Besar sudut pusat adalah …. besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama

Dalam sebuah lingkaran terdapat dua jenis sudut yang dapat terbentuk, yaitu sudut pusat dan sudut keliling. Lalu apakah sudut pusat dan keliling lingkaran ini?

Sudut pusat merupakan sudut yang terbentuk antara dua jari-jari lingkaran dan titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran. Sedangkan sudut keliling adalah sudut yang terbentuk antara dua buah tali busur lingkaran dan titik sudutnya berada pada keliling lingkaran.

Jadi, perbedaan utama dari sudut pusat dan sudut keliling adalah elemen pembentuknya, dimana sudut pusat dibentuk oleh dua buah jari-jari dan sudut keliling dibentuk oleh dua buah tali busur.

Pada dasarnya, terdapat suatu hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran. Jika keduanya menghadap busur yang sama, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :

Sudut pusat = 2 x sudut keliling           atau        sudut keliling = 1/2 x sudut keliling

Untuk memperjelas pengertian sudut pusat dan sudut keliling, maka bisa mempelajari contoh soal dan pembahasan sudut pusat dan sudut keliling berikut ini!

Contoh soal :

Perhatikan gambar berikut!

Jika diketahui <A0B = 600 dan titik 0 merupakan titik pusat lingkaran, maka tentukanlah besar <APB!

Baca juga: Pengertian dan Cara Menghitung Diagram Lingkaran

Penyelesaian :

Berdasarkan gambar <A0B adalah sudut pusat yang menghadap busur AB dan <APB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Dengan demikian :

Sudut keliling = 1/2 x sudut pusat

<APB = 1/2  x < A0B

<APB = 1/2 x 600 = 300

Sudut pusat dan sudut keliling memiliki beberapa sifat, diantaranya adalah sebagai berikut :

• Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran berbentuk siku-siku atau 900

<ACB adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter. Maka <ACB = 900

<ADB adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter. Maka, <ADB = 900

• Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, maka besar sudutnya sama.

<ACB dan <ADB adalah sudut keliling lingkaran yang sama-sama menghadap busur Ab. Maka <ACB = <ADB

Sebelum Anda mempelajari lebih jauh mengenai hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran. Anda harus paham terlebih dahulu pengertian unsur-unsur atau bagian-bagian lingkaran khusunya tentang busur, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

Coba perhatikan gambar di atas dengan seksama, ∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama, yaitu AB. Lalu bagaimana hubungan sudut pusat dengan sudut keliling jika menghadap busur yang sama?

Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!

∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β .

ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD)

Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))

∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan ΔAOD!

∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))

∠ODA = ∠OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari:

∠ADB = ∠ODA + ∠ODB

∠ADB = ½β + ½α

∠ADB = ½ (β + α)

∠ADB = ½ ∠AOB atau

besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB.

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai sudut hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, silahkan pelajari contoh soalnya pada postingan "Contoh Soal Tentang Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran"

Related Posts :

Untuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, perhatikan Gambar di bawah ini.

∠ACB = ½ ∠AOB = ½ α

∠ADB = ½ ∠AOB = ½ α

∠AEB = ½ ∠AOB = ½ α

Jadi, besar ∠ ACB = ∠ ADB = ∠ AEB.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau ½ x sudut pusatnya.

Contoh Soal Tentang Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Perhatikan Gambar di atas. Diketahui besar ∠ BAC = 50° dan ∠CED = 60°. Hitunglah besar ∠ BDC, ∠ ACD, dan ∠ ABD.

Penyelesaian:

Dari Gambar di atas tampak bahwa ∠ BAC dan ∠ BDC sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu busur BC, sehingga besar ∠BDC = ∠BAC = 50°. Perhatikan ΔCED.

∠ACD = 180° – (∠ CED + ∠CDE)

∠ACD = 180° – (∠ CED + ∠ CDB)

∠ACD = 180° – (60° + 50°)

∠ACD = 70°

Sudut ∠ACD dan ∠ ABD adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur AD , sehingga besar ∠ABD = ∠ ACD = 70°.

Related Posts :