Jakarta -
Dalam pelajaran matematika ada istilah perpangkatan dan bentuk akar. detikers masih ingat dengan istilah perpangkatan dan bentuk akar?
Dilansir dari buku modulmatematika Kemendikbud bertajuk 'Pembelajaran Perpangkatan dan Penarikan Bilangan,' berikut penjelasan mengenai perpangkatan dan bentuk akar:
Perpangkatan dan Bentuk Akar
1. Perpangkatan
Perpangkatan dalam matematika bisa diartikan sebagai pengulangan dari bilangan itu sendiri.
Perpangkatan dapat dilambangkan dengan:
a pangkat n = a x a x a x a ............ seterusnya sebanyak dengan jumlah n
Sebelum mengetahui lebih lanjut, detikers perlu memahami dasar bilangannya dulu seperti contoh di bawah ini:
Contoh:
1² = 1 (1x1) → dibaca 1 pangkat dua atau 1 kuadrat sama dengan 1 2² = 4 (2x2) → dibaca 2 pangkat dua atau 2 kuadrat sama dengan 43² = 9 (3x3) → dibaca 3 pangkat dua atau 3 kuadrat sama dengan 9 12³ = 12 x 12 x 12 = 1.728 dan bilangan serta pangkat-pangkat seterusnya
Jadi, bilangan berpangkat dua (kuadrat) adalah nilai perkalian sebuah bilangan dengan bilangan dirinya sendiri.
Contoh Soal Perpangkatan:
Terdiri dari dua bilangan, seperti 78² = ...
Penyelesaian:
78² = (70 + 8)²= (70 + 8) (70 + 8) = 70² + 2 (70 × 8) + 8² = 4900 + 1120 + 64
= 6084
Jenis operasi bilangan berpangkat terdiri dari penjumlahan berpangkat, perkalian berpangkat, pembagian berpangkat, dan pengurangan berpangkat.
Berikut Contohnya:
A. Perpangkatan Penjumlahan
Perpangkatan penjumlahan bisa dikerjakan menggunakan tanda kurung untuk semua bilangan berpangkatnya kemudian dijumlahkan.
4² + 5² =...
= (4 x 4) + (5 x 5)= 16 + 25
=41
B. Perpangkatan Pengurangan
8² - 5² =... = (8 x 8) - (5 x 5) = 64 - 25
=39
Atau langsung dengan cara :8² - 5² == 64 - 25
= 39
C. Perpangkatan Perkalian
3² x 2² =... =(3 x 3) x (2 x2) = 9x 4
= 36
D. Pembagian Berpangkat
6² : 2² =...=(6 x 6) : (2 x 2)= 36 : 4
= 9
2. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah bentuk sederhana dari akar kuadrat, yakni kebalikan dari bentuk berpangkat dua.
Bentuk akar dilambangkan dengan √ sekaligus untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
4²= 4 × 4 = 16, maka 16 adalah bentuk akar dari √4 → dibaca akar pangkat dua dari 4
5²= 5 × 5 = 25, maka 25 adalah bentuk akar dari √5
Terbukti, bahwa ternyata akar pangkat dua merupakan operasi kebalikan dari pangkat dua.
Contoh soal:
Berapakah akar dari √144?
√144 = ....
a. Penyelesaian dengan Metode Perkiraan:
Bilangan √144 terletak antara √100 dan √400 atau 10 < √144 < 20, berarti angka puluhannya adalah 1. Angka terakhir dari 144 adalah 4, maka hasil akar pangkat satuannya 2 atau 8. Namun, karena lebih dekat dengan 10, maka hasil akar satuannya adalah 2.
Jadi, hasil √144 = 12
b. Penyelesaian dengan Faktorisasi Prima
Langkah-langkahnya yang perlu diperhatikan adalah Pertama tentukan faktor-faktor primanya144= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Kemudian, kelompokkan dalam dua faktor yang sama
144= (2 × 2 × 3)(2 × 2 × 3)
= (2 × 2 × 3)²
Maka, hasilnya bisa dihitung√144 = akar dari √(2×2×3)²= (2 × 2 × 3)
= 12
Nah itu tadi penjelasan mengenai perpangkatan dan bentuk akar beserta pembahasannya. Ternyata cukup mudah kan detikers? Selamat belajar!
Simak Video "Beda Tingkatan Antara Tahmid dan Syukur"
(nwy/nwy)
Materi Matematika kelas 9
Pangkat Positif
Dalam pelajaran biologi atau fisika kadang-kadang dijumpai bilangan yang sangat besar. Contohnya bilangan Avogadro 6,02205 ( 1023 atau massa bumi 3,98 ( 1024 kg. Demikian juga sering dijumpai bilangan yang sangat kecil seperti konstanta gravitasi Newton 6,67 ( 10-11 atau diameter sel darah merah 7,75 ( 10-7 m. Bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil ini ditulis dalam notasi ilmiah atau notasi baku
a ( 10n, dengan 1 ( a < 10 dan n bilangan bulat
Pada penulisan a ( 10n , n disebut pangkat.
Karena n bilangan bulat maka n dapat berupa bilangan postif, negatif atau nol.
Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa:
32 = 3 ( 3
(-2)3 = (-2) ( (-2) ( (-2)
54 = 5 ( 5 ( 5 ( 5
210 = 2 ( 2 ( .. ( 2 10 faktor
a6 = a ( a ( .. ( a
6 faktor
Secara umum bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang pada bilangan yang sama.
Jika a sebarang bilangan dan n bilangan bulat positif maka
an = a ( a ( .. ( a
n faktora disebut bilangan pokok atau basis n disebut pangkat atau eksponenBagaimana jika n = 1? Disepakati a1 = a.Contoh 1:
Tentukan nilai dari
a. 123
b. 3,45
c. (-6) 7Jawab:
a. 123 = 12 ( 12 ( 12 = 1728b. 3,45 = 3,4 ( 3,4 ( 3,4 ( 3,4 ( 3,4 = 454.35424c. (-6) 7 = -6 ( -6 ( -6 ( -6 ( -6 ( -6 ( -6 = -279936
Pangkat Negatif
Di depan kalian dapat menyatakan konstanta gravitasi Newton 0,0000000000667 dalam notasi baku sebagai 6,67 ( . Perhatikan
6,67 ( = 0,0000000000667
= 6,67 (
= 6,67 (
Maka 10-11 =
Dapatkah kamu menyatakan diameter sel darah merah 0,000000775 m dalam bentuk pangkat?
Secara umum, jika a sebarang bilangan tidak nol dan n bilangan bulat maka
Mengapa a 0?
Contoh 2:
Tentukan nilai dari
a. 2-3
b. 1,2-4
c. (-3) -5Jawab:
a. 2-3 = = 0,125
b. 1,2-4 = = 0.4823
c. (-3) -5 = = -0.0041
Pangkat Nol
Perhatikan bentuk pangkat berikut
23 = 8
22 = 4
21 = 2
Berapakah 20 ?
Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu. Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Dengan demikian 20 = 1.
Berapakah 30? 50? a0?
Ingat
Semua bilangan kecuali nol jika dipangkatkan nol hasilnya 1.
Bentuk Akar
Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan menambahkan renda di salah satu sisinya. Berapa panjang renda yang diperlukan Aulia?
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus menentukan n ( n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 ( 30 = 900 atau 302 = 90. Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai = 30. Bentuk dibaca akar kuadrat dari 900 .Berapakah nilai dari ? Kita tidak dapat menentukan suatu bilangan rasional n sedemikian hingga n2 = 5. Selanjutnya akar kuadrat dari 5 tetap ditulis dalam bentuk akar dan merupakan bilangan irrasional. Apakah merupakan bilangan irrasional? Mengapa ?Jika 2 ( 2 ( 2 = 23 = 8 maka dapat ditulis = 2.Jika -3 ( -3 ( -3 ( -3 ( -3 = -243 maka
Tetapi walaupun -5 ( -5 = 25 nilai dari = 5. Untuk akar pangkat genap hanya digunakan nilai yang positif.Secara umum,
Menyederhanakan Bentuk AkarJika a, b bilangan positif maka
Contoh 3:Sederhanakan bentuk akar berikut:a.
b.
Jawab:
a. = =
b. = =
1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
a. 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7
c. 3,4 ( 3,4 ( 3,4 ( 3,4
b. 8 ( 32
d. n ( n ( n ( n ( n ( n2. Tentukan nilai dari
a.
b.
c.
d.
3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan bentuk perpangkatan dari bilangan 3 dan -4.4. Ubahlah dalam pangkat negatif
a.
b.
c.
d.
5. Ubahlah dalam pangkat positif
a.
b.
c.
d.
6. Tentukan nilai dari
a.
b.
c.
d.
7. Sederhanakan
a.
b.
c.
8. Ambil seutas benang atau tali, kemudian potong menjadi tiga bagian. Satukan ketiga bagian tersebut kemudian potong lagi menjadi tiga bagian. Berapa potong benang/tali yang akan diperoleh? Perkirakan berapa potong benang/tali yang akan diperoleh jika dilakukan pemotongan sebanyak 5 kali.
9. Sebuah bank menerapkan sistem bunga majemuk atau berganda, dimana bunga yang diterima dibungakan lagi. Misal bank tersebut menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Jika Aulia menabung Rp 100.000,00 maka 1 bulan kemudian tabungan Aulia menjadi:
100000 + (100000 ( 1%) = 100000 + (100000 ( 0,01)
= 100000 ( ( 1 + 0,01)
= 100000 ( 1,01
Dua bulan kemudian tabungan Aulia menjadi
(100000 ( 1,01) + ((100000 ( 1,01) ( 1%)
= (100000 ( 1,01) + ((100000 ( 1,01) ( 0,01)
= (100000 ( 1,01) ( ( 1 + 0,01)
= 100000 ( 1,01 ( 1,01 = 100000 ( 1,012
Tiga bulan kemudian tabungan Aulia menjadi
(100000 ( 1,01 ( 1,01 ) + ((100000 ( 1,01 ( 1,01) ( 1%)
= (100000 ( 1,01 ( 1,01) + ((100000 ( 1,01 ( 1,01) ( 0,01)
= (100000 ( 1,01 ( 1,01) ( (1 + 0,01)
= 100000 ( 1,01 ( 1,01 ( 1,01
= 100000 ( 1,013
Nyatakan besar tabungan Aulia dalam bentuk pangkat selama satu tahun. 10. Penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil di musim hujan mempunyai ukuran tertentu. Pada musim kemarau mengkerut sejauh seperti pada gambar. Hitunglah prosentase penyusutan luas penampang batang tumbuhan dikotil tersebut.
Operasi pada Bilangan Berpangkat
Setelah mengenal bilangan berpangkat dan bentuk akar, berikut ini kalian akan mempelajari operasi yang berlaku pada bilangan berpangkat dan bentuk akar serta bagaimana menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.Masalah 1
1. Lengkapilah
52 ( 53 = (5 ( 5) ( (5 ( 5 ( 5) = 5 ( 5 ( ... ( ... ( ...
= 5... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan
a. 34 ( 33
b. (-2)3 ( (-2)4c. b2 ( b5d. 3-2 ( 3-3e. (-5)-4 ( (-5)-2f. a-3 ( a-63. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari am ( an ?
Masalah 2
1. Lengkapilah
= ... ( ... ( ...
= 2...2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Jika a sebarang bilangan tidak nol dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari ?
Masalah 3
1. Lengkapilah (32)3 = 32 ( 32 ( 32 = (3 ( 3) ( (... ( ...) ( (... ( ...) = 3...2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:a. (23)4
b. ((-3)2)5 c. (c2)4
d.
e. (c-5)2
f. (a-3)-13. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari (am)nMasalah 4
1. Lengkapilah (a ( b)3 = (a ( b) ( (a ( b) ( (a ( b) = (a ( a ( a) ( ( ( ... ( ...) = a... ( b...2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:a. (-2 ( 3)5
b. (3 ( 5)2 c. (p ( q)4
d. (x ( y)5(3 ( 2)-3 e. (a ( b)-2
f. (x ( y)-53. Jika a dan b sebarang bilangan, n bilangan bulat , apakah bentuk sederhana dari:(a ( b)n ?Masalah 5
1. Lengkapilah
=
=
2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan:a.
b.
c.
d. , q ( 0e.
f. , q ( 03. Jika a dan b sebarang bilangan, b ( 0, dan m bilangan bulat positif apakah bentuk sederhana ?Rangkuman
Jika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka berlaku sifat-sifat berikut.1. 2.
3. , a ( 04.
5. , b ( 0Menggunakan KalkulatorUntuk menghitung nilai bilangan berpangkat dapat digunakan kalkulator. Kalkulator jenis scientific biasanya memuat tombol untuk menentukan nilai
atau tombol untuk menentukan akar pangkat dua.Contoh 1:Hitunglah 3,456Jawab:Tekan tombol
akan menghasilkan nilai Contoh 2:Hitunglah
Jawab:Tekan tombol
akan menghasilkan nilai Contoh 3:Hitunglah
Jawab:
= =
Tekan tombol
akan menghasilkan nilai Menggunakan KomputerBeberapa software komputer dapat digunakan untuk menghitung nilai bilangan berpangkat, diantaranya Microsoft Excel.Contoh 4: Hitunglah 5,67-8Jawab:Pada salah satu sel ketiklah: =5.67^-8 atau =POWER(5.67,-8)
Contoh 5:Hitunglah
Jawab:Pada salah satu sel ketiklah: =SQRT(789)
Contoh 6:Hitunglah
Jawab: = =
Pada salah satu sel ketiklah: =POWER(456,1/5)
1. Tentukan nilai daria. 82 ( 84
b. (-3)2 ( (-3)4c.
d. (3 ( 105) ( (5 ( 106)b.
f .
g. (53)5
h. 2. Jika a, b, dan c sebarang bilangan dan tidak nol, sederhanakana. (2a3)4
b. (4a5b2)2 (2a3b-5)5 c. (-8(2c)-3)4d. 3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan hasil operasi perpangkatan dari bilangan 2, 3, dan 4.4. Ubah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat negatifa.
b.
c.
d.
e.
f.
5. Ubahlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat positif.a. 3-2 ( 3-5
b. 33 ( 3-4
c. (-2)-2 ( (-2)-4
d. (-3)3 ( (-3)-5e.
f.
6. Penalaran. Apakah an ( bm = (ab)n+m ?Jika ya beri alasan. Jika tidak beri contoh.7. Hitunglah jika a ( 0a. (5 a2)0
b. (22 ( a0)48. Produksi