Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang cara menentukan jenis dan sifat akar persamaan kuadrat (PK). Jenis akar yang dimaksud disini adalah apakah akar persamaan kuadrat merupakan bilangan real (sama atau berlainan), bilangan imajiner, bilangan irasional ataukah bilangan rasional. Sedangkan sifat akar yang dimaksudkan adalah apakah akar-akar persamaan kuadrat merupakan bilangan positif, bilangan negatif, bilangan-bilangan yang sama besar ataukah bilangan-bilangan yang berkebalikan.
Namun sebelum itu, kalian tentunya harus memahami dahulu bagaimana bentuk persamaan kuadrat itu. persamaan kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut.
ax2 + bx + c = 0
dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Bentuk persamaan kuadrat di atas memiliki paling banyak dua akar real. Maksudnya, bisa saja akarnya hanya satu bilangan real atau tidak memiliki akar bilangan real sama sekali. Jenis dan sifat akar persamaan kuadrat ternyata bisa diketahui tanpa harus menentukan akar-akarnya terlebih dahulu. Lalu bagaimana caranya? Perhatikan penjelasan berikut ini.
Cara Menentukan Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Masih ingatkah kalian tentang cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan rumus ABC? Suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC atau rumus kuadrat, yaitu sebagai berikut.
x1,2 | = | –b ± √ | b2 – 4ac | |
2a |
Dari rumus di atas, tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b2 – 4ac. Bentuk b2 – 4ac ini disebut diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b2 – 4ac. Kenapa dinamakan diskriminan? Karena nilai D = b2 – 4ac inilah yang membedakan (mendiskriminasi) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.
Untuk meninjau atau memeriksa hubungan antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac, silahkan kalian simak uraian berikut ini.
#1 Persamaan kuadrat x2 – 6x + 8 = 0, jika diselesaikan menggunakan rumus ABC maka mempunyai akar-akar x1 = 2 dan x2 = 4. (tidak percaya? Silahkan kalian buktikan sendiri). Akar-akar tersebut merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x2 – 6x + 8 = 0 adalah a = 1, b = -6 dan c = 8, sehingga nilai diskriminannya adalah sebagai berikut.
D = b2 – 4ac
D = (-6)2 – 4(1)(8)
D= 36 – 32
D = 4
D = 22
Ternyata bahwa:
D > 0 dan D = 22 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
#2 Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 5 = 0, jika diselesaikan dengan menggunakan rumus ABC ternyata tidak mempunyai akar real atau kedua akar tidak real (imajiner). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 5 = 0 adalah a = 2, b = 3 dan c = 5, sehingga nilai diskriminannya adalah.
D = b2 – 4ac
D = (3)2 – 4(2)(5)
D = 9 – 40
D = -31
Ternyata bahwa:
D < 0
Meskipun bukan merupakan sebuah bukti, tetai 2 fakta di atas menunjukkan berlakunya sebuah sifat yang menghubungkan keterkaitan antara jenis akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya. Secara umum, hubungan antara nilai diskriminan dengan jenis akar persamaan kuadrat disajikan dalam tabel berikut ini.
Nilai Diskriminan | Jenis Akar Persamaan Kuadrat | |
D > 0 | Dua akar real yang berbeda | |
Jika D berbentuk kuadrat sempurna | Kedua akarnya rasional | |
Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna | Kedua akarnya irasional | |
D = 0 | Dua akar yang sama (kembar), real dan rasional | |
D < 0 | Tidak mempunyai akar real atau kedua akar tidak real (imajiner) |
Cara Menentukan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Seperti yang telah dijelaskan di awal tadi, sifat yang dimaksud dalam akar persamaan kuadrat adalah akar positif, negatif, berbeda tanda, berlawanan atau berkebalikan. Untuk melihat sifat akar, selain menggunakan nilai diskriminan (D), kita juga harus mencari hasil penjumlahan dan hasil perkalian akar-akar persamaan kuadrat. Adapun rumus yang dipakai untuk menentukan sifat akar selain diskriminan adalah sebagai berikut.
x1 + x2 | = | −b | |
a | |||
x1 . x2 | = | c | |
a |
Nilai D, −b/a dan c/a | Sifat Akar Persamaan Kuadrat |
D ≥ 0 | Dua akar positif (x1 > 0 dan x2 > 0) |
−b/a > 0 | |
c/a > 0 | |
D ≥ 0 | Dua akar negatif (x1 < 0 dan x2 < 0) |
−b/a < 0 | |
c/a > 0 | |
c/a < 0 | Dua akar berbeda tanda (salah satu akar negatif) |
b = 0 atau persamaan kuadrat berbentuk ax2 + c = 0 | Dua akar sama besar dan berlawanan tanda (x1 = −x2) |
a = c | Dua akar berkebalikan (x1 = 1/x2) |
Contoh Soal dan Pembahasan
Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukan jenis dan sifat akar persamaan kuadrat berikut ini.
a) 2x2 – 7x + 6 = 0
b) 3x2 + 7x + 3 = 0
c) 4x2 – 2x + ¼ = 0
d) x2 – 6x + 12 = 0
Jawab :
a) 2x2 – 7x + 6 = 0
Persamaan kuadrat 2x2 – 7x + 6 = 0 memiliki nilai a = 2, b = -7 dan c = 6
Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan sebagai berikut
D = b2 – 4ac
D = (-7)2 – 4(2)(6)
D = 49 – 48
D = 1
Karena D = 1 > 0 dan D = 1 = (1)2 berbentuk kuadrat sempurna, maka persamaan kuadrat 2x2 – 7x + 6 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.
Sifat Akar: ditentukan dengan nilai D, -b/a dan c/a
D > 0
-b/a = -(-7)/2 = 7/2 > 0
c/a = 6/2 = 3 > 0
karena D > 0, -b/a > 0 dan c/a > 0, maka akar persamaan kuadrat 2x2 – 7x + 6 = 0 adalah dua bilangan positif.
b) 3x2 + 7x + 3 = 0
Persamaan kuadrat 3x2 + 7x + 3 = 0 memiliki nilai a = 3, b = 7 dan c = 3
Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan sebagai berikut
D = b2 – 4ac
D = (7)2 – 4(3)(3)
D = 49 – 36
D = 13
Karena D = 13 > 0 dan D = 13 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka persamaan kuadrat 2x2 – 7x + 6 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan irasional.
Sifat Akar: karena a = c = 3 maka persamaan kuadrat 3x2 + 7x + 3 = 0 memiliki dua akar yang berkebalikan
c) 4x2 – 2x + ¼ = 0
Persamaan kuadrat 4x2 – 2x + ¼ = 0 memiliki nilai a = 4, b = -2 dan c = ¼
Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan sebagai berikut
D = b2 – 4ac
D = (-2)2 – 4(4)(¼)
D = 4 – 4
D = 0
Karena D = 0, maka persamaan kuadrat 4x2 – 2x + ¼ = 0 mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real dan rasional
Sifat Akar: ditentukan dengan nilai -b/a dan c/a
-b/a = -(-2)/4 = 2/4 = 1/2 > 0
c/a = ¼/4 = 1/16 > 0
karena -b/a > 0 dan c/a > 0, maka akar persamaan kuadrat 2x2 – 7x + 6 = 0 adalah dua bilangan positif kembar.
d) x2 – 6x + 12 = 0
Persamaan kuadrat x2 – 6x + 12 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -6 dan c = 12
Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan sebagai berikut
D = b2 – 4ac
D = (-6)2 – 4(1)(12)
D = 36 – 48
D = -12
Karena D = -12 < 0, maka persamaan kuadrat x2 – 6x + 12 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya merupakan bilangan imajiner.
Sifat Akar: karena jenis akar persamaan kuadrat x2 – 6x + 12 adalah bilangan imajiner, kita tidak perlu menentukan sifat akar dari persamaan kuadrat tersebut.
Demikianlah artikel tentang cara menentukan jenis dan sifat akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan nilai diskriminan lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.