Dari 4 fungsi kuadrat diatas yang mempunyai nilai maksimum 2 adalah

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Masalah-masalah tersebut sering kali dapat diselesaikan dengan melibatkan memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya.

Masalah-masalah ini sering kali dapat diselesaikan dengan melibatkan memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi. Oleh karena itu, pada artikel ini kita akan belajar penerapan turunan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum atau mencari nilai optimum dari suatu fungsi.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, perhatikan kurva \( y = \cos x \) dan \( y = \sin x \) yang ditampilkan pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1. Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan cosinus pada interval \( (-π/2, π/2) \)

Coba Anda amati kurva \( y = \cos x \) pada Gambar 1 di atas. Terlihat bahwa pada interval tertutup \( (-π/2, π/2) \), fungsi \( f(x) = \cos x \) mempunyai nilai maksimum 1 yakni pada \(x = 0\) dan mempunyai nilai minimum 0 di \(x = -π/2\) dan \( x = π/2 \). Pada interval yang sama, fungsi \( g(x) = \sin x \) mempunyai nilai maksimum 1 pada \( x = π/2 \) dan nilai minimum -1 pada \( x = -π/2 \).

Anda mungkin bertanya, apakah setiap fungsi mempunyai nilai maksimum dan minimum? Tentu saja tidak. Suatu fungsi tidak selalu mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. Ada fungsi yang hanya memiliki nilai minimum atau hanya nilai maksimum, tetapi ada juga fungsi yang mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum sekaligus seperti pada Gambar 1 di atas. Kita ilustrasikan ini pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2. Ilustrasi nilai maksimum dan minimum pada fungsi \( f(x) = x^2 \) untuk berbagai daerah asal (domain)

Gambar 2 di atas menunjukkan bahwa ada tidaknya nilai maksimum atau minimum (nilai ekstrem) pada fungsi \( f(x) = x^2 \) bergantung pada interval atau daerah asal (domain) yang didefinisikan pada fungsi tersebut. Dari ilustrasi ini, kita dapat menarik kesimpulan bahwa suatu fungsi akan mempunyai nilai maksimum atau minimum bergantung pada daerah asal fungsi tersebut.

Selain itu, fungsi yang awalnya tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum dapat menjadi mempunyai nilai maksimum atau minimum dengan membatasi (restrict) interval atau daerah asalnya. Misalnya, Gambar 2(a) dengan daerah asal \(( -\infty, \infty )\) tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum. Namun, ketika daerah asalnya dibatasi pada [0,2], fungsi tersebut menjadi mempunyai nilai maksimum dan minimum. Kita nyatakan ini dalam Tabel berikut.

Turunan dan Nilai Maksimum-Minimum Fungsi

Penjelasan singkat kita di awal artikel ini merupakan pengantar yang baik untuk memberikan pemahaman terkait nilai maksimum dan minimum atau nilai ekstrim suatu fungsi. Sekarang kita siap untuk mengaitkan konsep turunan dalam proses pencarian nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Andaikan kita mengetahui fungsi \(f\) dengan domain (daerah asal) \(S\) seperti pada Gambar 3. Apakah \(f\) memiliki nilai maksimum dan minimum pada \(S\)? Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada, maka kita ingin mengetahui lebih lanjut di mana dalam \(S\) nilai-nilai itu berada.

Gambar 3.

Kita mulai dengan memperkenalkan suatu definisi yang tepat.

DEFINISI:

Andaikan \(S\), daerah asal \(f\), memuat titik \(c\). Kita katakan bahwa

1. \(f(c)\) adalah nilai maksimum \(f\) pada \(S\) jika \(f(c)≥f(x)\) untuk semua \(x\) dalam \(S\);
2. \(f(c)\) adalah nilai minimum \(f\) pada \(S\) jika \(f(c)≤f(x)\) untuk semua \(x\) dalam \(S\);
3. \(f(c)\) adalah nilai ekstrim \(f\) pada \(S\) jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

TEOREMA A: Teorema Eksistensi Max-Min

Jika \(f\) kontinu pada interval tertutup \([a,b]\), maka \(f\) mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Perhatikan kata-kata kunci: ‘\(f\) harus kontinu dan himpunan \(S\) harus berupa selang tertutup’.

Titik-titik Kritis

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu interval atau selang \(I\) sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dari sembilan tipe selang yang telah kita bahas sebelumnya. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung (end points); beberapa tidak.

Misalnya, selang \(I=[a,b]\) memuat kedua titik ujungnya; [a,b) hanya memuat titik ujung kiri; \((a,b)\) tidak memuat titik ujung manapun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (lihat Gambar 4).

Gambar 4

Jika \(c\) adalah sebuah titik dalam interval \(I\) di mana \(f'(c)=0\), kita sebut \(c\) titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik \(f\) mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik stasioner (lihat Gambar 5).

Namun, jika pada titik \(c\), \(f'\) tidak ada maka kita sebut \(c\) titik singular. Ini merupakan titik di mana grafik \(f\) mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal atau mungkin berupa lompatan (atau di dekatnya ia bergoyang sangat buruk). Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Gambar 6), walaupun dalam masalah-masalah praktis hal ini sangat jarang terjadi.

Gambar 5.

Gambar 6.

Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) merupakan titik-titik kunci dari teori maks-min. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi \(f\) yang termasuk salah satu dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis \(f\).

CONTOH 1

Carilah titik-titik kritis dari \(f(x)=-2x^3+3x^2\) pada interval \([-1/2,2]\).

Penyelesaian:

Titik-titik ujung dari interval yang diberikan adalah -1/2 dan 2. Untuk mencari titik stasioner kita selesaikan \(f'(x)=-6x^2+6x=0\) untuk \(x\), sehingga diperoleh 0 dan 1. Tidak terdapat titik-titik singular. Dengan demikian, titik-titik kritisnya adalah \(-1/2, \ 0, \ 1, \ 2\).

TEOREMA B: Teorema Titik Kritis

Andaikan \(f\) terdefinisi pada selang \(I\) yang memuat titik \(c\). Jika \(f(c)\) adalah nilai ekstrim, maka \(c\) haruslah suatu titik kritis; yaitu \(c\) berupa salah satu:

1. titik ujung dari \(I\);
2. titik stasioner \(f\); yaitu, titik di mana \(f'(c)=0\); atau
3. titik stasioner \(f\); yaitu, titik di mana \(f'(c)\) tidak ada.

Mengingat teorema A dan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu \(f\) pada selang tertutup \(I\).

Langkah 1. Carilah titik-titik kritis dari \(f\) pada \(I\).

Langkah 2. Hitunglah \(f\) pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

CONTOH 2

Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari \(f(x)=-2x^3+3x^2\) pada \([-1/2,2]\).

Penyelesaian:

Dalam Contoh 1, kita peroleh \(-1/2, \ 0, \ 1, \ 2\) sebagai titik-titik kritis. Sekarang \(f(-1/2)=1, \ f(0)=0, \ f(1)=1\), dan \(f(2)=-4\). Jadi, nilai maksimum adalah 1 (dicapai pada -1/2 dan 1) dan nilai minimum adalah \(- 4\) (dicapai pada 2). Grafik \(f\) diperlihatkan dalam Gambar 7.

Gambar 7.

Cukup sekian penjelasan mengenai cara mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi menggunakan konsep turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.