Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2 x sin x 0 untuk nilai 0 derajat

rebbose Saturday, 20 February 2021 contoh soal trigonometri Edit

Table of Contents Show

himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dr cos 2x + sin x – 1 = 0 adalah
Himpunan penyelesaian dr Persamaan trigonometri cos 2x-sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≥ 360° adalah
tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri berikut cos 2x + sin x = 0
Video yang berhubungan
Video yang berhubungan

Himpunan penyelesaian persamaan sin 4x - cos 2x untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah . . .

E. {45°, 75°, 105°, 135°}

persamaan = sin 4x - cos 2x

Ditanyakan : Himpunan penyelesaiannya . . .?

2 sin 2x cos 2x - cos 2x = 0

cos 2x = 0 atau 2 sin 2x - 1 = 0

Untuk k = 0, maka x = 45°

Untuk k = 1, maka x = 225°

Untuk k = 1, maka x = 135°

Untuk k = 2, maka x = 315°

Untuk sin 2x = 1/2 = sin 30° dan sin 2x = 150°

Untuk k = 0, maka x = 15°

Untuk k = 1, maka x = 195°

Untuk k = 0, maka x = 75°

Untuk k = 1, maka x = 225°

Karena persamaan itu dibatasi oleh interval 0° ≤ x ≤ 180°, maka nilai x yang memenuhi adalah 45°, 75°, 105°, dan 135°.

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {45°, 75°, 105°, 135°}.

Itulah pembahasan contoh soal mengenai materi trigonometri, semoga bermangfaat dan mudah untuk dipahami yah. Terima kasih semuannya, tetap semangat dalam belajar.

Jawaban:

Bimbel Hilman Privat

Pembahasan soal matematika,fisika,kimia dengan-cara detail & jelas sehingga mudah dipahami

WA : 085659603287

himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dr cos 2x + sin x – 1 = 0 adalah

Jawab:

Hp : 0°,180°,210°,330°,360°

Penjelasan dgn langkah-langkah:

cos 2x – sin x – 1 = 0

1 – 2 sin² x – sin x – 1 = 0

-2 sin² x – sin x = 0

sin x ( -2 sin x – 1 ) = 0

sin x = 0 (*) atau -2 sin x – 1 = 0 (**)

sin x = 0

sin x = sin 0°

maka, α = 0°

x = α + k.360° atau x = (180°-α) + k.360°

x = 0° + k.360° x = (180°-0°) + k.360°

k = 0 –> x = 0° x = 180° + k.360°

k = 1 –> x = 360° k = 0 –> x = 180°

-2 sin x – 1 = 0

-2 sin x = 1

sin x = -1/2

sin x = sin 210°

maka, α = 210°

x = α + k.360° atau x = (180°-α) + k.360°

x = 210° + k.360° x = (180°-210°) + k.360°

k = 0 –> x = 210° x = -30° + k.360°

k = 1 –> x = 330°

Hp : 0°,180°,210°,330°,360°

jadikan jawaban terbaik ya 🙂

Himpunan penyelesaian dr Persamaan trigonometri cos 2x-sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≥ 360° adalah

Jawab:

Himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0⁰ < x < 360⁰ adalah HP = 90⁰, 210⁰, 330⁰ .

Penjelasan dgn langkah-langkah:

Ini merupakan persoalan persamaan trigonometri yg akan diolah bentuknya menjadi persamaan kuadrat trigonometri.

Interval yg diberikan (0⁰ < x < 360⁰) menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian nilai-nilai x yg memenuhi harus berada di seluruh kuadran.

Bentuk cos 2x di soal harus diubah menjadi sinus dgn menggunakan rumus sudut rangkap (ganda) cosinus. Rumus sudut rangkap cosinus yang diperlukan untuk mengubahnya adalah

Perhatikan setiap langkah dgn cermat.

cos 2x + sin x = 0

1 – 2sin²x + sin x = 0

Kalikan kedua ruas dgn -1 untuk memudahkan pemfaktoran.

2sin²x – sin x – 1 = 0

Faktorkan

(2sin x + 1)(sin x – 1) = 0

Diperoleh sin x = – ¹/₂ & sin x = 1

Berikutnya kita gunakan bentuk umum penyelesaian persamaan sinus untuk menentukan nilai-nilai sudut x.

Bagian Pertama : Sin X = Sin a = a + k.360°

Bagian Kedua : Sin X = Sin a (180° – a ) + k.360°

Nilai k = 0, 1, 2, & seterusnya.

Penyelesaian untuk sin x = – ¹/₂

sin x = sin (180° + 30°) = sin 210° (kuadran III)

Bagian Pertama

x = 210° + k.360°

Untuk k = 0 ⇒ x = 210°

Untuk k = 1 & seterusnya tak ada x yg memenuhi karena berada di luar interval

Bagian Kedua

x = (180° – 210°) + k.360°

x = -30° + k.360°

Untuk k = 0 diperoleh x = -330° yg tak memenuhi penyelesaian karena berada di luar interval

Untuk k = 1 ⇒ x = -30° + 360° = 330°

Penyelesaian untuk sin x = 1

sin x = 1 ⇒ sin x = sin 90°

Dalam interval 0° < x < 360°, nilai yg memenuhi sin x = 1 hanya x = 90°.

Jadi, nilai x yg memenuhi persamaan cos 2x + sin x = 0 untuk 0⁰ < x < 360⁰ dapat ditulis sebagai himpunan penyelesaian HP = 90⁰, 210⁰, 330⁰

Baca Juga: 4.)Himpunan Penyelesaian Persamaan (x-6)=9 Adalah:

#SEMOGAMEMBANTU

tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri berikut cos 2x + sin x = 0

cos 2x + sin x = 0 cos 2x = -sinx1-2sin²x = -sinx2sin²x – sinx – 1 = 0(2sinx +1)(sinx -1) = 0sin x= -1/2sinx = sin (180+30)x = 210x = (360-30)

x = 330

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat SMA bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri pada suatu interval tertentu.

UN 2017

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/3, π, 5π/3} B. {2π/3, π, 4π/3} C. {0, 2π/3, 4π/3, 2π} D. {0, π/3, 5π/3, 2π} E. {0, π/3, 4π/3, 2π}

Pembahasan :

cos 2x = -cos x cos 2x + cos x = 0

(2cos2x - 1) + cos x = 0

2cos2x + cos x - 1 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 1) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -1

cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π

Cosinus bernilai positif di Kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300°

cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π

→ x = 180° Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} atau {π/3, π, 5π/3}

Jawaban : A

Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materi Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian.

UN 2017

Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 7π/6} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}

Pembahasan :

4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x 4sin2x - 5sin x - 2 = 2(1 - sin2x) 4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x

6sin2x - 5sin x - 4 = 0 (3sin x - 4)(2sin x + 1) = 0 sin x = 4/3 atau sin x = -1/2

sin x = 4/3 → tidak mempunyai solusi

sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π

Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° Jadi, HP = {210°, 330°} atau {7π/6, 11π/6}

Jawaban : E

UN 2016

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {60°, 120°, 150°} B. {60°, 150°, 300°} C. {90°, 210°, 300°} D. {90°, 210°, 330°} E. {120°, 250°, 330°}

Pembahasan :

cos 2x + sin x = 0 1 - 2sin²x + sin x = 0 2sin²x - sin x - 1 = 0 (2sin x + 1)(sin x - 1) = 0 sin x = -1/2 atau sin x = 1

sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 360°

Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330°

sin x = 1, 0 ≤ x ≤ 360°

→ x = 90° Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}

Jawaban : D

UN 2015

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x - 1 = 0 pada 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {60°, 120°} B. {60°, 240°} C. {60°, 300°} D. {120°, 240°} E. {120°, 300°}

Pembahasan :

cos 2x + 3cos x - 1 = 0

(2cos2x - 1) + 3cos x - 1 = 0

2cos2x + 3cos x - 2 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 2) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -2

cos x = -2 → tidak mempunyai solusi

cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 360°

Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° Jadi, HP = {60°, 300°}

Jawaban : C

UN 2014

Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {0°, 20°, 60°} B. {0°, 20°, 100°} C. {20°, 60°, 100°} D. {20°, 100°, 140°} E. {100°, 140°, 180°}

Pembahasan :

0° ≤ x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540° 2cos 3x = 1

cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540°

Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1(360°) = 420° K.IV → 3x = 360° - 60° = 300° 3x = 60° → x = 20° 3x = 420° → x = 140° 3x = 300° → x = 100° Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}

Jawaban : D

UN 2014

Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {30°, 150°} B. {30°, 300°} C. {60°, 150°} D. {60°, 300°} E. {150°, 300°}

Pembahasan :

2cos2x + 5sin x - 4 = 0 2(1 - sin2x) + 5sin x - 4 = 0 2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 0

2sin2x - 5sin x + 2 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 2) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 2

sin x = 2 → tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°

Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A

UN 2013

Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {30°, 150°} B. {60°, 120°} C. {30°, 60°, 150°} D. {60°, 90°, 120°} E. {60°, 120°, 150°}

Pembahasan :

cos 2x - sin x = 0

(1 - 2sin2x) - sin x = 0

2sin2x + sin x - 1 = 0 (2sin x - 1)(sin x + 1) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = -1

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180°

Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150°

sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180°

(tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°) Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A

UN 2012

Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {120°, 150°} B. {150°, 165°} C. {30°, 150°} D. {30°, 165°} E. {15°, 105°}

Pembahasan :

cos 4x + 3sin 2x = -1

(1 - 2sin22x) + 3sin 2x = -1

-2sin22x + 3sin 2x + 2 = 0

2sin22x - 3sin 2x - 2 = 0 (2sin 2x + 1)(sin 2x - 2) = 0 sin 2x = -1/2 atau sin 2x = 2

sin 2x = 2 → tidak mempunyai solusi

sin 2x = -1/2 , 0° ≤ 2x ≤ 360°

Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → 2x = 180° + 30° = 210° K.IV → 2x = 360° - 30° = 330° 2x = 210° → x = 105° 2x = 330° → x = 165° Jadi, HP = {105°, 165°}

Jawaban : -

UN 2010

Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x < 2π adalah ... A. {0, π} B. {π/2, π} C. {3π/2, π} D. {π/2, 3π/2} E. {0, 3π/2}

Pembahasan :

sin 2x + 2cos x = 0 2sin x cos x + 2cos x = 0 cos x (2sin x + 2) = 0 cos x = 0 atau sin x = -1

cos x = 0, 0 ≤ x < 2π

→ x = 90°

sin x = -1, 0 ≤ x < 2π

→ x = 270° Jadi, HP = {90°, 270°} atau {π/2, 3π/2}

Jawaban : D

UN 2009

Himpunan penyelesaian sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2, 0° < x < 360° adalah ... A. {10, 50, 170, 230} B. {50, 70, 230} C. {50, 170, 230, 350} D. {20, 80, 100} E. {0, 50, 170, 230, 350}

Pembahasan :

sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2 Gunakan sifat : sin A + sin B = 2sin\(\mathrm{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\) cos\(\mathrm{\left ( \frac{A-B}{2} \right )}\) pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh 2sin (2x + 50)° cos 60° = 1/2 2sin (2x + 50)° (1/2) = 1/2 sin (2x + 50)° = 1/2 sin (2x + 50)° = sin 30° Solusi I : 2x + 50 = 30 + k.360 2x = -20 + k.360 x = -10 + k.180 Untuk k = 1 → x = 170 Untuk k = 2 → x = 350 Solusi II : 2x + 50 = (180 - 30) + k.360 2x = 100 + k.360 x = 50 + k.180 Untuk k = 0 → x = 50 Untuk k = 1 → x = 230 Jadi, HP = {50, 170, 230, 350}

Jawaban : C

UN 2008

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {240°, 300°} B. {210°, 330°} C. {120°, 240°} D. {60°, 120°} E. {30°, 150°}

Pembahasan :

cos 2x + 7sin x - 4 = 0

(1 - 2sin2x) + 7sin x - 4 = 0

-2sin2x + 7sin x - 3 = 0

2sin2x - 7sin x + 3 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 3) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 3

sin x = 3 → tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°

Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : E

UN 2005

Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {45°, 105°, 225°, 285°} B. {45°, 135°, 225°, 315°} C. {15°, 105°, 195°, 285°} D. {15°, 135°, 195°, 315°} E. {15°, 225°, 295°, 315°}

Pembahasan :

Acos x + Bsin x = k cos (x - θ) dengan k = \(\sqrt{\mathrm{A^{2}+B^{2}}}\) tan θ = \(\mathrm{\frac{B}{A}}\) atau θ = arctan\(\mathrm{\left ( \frac{B}{A} \right )}\)

Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B).

2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0

⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1

⇔ √3 (2cos2x - 1) - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 cos 2x - sin 2x = 1 ............................(1) Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos (2x - θ) A = √3 dan B = -1 k = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\) = 2 Karena (A, B) = (√3, -1) berada di kuadran IV maka θ berada di kuadran IV. tan θ = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) = \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) → θ = 330° Diperoleh persamaan √3 cos 2x - sin 2x = 2cos (2x - 330°) .........(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (2x - 330°) = 1 cos (2x - 330°) = 1/2 cos (2x - 330°) = cos 60° Solusi I : 2x - 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° Untuk k = -1 → x = 15° Untuk k = 0 → x = 195° Solusi II : 2x - 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° Untuk k = 0 → x = 135° Untuk k = 1 → x = 315° Jadi, HP = {15°, 135°, 195°, 315°}

Jawaban : D

UN 2004

Himpunan penyelesaian persamaan √6 sin x + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {15°, 105°} B. {15°, 195°} C. {75°, 105°} D. {75°, 345°} E. {105°, 345°}

Pembahasan :

√6 sin x + √2 cos x = 2 ⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................(1) Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos (x - θ) A = √2 dan B = √6 k = \(\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( \sqrt{6} \right )^{2}}\) = 2√2 Karena (A, B) = (√2, √6) berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I. tan θ = \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\) = √3 → θ = 60° Diperoleh persamaan √2 cos x + √6 sin x = 2√2 cos (x - 60°) ......(2) Dari persaamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2√2 cos (x - 60°) = 2 cos (x - 60°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) cos (x - 60°) = cos 45° Solusi I : x - 60° = 45° + k.360° x = 105° + k.360° Untuk k = 0 → x = 105° Solusi II : x - 60° = -45° + k.360° x = 15° + k.360° Untuk k = 0 → x = 15° Jadi, HP = {15°, 105°}

Jawaban : A

UN 2003

Untuk 0° ≤ x < 360°, himpunan penyelesaian dari sin x - √3 cos x - √3 = 0 adalah ... A. {120°, 180°} B. {90°, 210°} C. {30°, 270°} D. {0°, 300°} E. {0°, 300°, 360°}

Pembahasan :

sin x - √3 cos x - √3 = 0 ⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................(1) Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos (x - θ) A = -√3 dan B = 1 k = \(\sqrt{\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}\) = 2 Karena (A, B) = (-√3, 1) berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II. tan θ = \(\frac{1}{-\sqrt{3}}\) = \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) → θ = 150° Diperoleh persamaan -√3 cos x + sin x = 2cos (x - 150°) .............(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (x - 150°) = √3 cos (x - 150°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos (x - 150°) = cos 30° Solusi I : x - 150° = 30° + k.360° x = 180° + k.360° Untuk k = 0 → x = 180° Solusi II : x - 150° = -30° + k.360° x = 120° + k.360° Untuk k = 0 → x = 120° Jadi, HP = {120°, 180°}

Jawaban : A