Datum yang membagi data menjadi sepuluh 10 bagian yang sama setelah data diurutkan disebut

Contoh skala ratio adalah sebagai berikut : Ukuran berat badan, tinggi badan, umur, dan lain-lain. Seseorang yang mempunyai berat badan 100 kg adalah dua kali beratnya dari orang yang mempunyai berat badan 50 kg. Jika berat suatu benda adalah 0, maka benda tersebut benar-benar tidak mempunyai berat Agus Irianto, 2010 : 20. Sifat-sifat data berdasarkan jenis data dapat dilihat dalam tabel sebagai berikut Husaini, 2008:22 : Tabel 2.2 Sifat Jenis Data Eksklusif dan beda Urutan Ukuran baru dan jarak Nol Mutlak Ukuran Pusat Ukuran Dispersi Uji Signifikansi Nominal √ - - - Mode - Ordinal √ √ - - Median Kuartil Korelasi Rank Interval √ √ √ - Mean Aritmetik SD Varians , Rasio √ √ √ √ Mean Geometrik Coefisien Varians , Dalam penelitian ini materi statistika yang akan dipelajari adalah ukuran pemusatan data, ukuran letak data, dan ukuran penyebaran data pada data tunggal dan data kelompok. Berikut adalah penjelasan dari materi data tunggal dan materi data kelompok :

1. Materi Data Tunggal

Materi data tunggal yang akan dipelajari pada penelitian ini adalah sebagai berikut Sartono, 2007 dan Murniati, 2007 : a. Ukuran pemusatan Data Pemusatan data merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukan pusat data. Pemusatan data terdiri dari rata-rata, data yang paling sering muncul, dan nilai tengah suatu data. Selanjutnya rata-rata sering disebut dengan istilah mean, data paling sering muncul disebut dengan istilah modus, sedangkan nilai tengah dari suatu data disebut dengan istilah median. 1. Rataan Mean Rataan dari suatu data tunggal adalah perbandingan jumlah semua nilai dengan banyak datum. Dengan demikian, = ℎ Jika suatu data terdiri atas nilai-nilai , , , , …, , maka rataan dari data tersebut ditentukan dengan rumus berikut : ̅ = … Dengan: ̅ dibaca : x bar = rataan dari suatu data n = banyak datum yang diamati, disebut ukuran data Contoh : Hitunglah rataan dari data 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10 Jawab : Banyak datum dari data yang diamati adalah 8, maka n = 8 Maka nilai rataan dari data yang diamati adalah = ̅ = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + 10 + 10 8 = 60 8 = 7,5 2. Modus Modus dari suatu data tunggal yang terdiri atas nilai-nilai , , , … , ditentukan sebagai nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar. Suatu data dapat saja memiliki lebih dari satu modus atau kadang- kadang tidak memiliki modus sama sekali. Hal ini terlihat pada contoh berikut : a. Data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 mempunyai modus 6. Sebab nilai datum 6 paling sering muncul, yaitu sebanyak 3 kali. b. Data 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai modus 7 dan 8. Sebab nilai datum 7 dan 8 secara bersamaan paling sering muncul, yaitu sebanyak 2 kali. c. Data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 tidak mempunyai modus. Sebab dari data ini tidak mempunyai nilai datum yang paling sering muncul. Dari contoh di atas tampak bahwa :  Ada data yang hanya mempunyai satu modus, maka disebut unimodus, jika ada data yang mempunyai dua modus, disebut maka bimodus, dan ada pula data yang mempunyai lebih dari dua modus maka disebut mulitimodus.  Ada data yang sama sekali tidak mempunyai modus. 3. Median Median untuk data tunggal adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Misalnya terdapat data , , , …, dengan , … . Tabel 2.3 Rumus Median untuk Data Tunggal Ukuran Data n Keterangan Notasi Ganjil Median adalah nilai data ke- = Genap Median adalah setengah dari jumlah nilai data ke- dan nilai data ke- + 1 atau median adalah rataan dari nilai data ke- dan nilai data ke- + 1 = 1 2 + Contoh: Tentukan median dari setiap data berikut : a 9, 5, 10, 4, 7 b 12, 11, 7, 8, 6, 13, 9, 10 Jawab : a Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil : 4 5 7 9 10 Nilai-nilai dalam data yang telah diurutkan dengan ukuran data n = 5 sehingga data tersebut berukuran ganjil. Maka median dapat dicari : = = = 7 Dalam bentuk bagan, median dari data di atas dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 2.1 Ilustrasi Menentukan Median Data Tunggal Nilai Ganjil 4 5 7 9 10 Jadi, median dari data tersebut adalah = 7 b Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil : 6 7 8 9 10 11 12 13 Nilai-nilai dalam data yang telah diurutkan dengan ukuran data n = 8 sehingga data tersebut berukuran genap. Maka median dapat dicari : = 1 2 + = 1 2 + = 1 2 9 + 10 = 9,5 Dalam bentuk bagan, median dari data di atas dapat digambarkan sebagai berikut Nilai yang ditengah, median = = 7 Gambar 2.2 Ilustrasi Menentukan Median Data Tunggal Nilai Genap 6 7 8 9 ● 10 11 12 13 b. Ukuran Letak Data Ukuran letak data yang biasanya akan dipelajari di tingkat SMA adalah kuartil dan desil. 1. Kuartil Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah data tersebut diurutkan dari data yang terkecil hingga data yang terbesar. Terdapat tiga buah kuartil, yaitu :  Kuartil pertama atau kuartil bawah dilambangkan membagi data menjadi bagian dan bagian.  Kuartil kedua atau kuartil tengah atau median dilambangkan membagi data menjadi bagian dan bagian  Kuartil ketiga atau kuartil bawah dilambangkan membagi data menjadi bagian dan bagian. Misalkan suatu data dengan ukuran n disajikan dalam bentuk statistik jajaran , , , …, , , letak atau lokasi kuartil = 1 2 4 + 5 = 1 2 9 + 10 = 9,5 = 1 2 4 + 5 = 1 2 9 + 10 = 9,5 = 1 2 4 + 5 = 1 2 9 + 10 = 9,5 pertama , kuartil kedua, dan kuartil ketiga dari data tersebut dapat ditunjukan dengan menggunakan bagan sebagai berikut : Gambar 2.3 Letak Kuartil dari Data Tunggal Cara menentukan kuartil-kuartil dari data tunggal adalah sebagai berikut : a Mengurutkan data dari nilai yang terkecil hingga yang terbesar. b Menentukan median atau kuartil kedua c Menentukan nilai kuartil pertama . Nilai ini ditentukan sebagai median semua nilai data yang kurang dari d Menentukan nilai kuartil pertama . Nilai ini ditentukan sebagai median semua nilai data yang lebih dari Contoh : Tentukan kuartil pertama , kuartil kedua , dan kuartil ketiga dari data berikut 1 18, 9, 1, 21, 1, 6, 14 2 4, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 5, 12 ● ● ● ● 1 4 3 4 2 4 Jawab : 1 Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil : 1 1 6 9 14 18 21 = 1 + 6 2 = 3,5 = 9 = 14 + 18 2 = 16 2 Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil : 3 4 4 4 4 5 7 7 8 8 8 9 10 12 = 4 = 7 + 7 2 = 7 = 8 2. Desil Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Untuk statistik jajaran dengan ukuran data n 10, dapat ditentukan sembilan buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 10 bagian yang sama. Kesembilan buah nilai itu disebut desil, yaitu :  Desil pertama , mempartisi data menjadi bagian dan bagian  Desil pertama , mempartisi data menjadi bagian dan bagian  . . . . . ,  Desil pertama , mempartisi data menjadi bagian dan bagian  Dan seterusnya .. c. Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data atau ukuran dispersi menunjukan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah jangkauan atau rentang, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam, pagar luar, serta ragam dan simpangan baku. 1. Jangkauan Jangkauan adalah ukuran penyebaran data yang sederhana. Selisih antara nilai terbesar statistik maksimum dengan nilai terkecil statistik minimum . Jangkauan juga dapat disebut dengan rentang, atau range. Jangkauan dapat dinotasikan sebagai berikut : = = − 2. Hamparan Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama . Hamparan juga dapat disebut dengan hampiran, rentang antar kuartil, jangkauan antar kuartil. Hamparan dapat dinotasikan sebagai berikut : = − 3. Simpangan kuartil Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang hamparan. Simpangan kuartil juga dapat disebut dengan rentang semi antar kuartil. Simpangan kuartil dapat dinotasikan sebagai berikut : = 1 2 = 1 2 − 4. Langkah Langkah adalah satu setengah kali panjang satu hamparan. Langkah dapat dinotasikan sebagai berikut : = 1 1 2 = 1 1 2 − 5. Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama . Pagar dalam dapat dinotasikan sebagai berikut : = − Pagar luar adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga . Pagar luar dapat dinotasikan sebagai berikut : = + Pagar dalam dan pagar luar digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. Suatu nilai data dapat dinyatakan normal atau tidak normal jika memenuhi syarat sebagai berikut : a Untuk tiap nilai data yang terletak di antara batas-batas pagar-dalam dan pagar-luar − ≤ ≤ + disebut data normal. Data disebut normal jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda. b Untuk tiap nilai data yang kurang dari pagar dalam + merupakan data tak normal. Data yang tak normal ini disebut juga pencilan. Jadi, jelas bahwa data pencilan adalah data yang tidak konsisten dalam kelompoknya. Keberadaan data yang tak normal atau pencilan pada suatu kumpulan data akan menimbulkan kecurigaan. Sehingga pencilan itu perlu dikaji secara seksama, apa yang menjadi penyebabnya. Ada beberapa kemungkinan penyebab munculnya data pencilan dalam suatu kumpulan data, di antaranya sebagai berikut : a Terjadinya kesalahan ketika mencatat nilai data b Terjadinya kesalahan ketika melakukan pengukuran, kesalahan ketika membaca alat ukur, atau kesalahan ketika menggunakan alat ukur. c Bukan salah catat dan bukan salah ukur, tetapi data itu memang diperoleh dari objek yang aneh anomali atau menyimpang. Data tersebut dinamakan sebagai data yang berbeda asal. 6. Statistik Lima Serangkai Statistik lima serangkai adalah lima buah nilai statistik setelah data diurutkan dari data terkecil hingga data terbesar, yaitu statistik ekstrim yaitu statistik minimum dan statistik maksimum dan kuartil-kuartil kuartil pertama , kuartil kedua , dan kuartil ketiga yang merupakan lima buah nilai statistik yang dapat menentukan statistik jajaran suatu data. Statistik lima serangkai dapat ditampilkan dalam bentuk bagan seperti berikut : Gambar 2.4 Posisi Statistika Lima Serangkai ● ● ● ● ● Contoh : Hasil pengukuran berat badan dalam kg dari 14 bola logam dengan diameter sama adalah : 7,0 5,6 6,1 7,2 6,9 6,7 5,4 6,0 6,5 5,7 6,2 6,3 5,9 6,6 Tentukan statistik lima serangkainya Statistik jajaran untuk data itu adalah sebagai berikut : 5,4 5,6 5,7 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,2 Statistik minimum = = = 5,4 Statistik maksimum = = = 7,2 5,4 5,6 5,7 5,9 6,0 6,1 6,2 ● 6,3 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,2 = 5,9 = 6,2 + 6,3 2 = 6,25 = 6,7 Jadi, statistik lima serangkainya adalah = 5,4 = 7,2 = 5,9 = 6,25 = 6,7 . 7. Simpangan Rata-rata Simpangan rata-rata juga dapat disebut dengan istilah deviasi rata-rata. Simpangan rata-rata merupakan ukuran penyebaran data terhadap rataan hitungnya. Simpangan rata-rata dapat disimbolkan dengan SR. SR untuk data tunggal dapat ditentukan dengan rumus seperti berikut : = 1 | − ̅ | Keterangan : = banyaknya data = nilai data ke- i ̅ = rataan hitung Contoh : Tentukan simpangan rata-rata dari data : 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13 Jawab : = 8 ̅ = 1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 10 + 12 + 13 8 = 56 8 = 7 = 1 8 |1 − 7| + |3 − 7| + |4 − 7| + |5 − 7| + |8 − 7| + |10 − 7| + |12 − 7| + |13 − 7| = 6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 5 + 6 = 3,75 Jadi, simpangan rata-rata dari data di atas adalah 3,75 8. Ragam dan Simpangan Baku Ukuran penyebaran data yang mempunyai hubungan dengan nilai rata-rata dari suatu data adalah ragam dan simpangan baku. Misalkan ̅ adalah rataan dari data tunggal , , , …, , maka : Ragam atau variansi data itu adalah : = 1 − ̅ Simpangan baku atau standar deviasi data itu adalah : = = 1 − ̅ Keterangan : = ukuran data = nilai dat ke- i ̅ = nilai rataan 46 Contoh : Tentukan ragam dan simpangan baku dari data : 1, 3, 4, 5, 10, 12, 13 Jawab : = 8 ̅ = 1 + 3 + 4 + 5 + 10 + 12 + 13 8 = 48 8 = 6 = ∑ − ̅ = 1 − 6 + 3 − 6 + 4 − 6 + 5 − 6 + 10 − 6 + 12 − 6 + 13 − 6 8 = − 5 + − 3 + − 2 + − 1 + 4 + 6 + 7 8 = 25 + 9 + 4 + 1 + 16 + 49 8 = 104 8 = 13 = = √ 13 = 3,61 Jadi, data tersebut mempunyao ragam 13 dan simpangan baku 3,61