x) memiliki f " (x) di sekitar titik xtentang dan turunan kedua f "" (x 0) di titik itu x o. Jika f "(x o) \u003d 0, f "" (x 0)> 0, (f "" (x 0)<0),>x o adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f(x). Jika f "" (x 0) = 0, maka Anda harus menggunakan kondisi cukup pertama, atau melibatkan yang lebih tinggi. Pada suatu segmen, fungsi y =f(x) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung segmen. Contoh 3.22. Tentukan ekstrem dari fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14. Keputusan. Karena f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d 3. Titik ekstrem dapat hanya berada di titik-titik ini. Jadi ketika melewati titik x 1 \u003d 2, turunan berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik ini fungsinya memiliki maksimum.Ketika melewati titik x 2 \u003d 3, turunan berubah tanda dari minus ke plus, oleh karena itu, pada titik x 2 \u003d 3, fungsi memiliki minimum Setelah menghitung nilai fungsi pada titik x 1 = 2 dan x 2 = 3, kami menemukan ekstrem dari fungsi: maksimum f (2) = 14 dan minimum f (3) = 13. Tugas untuk menemukan ekstrem dari suatu fungsiContoh 3.23.sebuah Keputusan. x dan kamu. Luas situs sama dengan S = xy. Biarlah kamu adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka, dengan syarat, persamaan 2x + y = a harus berlaku. Oleh karena itu, y = a - 2x dan S =x(a - 2x), di mana 0 x a/2 (panjang dan lebar bantalan tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 untuk x = a/4, dari mana y = a - 2×a/4 = a/2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, periksa apakah tanda berubah turunan saat kita melewati titik ini, untuk x< a/4, S " >0, dan untuk x > a/4, S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x. Contoh 3.24. Keputusan. Contoh 3.22. Tentukan ekstrem dari fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14. Keputusan. Karena f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d 3. Titik ekstrem dapat hanya berada di titik-titik ini. Jadi ketika melewati titik x 1 \u003d 2, turunan berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik ini fungsinya memiliki maksimum.Ketika melewati titik x 2 \u003d 3, turunan berubah tanda dari minus ke plus, oleh karena itu, pada titik x 2 \u003d 3, fungsi memiliki minimum Setelah menghitung nilai fungsi pada titik x 1 = 2 dan x 2 = 3, kami menemukan ekstrem dari fungsi: maksimum f (2) = 14 dan minimum f (3) = 13. Contoh 3.23. Perlu untuk membangun area persegi panjang di dekat dinding batu sehingga dipagari dengan wire mesh di tiga sisi, dan berdampingan dengan dinding di sisi keempat. Untuk ini ada sebuah meter linier dari grid. Pada rasio aspek apa situs akan memiliki area terbesar? Keputusan. Tunjukkan sisi situs melalui x dan kamu. Luas situs adalah S = xy. Biarlah kamu adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka, dengan syarat, persamaan 2x + y = a harus berlaku. Oleh karena itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), di mana 0 x a/2 (panjang dan lebar tapak tidak boleh negatif). S "= a - 4x, a - 4x = 0 untuk x = a/4, dari mana y = a - 2a/4 = a/2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunan berubah ketika melewati titik ini. di x< a/4, S " >0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x. Contoh 3.24. Diperlukan untuk membuat tangki silinder tertutup dengan kapasitas V=16p 50 m 3 . Berapa dimensi tangki (jari-jari R dan tinggi H) agar dapat menggunakan bahan paling sedikit untuk pembuatannya? Keputusan. Luas permukaan total silinder adalah S = 2pR(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = pR 2 H H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Jadi, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami menemukan turunan dari fungsi ini: S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 untuk R 3 \u003d 8, oleh karena itu, R = 2, H = 16/4 = 4. FUNGSI DAN BATAS IX 205. Nilai ekstrim dari suatu fungsi Pada bagian ini, kita akan mempelajari beberapa aspek dari perilaku fungsi pada =f (X ) dalam selang [ a, b ]. Dalam hal ini, tentu saja, kita akan mengasumsikan bahwa fungsi f (X ) didefinisikan pada setiap titik interval ini. Nilai terbesar dari semua nilai yang diambil fungsi pada =f(X) dalam interval [a, b ], disebut maksimum absolutnya, dan yang terkecil disebut minimum absolutnya dalam interval tertentu. Misalnya untuk fungsi pada =f (X ), secara grafis disajikan pada Gambar 274, minimum absolut dalam interval adalah nilai f (0) = 1, dan nilai maksimum mutlak adalah nilai f (6) =5. Seiring dengan maksimum absolut dan minimum absolut dalam matematika, orang sering berbicara tentang maxima dan minima lokal (yaitu, lokal). Dot x = c, berbaring di dalam interval[a, b ], disebut titik maksimum lokal dari fungsi pada =f(X), jika untuk semua nilai X, cukup dekat dengan dengan, f (X ) < f (dengan ) . (1) Nilai fungsi pada =f(X) di titik dari maxima lokalnya disebut maxima lokal dari fungsi ini. Misalnya untuk fungsi pada =f(X) , secara grafis disajikan pada Gambar 274, titik maksimum lokal adalah titik X = 2 dan X = 6, dan maxima lokal itu sendiri adalah nilainya f (2) = 3 dan f (6) = 5. Pada titik X = 2 dan X = 6 fungsi f(X) mengambil nilai lebih besar dari pada titik tetangga yang cukup dekat dengannya: f (2) >f (X ); f (6) > f (X ). Untuk fungsi pada =f(X) , secara grafis direpresentasikan pada Gambar 275, titik maksimum lokal akan menjadi, misalnya, titik x = c . Untuk semua X , cukup dekat dengan dengan , f (X ) = f (dengan ) , jadi kondisi (1) terpenuhi.  Dot X = x 1 juga merupakan titik maksimum lokal. Untuk semua nilai X , cukup dekat dengan x 1 f (X ) < f (x 1) jika X < x 1 , dan f (X ) = f (x 1) jika X > x satu . Oleh karena itu, dalam hal ini juga f (X ) < f (x satu). Dan inilah intinya X = x 2 tidak akan lagi menjadi titik maksimum lokal. Di sebelah kirinya f (X ) = f (x 2), tetapi di sebelah kanannya f (X ) > f (x 2). Oleh karena itu, kondisi (1) tidak terpenuhi. Dot x = c, berbaring di dalam interval[a, b ], disebut titik minimum lokal dari fungsi pada =f(X) jika untuk semua nilai X, cukup dekat dengandengan, f (X ) > f (dengan ) . (2) Nilai suatu fungsi pada titik-titik minimum lokalnya disebut minimum lokal dari fungsi ini. Misalnya untuk fungsi pada =f(X) , secara grafis direpresentasikan pada Gambar 274, titik minimum lokal adalah titik X = 3, dan minimum lokal itu sendiri adalah nilainya f (3) = 2. Untuk fungsi yang direpresentasikan secara grafis pada Gambar 275, titik minimum lokal adalah, misalnya, titik X = x 2. Untuk semua nilai X , cukup dekat dengan x 2 , f (X ) = f (x 2) jika X < x 2 , dan f (X ) > f (x 2) jika X > x 2. Oleh karena itu, syarat f (X ) > f (x 2) dilakukan. Dot x = c , yang kami catat di atas sebagai titik maksimum lokal, juga merupakan titik minimum lokal. Memang, untuk semua poin X , cukup dekat dengannya, f (X ) = f (dengan ), dan karena itu secara formal ketidaksetaraan f (X ) > f (dengan ) dilakukan. Titik minimum dan maksimum dari suatu fungsi f (X ) disebut t titik ekstrim fungsi ini. Nilai fungsi f (X ) pada titik ekstrim disebut nilai ekstrim dari fungsi ini. Gambar 274 menunjukkan perbedaan antara ekstrem absolut dan lokal. Fungsi pada =f(X) , yang digambarkan dalam gambar ini, memiliki titik X = 2 maksimum lokal, yang bukan maksimum mutlak dalam interval . Begitu juga untuk intinya X = 3 fungsi ini memiliki minimum lokal, yang bukan minimum absolut dalam interval . Jika fungsi maksimum mutlak pada =f(X) dalam interval [ a, b ] dicapai pada titik internal interval ini, maka maksimum absolut ini jelas juga maksimum lokal (lihat, misalnya, Gambar 274 di titik X = 6). Tetapi mungkin terjadi bahwa maksimum absolut ini tidak tercapai dalam interval [ a, b ], tetapi pada beberapa titik ekstrim (Gbr. 276). Maka itu bukan maksimum lokal. Ini menyiratkan aturan berikut untuk menemukan maksimum absolut dari fungsi: pada =f(X) dalam interval [ a, b ], 1. Temukan semua maksima lokal dari fungsi tersebut pada =f(X) dalam interval ini. 2. Untuk nilai yang diperoleh, kami menambahkan nilai fungsi ini di ujung interval ini, yaitu nilai f (sebuah ) dan f (b ). Yang terbesar dari semua nilai ini akan memberi kita fungsi maksimum absolut pada =f(X) dalam interval [ a, b ] . Demikian pula, minimum absolut dari fungsi ditemukan pada =f(X) dalam interval [ a, b ]. Contoh. Temukan semua ekstrem lokal dari suatu fungsi pada = x 2 - 2X - 3. Berapakah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini dalam interval ? Mari bertransformasi fungsi ini, menyoroti kotak penuh: pada = x 2 - 2X + 1 -4 = (X - 1) 2 - 4. Sekarang mudah untuk memplot grafiknya. Ini akan menjadi parabola ke atas dengan titik di titik (1, -4) (Gbr. 277). Satu-satunya titik ekstrem lokal adalah titik X = 1. Pada titik ini, fungsi memiliki minimum lokal sama dengan -4. Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan dalam interval , perhatikan bahwa untuk x = 0 pada = - 3, dan ketika X = 5 pada = 12. Dari ketiga nilai -4, -3 dan 12, yang terkecil adalah -4, dan terbesar adalah 12. Jadi, nilai terkecil (minimum absolut) dari fungsi ini dalam interval adalah -4; itu dicapai dengan X = 1. Nilai terbesar (maksimum absolut) dari fungsi ini dalam interval adalah 12; itu dicapai dengan X = 5. Latihan 1589. Manakah dari fungsi yang Anda ketahui pada seluruh garis bilangan: a) tidak memiliki ekstrim lokal sama sekali; b) memiliki tepat satu ekstrem lokal; c) memiliki jumlah ekstrem lokal tak terhingga? Dalam latihan No. 1590-1600, temukan titik-titik ekstrem lokal dan ekstrem lokal dari fungsi-fungsi ini. Cari tahu apa yang ekstrem (tinggi atau rendah): Temukan ekstrem absolut dari fungsi-fungsi ini dalam interval yang ditentukan (No. 1601-1603): 1601. pada = - 2x 2 - 3x - 1 dalam interval | X | < 2. 1602. pada = |x 2 + 5x + 6| dalam interval [- 5, 4]. 1603. pada = dosa x - karena x dalam interval [- π / 3 , π / 3 ] 1604. Temukan ekstrem absolut dari suatu fungsi pada = (X - 3) (X - 5) dalam interval. Interval naik dan turun memberikan informasi yang sangat penting tentang perilaku suatu fungsi. Menemukan mereka adalah bagian dari eksplorasi fungsi dan proses plot. Selain itu, titik ekstrem, di mana ada perubahan dari kenaikan ke penurunan atau dari penurunan ke kenaikan, diberikan Perhatian khusus ketika menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval tertentu. Dalam artikel ini, kami akan memberikan definisi yang diperlukan, merumuskan kriteria yang cukup untuk kenaikan dan penurunan fungsi pada interval dan kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem, dan menerapkan seluruh teori ini untuk memecahkan contoh dan masalah. Navigasi halaman. Fungsi naik dan turun pada selang.Definisi fungsi meningkat. Fungsi y=f(x) meningkat pada interval X jika untuk sembarang dan Definisi fungsi menurun. Fungsi y=f(x) berkurang pada interval X jika untuk sembarang dan KETERANGAN: jika fungsi didefinisikan dan kontinu pada ujung interval kenaikan atau penurunan (a;b) , yaitu pada x=a dan x=b , maka titik-titik ini termasuk dalam interval kenaikan atau penurunan. Ini tidak bertentangan dengan definisi fungsi naik dan turun pada interval X . Misalnya, dari sifat-sifat fungsi dasar dasar, kita tahu bahwa y=sinx didefinisikan dan kontinu untuk semua nilai nyata dari argumen. Oleh karena itu, dari peningkatan fungsi sinus pada interval, kita dapat menyatakan peningkatan pada interval . Titik ekstrem, fungsi ekstrem.Titik tersebut disebut titik maksimum fungsi y=f(x) jika pertidaksamaan benar untuk semua x dari lingkungannya. Nilai fungsi pada titik maksimum disebut fungsi maksimal dan menandakan . Titik tersebut disebut titik minimum fungsi y=f(x) jika pertidaksamaan benar untuk semua x dari lingkungannya. Nilai fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimum dan menandakan . Lingkungan suatu titik dipahami sebagai interval Poin minimum dan maksimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi yang sesuai dengan titik ekstrem disebut fungsi ekstrim. Jangan bingung fungsi ekstrem dengan nilai maksimum dan minimum fungsi. Pada gambar pertama, nilai maksimum fungsi pada segmen dicapai pada titik maksimum dan sama dengan maksimum fungsi, dan pada gambar kedua, nilai maksimum fungsi dicapai pada titik x=b , yang bukan merupakan titik maksimum. Kondisi cukup untuk fungsi naik dan turun.Berdasarkan kondisi (tanda) yang cukup untuk kenaikan dan penurunan fungsi, interval kenaikan dan penurunan fungsi ditemukan. Berikut adalah rumusan tanda fungsi naik dan turun pada interval:
Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu: Pertimbangkan contoh menemukan interval fungsi naik dan turun untuk memperjelas algoritme. Contoh. Temukan interval kenaikan dan penurunan fungsi . Keputusan. Langkah pertama adalah mencari ruang lingkup fungsi. Dalam contoh kita, ekspresi dalam penyebut tidak boleh hilang, oleh karena itu, . Mari kita lanjutkan untuk menemukan turunan dari fungsi: Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi dengan kriteria yang cukup, kami memecahkan pertidaksamaan dan pada domain definisi. Mari kita gunakan generalisasi dari metode interval. Satu-satunya akar pembilang real adalah x = 2 , dan penyebutnya hilang di x=0 . Titik-titik ini membagi domain definisi ke dalam interval di mana turunan fungsi mempertahankan tandanya. Mari kita tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Dengan plus dan minus, kami secara kondisional menunjukkan interval di mana turunannya positif atau negatif. Panah di bawah ini secara skematis menunjukkan peningkatan atau penurunan fungsi pada interval yang sesuai. Dengan demikian, Pada intinya x=2 fungsi didefinisikan dan kontinu, sehingga harus ditambahkan ke interval naik dan turun. Pada titik x=0, fungsi tidak terdefinisi, sehingga titik ini tidak termasuk dalam interval yang diperlukan. Kami menyajikan grafik fungsi untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengannya. Menjawab: Fungsi bertambah pada Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi.Untuk menemukan maksimal dan minimal suatu fungsi, Anda dapat menggunakan salah satu dari tiga tanda ekstrem, tentu saja, jika fungsi tersebut memenuhi kondisinya. Yang paling umum dan nyaman adalah yang pertama. Kondisi cukup pertama untuk ekstrem.Biarkan fungsi y=f(x) terdiferensialkan di -tetangga titik dan kontinu di titik itu sendiri. Dengan kata lain: Algoritma untuk menemukan titik ekstrem dengan tanda pertama dari fungsi ekstrem.
Terlalu banyak kata, mari kita pertimbangkan beberapa contoh untuk menemukan titik ekstrem dan ekstrem dari suatu fungsi menggunakan yang pertama kondisi cukup fungsi ekstrem. Contoh. Temukan ekstrem dari fungsi . Keputusan. Ruang lingkup fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali untuk x=2 . Kami menemukan turunannya: Angka nol dari pembilangnya adalah titik x=-1 dan x=5 , penyebutnya menjadi nol pada x=2 . Tandai titik-titik ini pada garis bilangan Kami menentukan tanda-tanda turunan pada setiap interval, untuk ini kami menghitung nilai turunan di salah satu titik dari setiap interval, misalnya, pada titik x=-2, x=0, x=3 dan x= 6 . Oleh karena itu, turunannya positif pada interval (pada gambar kami memberi tanda plus pada interval ini). Demikian pula Oleh karena itu, kami menempatkan minus pada interval kedua, minus pada interval ketiga, dan plus pada interval keempat. Tetap memilih titik di mana fungsi kontinu dan turunannya berubah tanda. Ini adalah titik-titik ekstrem. Pada intinya x=-1 fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda dari plus ke minus, oleh karena itu, menurut tanda pertama ekstrem, x=-1 adalah titik maksimum, itu sesuai dengan maksimum fungsi Pada intinya x=5 fungsi kontinu dan turunannya berubah tanda dari minus ke plus, oleh karena itu, x=-1 adalah titik minimum, sesuai dengan fungsi minimum Ilustrasi grafis. Menjawab: HARAP DICATAT: tanda cukup pertama dari suatu ekstrem tidak memerlukan fungsi yang dapat diturunkan pada titik itu sendiri. Contoh. Menemukan titik ekstrim dan ekstrim dari suatu fungsi Keputusan. Domain dari fungsi tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real. Fungsi itu sendiri dapat ditulis sebagai: Mari kita cari turunan dari fungsi: Pada intinya x=0 turunannya tidak ada, karena nilainya batas sepihak ketika argumen cenderung nol, mereka tidak bertepatan: Pada saat yang sama, fungsi asli kontinu pada titik x=0 (lihat bagian menyelidiki fungsi kontinuitas): Temukan nilai argumen di mana turunannya hilang: Kami menandai semua titik yang diperoleh pada garis nyata dan menentukan tanda turunan pada setiap interval. Untuk melakukan ini, kami menghitung nilai turunan pada titik sembarang dari setiap interval, misalnya, ketika x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Yaitu, Jadi, menurut tanda pertama dari suatu ekstrem, titik minimumnya adalah Kami menghitung minimum yang sesuai dari fungsi Kami menghitung maxima yang sesuai dari fungsi Ilustrasi grafis. Menjawab:
Tanda kedua dari ekstrem fungsi.Seperti yang Anda lihat, tanda ekstrem dari fungsi ini membutuhkan keberadaan turunan setidaknya hingga orde kedua pada titik . Ini adalah bagian matematika yang agak menarik yang benar-benar dihadapi oleh semua mahasiswa pascasarjana dan mahasiswa. Namun, tidak semua orang menyukai matan. Beberapa gagal untuk memahami bahkan hal-hal dasar seperti studi fungsi yang tampaknya standar. Artikel ini bertujuan untuk mengoreksi kekeliruan tersebut. Ingin mempelajari lebih lanjut tentang analisis fungsi? Apakah Anda ingin tahu apa itu titik ekstrem dan bagaimana menemukannya? Maka artikel ini untuk Anda. Penyelidikan grafik fungsiUntuk memulainya, ada baiknya memahami mengapa perlu menganalisis grafik sama sekali. Ada fungsi sederhana, yang tidak akan sulit untuk digambar. Contoh mencolok dari fungsi tersebut adalah parabola. Tidak sulit untuk menggambar grafiknya. Yang dibutuhkan hanyalah dengan transformasi sederhana temukan angka-angka di mana fungsi mengambil nilai 0. Dan pada prinsipnya, hanya ini yang perlu Anda ketahui untuk menggambar grafik parabola. Tetapi bagaimana jika fungsi yang kita butuhkan untuk membuat grafik jauh lebih rumit? Karena sifat fungsi kompleks agak tidak jelas, perlu untuk melakukan analisis keseluruhan. Hanya dengan demikian fungsi tersebut dapat direpresentasikan secara grafis. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menemukan jawaban untuk pertanyaan ini di artikel ini. Rencana analisis fungsiHal pertama yang harus dilakukan adalah melakukan studi dangkal fungsi, di mana kita akan menemukan domain definisi. Jadi, mari kita mulai secara berurutan. Domain definisi adalah himpunan nilai-nilai yang dengannya fungsi didefinisikan. Sederhananya, ini adalah angka yang dapat digunakan dalam fungsi alih-alih x. Untuk menentukan ruang lingkup, Anda hanya perlu melihat catatan. Misalnya, jelas bahwa fungsi y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 memiliki domain definisi - himpunan bilangan real. Nah, dengan fungsi seperti (x 2 - 2x) / x, semuanya sedikit berbeda. Karena bilangan pada penyebut tidak boleh sama dengan 0, maka domain dari fungsi ini adalah semua bilangan asli selain nol. Selanjutnya, Anda perlu menemukan apa yang disebut nol dari fungsi tersebut. Ini adalah nilai argumen yang seluruh fungsi mengambil nilai nol. Untuk melakukan ini, perlu menyamakan fungsi dengan nol, mempertimbangkannya secara rinci dan melakukan beberapa transformasi. Mari kita ambil fungsi yang sudah dikenal y(x) = (x 2 - 2x)/x. Dari kursus sekolah kita tahu bahwa pecahan adalah 0 ketika pembilangnya nol. Oleh karena itu, kami membuang penyebutnya dan mulai bekerja dengan pembilangnya, menyamakannya dengan nol. Kami mendapatkan x 2 - 2x \u003d 0 dan mengeluarkan x dari tanda kurung. Oleh karena itu x (x - 2) \u003d 0. Akibatnya, kami menemukan bahwa fungsi kami sama dengan nol ketika x sama dengan 0 atau 2. Selama mempelajari grafik suatu fungsi, banyak dihadapkan pada masalah berupa titik ekstrem. Dan itu aneh. Bagaimanapun, ekstrem itu cukup tema sederhana. Tidak percaya? Lihat sendiri dengan membaca bagian artikel ini, di mana kita akan berbicara tentang poin minimum dan maksimum. Untuk memulainya, ada baiknya memahami apa itu ekstrem. Ekstrem adalah nilai batas yang dicapai suatu fungsi pada grafik. Dari sini ternyata ada dua nilai ekstrem - maksimum dan minimum. Agar lebih jelas, Anda bisa melihat gambar di atas. Pada area yang diselidiki, titik -1 adalah fungsi maksimum y (x) \u003d x 5 - 5x, dan titik 1, masing-masing, adalah minimum. Juga, jangan bingung konsep satu sama lain. Titik ekstrem suatu fungsi adalah argumen di mana fungsi yang diberikan memperoleh nilai ekstrem. Pada gilirannya, ekstrem adalah nilai minimum dan maksimum fungsi. Sebagai contoh, perhatikan kembali gambar di atas. -1 dan 1 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut, dan 4 dan -4 adalah titik ekstrem itu sendiri. Menemukan titik ekstremTetapi bagaimana Anda menemukan titik ekstrem suatu fungsi? Semuanya cukup sederhana. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari turunan dari persamaan tersebut. Katakanlah kita mendapat tugas: "Temukan titik ekstrem dari fungsi y (x), x adalah argumennya. Untuk lebih jelasnya, mari kita ambil fungsi y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Mari kita bedakan dan dapatkan persamaan berikut: 3x 2 + 4x + 1. Sebagai hasilnya, kami mendapatkan persamaan kuadrat standar. Yang perlu dilakukan hanyalah menyamakannya dengan nol dan menemukan akarnya. Karena diskriminan lebih besar dari nol (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), persamaan yang diberikan ditentukan oleh dua akar. Kami menemukannya dan mendapatkan dua nilai: 1/3 dan -1. Ini akan menjadi titik ekstrem dari fungsi tersebut. Namun, bagaimana Anda menentukan siapa adalah siapa? Titik mana yang maksimum dan mana yang minimum? Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil titik tetangga dan mencari tahu nilainya. Sebagai contoh, mari kita ambil angka -2, yang berada di sebelah kiri -1 sepanjang garis koordinat. Kami mengganti nilai ini dalam persamaan kami y (-2) \u003d 12 - 8 + 1 \u003d 5. Akibatnya, kami mendapat angka positif. Ini berarti bahwa pada interval dari 1/3 ke -1 fungsi meningkat. Ini, pada gilirannya, berarti bahwa pada interval dari minus tak terhingga hingga 1/3 dan dari -1 hingga plus tak hingga, fungsi menurun. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa angka 1/3 adalah titik minimum fungsi pada interval yang diselidiki, dan -1 adalah titik maksimum. Perlu juga dicatat bahwa ujian tidak hanya membutuhkan untuk menemukan titik ekstrem, tetapi juga untuk melakukan beberapa jenis operasi dengannya (menambah, mengalikan, dll.). Karena alasan inilah perlu memberikan perhatian khusus pada kondisi masalah. Lagi pula, karena kurangnya perhatian, Anda bisa kehilangan poin. Sebelum mempelajari cara menemukan ekstrem suatu fungsi, perlu dipahami apa itu ekstrem. Paling definisi umum extremum menyatakan bahwa ini adalah nilai terkecil atau terbesar dari fungsi yang digunakan dalam matematika pada himpunan tertentu dari garis bilangan atau grafik. Di tempat minimum, ekstrem minimum muncul, dan di mana maksimum, ekstrem maksimum muncul. Juga dalam disiplin analisis matematis, sorot ekstrem lokal dari fungsi tersebut. Sekarang mari kita lihat bagaimana menemukan ekstrem. Ekstrem dalam matematika adalah salah satu karakteristik paling penting dari suatu fungsi, mereka menunjukkan yang terbesar dan paling nilai kecil. Ekstrem ditemukan terutama pada titik kritis dari fungsi yang ditemukan. Perlu dicatat bahwa pada titik ekstrem inilah fungsi secara radikal mengubah arahnya. Jika kita menghitung turunan dari titik ekstrem, maka, menurut definisi, itu harus sama dengan nol atau akan sama sekali tidak ada. Jadi, untuk mempelajari cara menemukan ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan dua tugas berurutan:
Urutan menemukan ekstrem
Algoritma untuk menemukan ekstremUntuk meringkas pengetahuan yang diperoleh, mari kita buat algoritme singkat tentang cara menemukan titik ekstrem.
Jadi, kami telah mempertimbangkan bagaimana menemukan titik ekstrem dari suatu fungsi. Dengan bantuan perhitungan sederhana, serta pengetahuan tentang menemukan turunan, Anda dapat menemukan ekstrem apa pun dan menghitungnya, serta menetapkannya secara grafis. Menemukan ekstrem adalah salah satu bagian matematika yang paling penting, baik di sekolah maupun di pendidikan tinggi. lembaga pendidikan, oleh karena itu, jika Anda belajar cara mengidentifikasi mereka dengan benar, maka belajar akan menjadi jauh lebih mudah dan lebih menarik. |
Apa itu titik kritis suatu fungsi
Pos Terkait
Copyright © 2024 apacode Inc.
