Show
Persamaan Linier Dua Variabel
Sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang metode
grafik untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaaan linear dua variabel. Metode grafik memiliki kelemahan dalam mencari himpunan penyelesaian
suatu sistem persamaan linear dua variabel. Apa kelemahan dari metode grafik? Untuk mengatasi
kekurangan atau kelemahan tersebut maka ada metode alternatif lainnya yang bisa
Anda gunakan yakni metode eliminasi. Apa itu metode eliminasi?
 Metode eliminasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk memecahkan atau mencari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabelnya. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya, bila ingin mencari variabel y maka kita harus menghilangkan variabel x terlebih dahulu. Perlu diingat, untuk mengeliminasi suatu variabel harus variabel tersebut memiliki koefisien yang sama. Jadi jika koefisien variabelnya belum sama maka terlebih dahulu menyamakan koefisiennya dengan cara mengalikan atau membaginya. Kemudian baru bisa menentukan variabel yang lain yang akan ditentukan. Jadi dalam metode eliminasi anda memerlukan dua kali mengeliminasi variabel. Agar kalian lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh soal berikut. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real. 1. x + y = 1 dan x + 5y = 5 2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8 3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4 4. 3x + 2y = 12 dan 2x + 3y = 18 5. x + y = 12 dan 3x – y = 4 1. x + y = 1 dan x + 5y = 5 Langkah I (eliminasi variabel y) Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman x + y = 1 dikalikan 5 dan persamaan x + 5y = 5 dikalikan 1, maka: x + y = 1 │× 5 =>5x + 5y = 5 x + 5y = 5 │× 1 => x + 5y = 5 Langkah II (eliminasi variabel x) Sama seperti langkah I, tidak perlu menyamakan koefisien untuk mengeliminasi variabel x karena koefisiennya sudah sama, maka: Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1)}. 2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8 Langkah I (eliminasi variabel y) Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 1 dan persamaan 2x – y = 8 dikalikan 2, maka: 3x + 2y = 12 │× 1 =>3x + 2y = 12 2x – y = 8 │× 2 =>4x – 2y = 16 Langkah II (eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x – y = 8 dikalikan 3, maka: 3x + 2y = 12 │× 2 =>6x + 4y = 24 2x – y = 8 │× 3 =>6x – 3y = 24 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0)} 3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4 Langkah I (eliminasi variabel y) Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 2 dan persamaan 3x – 2y = 4 dikalikan 1, maka: 2x + y = 5 │× 2 =>4x + 2y = 10 3x – 2y = 4 │× 1 =>3x – 2y = 4 Langkah II (eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 3 dan persamaan 3x – 2y = 4 dikalikan 2, maka: 2x + y = 5 │× 3 =>6x + 3y = 15 3x – 2y = 4 │× 2 =>6x – 4y = 8 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)} 4. 3x + 2y = 12 dan 2x + 3y = 18 Langkah I (eliminasi variabel y) Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 3 dan persamaan 2x + 3y = 18 dikalikan 2, maka: 3x + 2y = 12│× 3 =>9x + 6y = 36 2x + 3y = 18│× 2 =>4x + 6y = 36 Langkah II (eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x + 3y = 18 dikalikan 3, maka: 3x + 2y = 12│× 2 =>6x + 4y = 24 2x + 3y = 18│× 3 =>6x + 9y = 54 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 6)} 5. x + y = 12 dan 3x – y = 4 Langkah I (eliminasi variabel y) Untuk mengeliminasi variabel y, tidak perlu menyamakan koefisien karena sudah sama, maka: Langkah II (eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman x + y = 12 dikalikan 3 dan persamaan 3x – y = 4 dikalikan 1, maka: x + y = 12 │× 3 =>3x + 3y = 36 3x – y = 4 │× 1 =>3x – y = 4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 8)} Bagaimana? Masih bingung? Silahkan tanyakan kesulitan Anda pada kolom komentar. Jika metode di atas masih mengalami kesulitan silahkan coba metode berikutnya yakni metode substitusi. Demikianlah pembahasan mengenai penyelesaian persamaan linier dua variabel dengan metode eliminasi. Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas. Salam Mafia. TOLONG DIBAGIKAN YA :
Sistem persamaan linear dua variabel adalah beberapa bentuk persamaan yang terdiri dari dua variabel (PLDV) dan saling berkaitan dalam sistem linear untuk mengubah suatu pernyataan matematis ke bentuk persamaan sederhana. Sistem ini sering disebut dengan SPLDV atau dalam bahasa inggris "System of Linear Equations in Two Variables". Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan peningkatan dari sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks. Minimal terdapat 2 bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) untuk membentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) sebagai teknik pemecahan kasus matematika. Sebelum mempelajari SPLDV, dibutuhkan pemahaman materi terkait SPLSV. Artikel terkait: Sistem Persamaan Linear Satu Variabel (SPLSV) Navigasi Cepat: A1. Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel dalam SPLDVBeberapa persamaan linear dua variabel (PLDV) yang saling berkaitan membentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yang dapat digunakan sebagai teknik pemecahan suatu kasus matematika. Berikut bentuk umum dan ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel. ax + by + c = 0dengan:
Catatan: Bentuk umum suatu fungsi persamaan adalah ekuivalen dengan 0 atau "Zero of Function". Pemahaman ini akan digunakan di tingkat pembelajaran yang lebih tinggi. A2. Contoh Bentuk Umum PLDV dan Elemen PembentuknyaBerikut contoh persamaan linear dua variabel (PLDV) dan elemen pembentuknya. Alasan: Persamaan "2x + 3y + 8 = 7" merupakan bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) karena mempunyai dua variabel yaitu x dan y. B. Cara Penyelesaian SPLDV dan Contoh SoalTerdapat 3 cara untuk penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yaitu dengan metode substitusi, eliminasi, dan campuran. Metode substitusi adalah metode yang digunakan untuk penyelesaian bentuk aljabar dengan menggabungkan persamaan-persamaan yang telah diketahui menjadi suatu kesatuan. Dalam penyelesaian SPLDV diperlukan minimal 2 persamaan untuk menemukan solusi masing-masing variabel. Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode SubstitusiTentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut menggunakan metode substitusi 2x + 4y = 28 ... (i) 3x + 2y = 22 ... (ii)Penyelesaian: 1# Memilih salah satu persamaan yang akan dipindahkan salah satu variabel-nya Hal pertama yang dilakukan saat menggunakan metode substitusi yaitu memilih salah satu persamaan untuk dipindahkan elemen-nya. Disarankan memilih persamaan yang paling mudah, sehingga tidak menghasilkan angka desimal saat langkah berikutnya. Untuk beberapa kasus setiap persamaan mungkin mempunyai tingkat kesulitan yang sama, yaitu sama-sama menghasilkan angka desimal. Jadi, pemilihan persamaan bersifat bebas dan relatif. Misalnya dipilih persamaan (i) yaitu 2x + 4y = 28 2# Memindahkan salah satu variabel pada persamaan yang dipilih Misalnya, dipilih variabel y untuk dipindahkan ke ruas kanan, 2x + 4y = 28 ... (i) ⇔ 2x = 28 - 4y Karena, dipilih variabel y untuk dipindahkan, sehingga diperoleh bentuk solusi untuk variabel x, yaitu menghilangkan koefisien x dengan membagi masing-masing ruas dengan nilai koefisien x, 2x = 28 - 4y 2 2 ⇔ x = 14 - 2y ... (iii) Sehingga ditemukan persamaan (iii) bentuk solusi dari variabel x 3# Menggabungkan persamaan (iii) pada persamaan yang tidak dipilih di awal (ii) untuk menghitung solusi numerik variabel lainnya 3x + 2y = 22 ... (ii) Karena diperoleh bentuk solusi x pada persamaan (iii), x = 14 - 2y ... (iii) Selanjutnya gabungkan dengan cara mengganti variabel x sebagai bentuk solusinya pada persamaan (ii), 3 x + 2y = 22 ⇔ 3 (14 - 2y) + 2y = 22 ⇔ 42 - 6y + 2y = 22 ⇔ 42 - 4y = 22 ⇔ -4y = 22 - 42 ⇔ -4y = -20 ⇔ -4y = -20 -4 -4 ⇔ y = 5 Sehingga, diperoleh solusi variabel y = 5 4# Menghitung solusi numerik variabel lain Karena sudah ditemukan solusi variabel y = 5, dapat dihitung dengan menggabungkan y = 5 pada bentuk solusi x pada persamaan (iii) x = 14 - 2y ... (iii) ⇔ x = 14 - 2(5) ⇔ x = 14 - 10 ⇔ x = 4 Sehingga, diperoleh solusi variabel x = 4Jawaban: Solusi SPLDV tersebut adalah x = 4 dan y = 5 Untuk memastikan jawaban tersebut benar, perlu diuji dengan memasukkan nilai x = 4 dan y = 5 pada soal 2x + 4y = 28 ... (i) 2(4) + 4(5) = 28 8 + 20 = 28 (Benar) 3x + 2y = 22 ... (ii) 3(4) + 2(5) = 22 12 + 10 = 22 (Benar)B2. Metode Eliminasi (Menghilangkan)Metode eliminasi adalah metode yang digunakan untuk penyelesaian bentuk aljabar dengan menghilangkan salah satu variabel untuk menentukan solusi variabel lainnya. Dalam penyelesaian SPLDV diperlukan minimal 2 persamaan untuk menemukan solusi masing-masing variabel. Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode EliminasiTentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut menggunakan metode eliminasi x + 2y = 20 2x + 3y = 33Penyelesaian: 1# Menghitung solusi variabel x Untuk menghitung solusi variabel x menggunakan metode eliminasi, diperlukan menghilangkan variabel y pada masing-masing persamaan. x + 2y = 20 2x + 3y = 33 _ Koefisien variabel y pada masing-masing persamaan adalah 2 dan 3 Hitung KPK dari 2 dan 32y → 2, 4, 6, 8, ... 3y → 3, 6, 9, ... KPK 2 dan 3 adalah 6, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 6 2 → 6 : 2 = x3 3 → 6 : 3 = x2 Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali x + 2y = 20 | x3 2x + 3y = 33 _ | x2 Diperoleh: 3x + 6y = 60 4x + 6y = 66 _ -x = -6 x = 6 Mengapa ini terjadi? Perhatikan elemen -x mempunyai nilai koefisien -1 (koefisien 1 dalam penulisan biasanya tidak ditulis, sehingga ditulis tanda "minus" saja)-x = -6 -1 -1Ingat, bentuk pecahan sama dengan operasi pembagian-1x : -1 = 1x = x-6 : -1 = 6#Tips Negatif : Negatif = PositifDiperoleh x = 6 Sehingga diperoleh solusi variabel x = 6 Baca juga: Cara menghitung KPK dan FPB 2# Menghitung solusi variabel y Untuk menghitung solusi variabel y menggunakan metode eliminasi, diperlukan menghilangkan variabel x pada masing-masing persamaan. x + 2y = 202x + 3y = 33 _ Koefisien variabel x pada masing-masing persamaan adalah 1 dan 2 Hitung KPK dari 1 dan 2 x → 1, 2, 3, ... 2x → 2, 4, 6, ... KPK 1 dan 2 adalah 2, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 2 1 → 2 : 1 = x2 2 → 2 : 2 = x1Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali x + 2y = 20 | x22x + 3y = 33 _ | x1 Diperoleh:2x + 4y = 402x + 3y = 33 _ y = 7Sehingga diperoleh solusi variabel y = 7 Jawaban: Solusi SPLDV tersebut adalah x = 6 dan y = 7 Untuk memastikan jawaban tersebut benar, perlu diuji dengan memasukkan nilai x = 6 dan y = 7 pada soalx + 2y = 20 (6) + 2(7) = 206 + 14 = 20 (Benar) 2x + 3y = 332(6) + 3(7) = 3312 + 21 = 33 (Benar) B3. Metode Campuran (Hybrid Eliminasi dan Substitusi)Metode campuran adalah metode hybrid (gabungan) dari metode eliminasi dan metode substitusi untuk mencari solusi persamaan bentuk aljabar. Metode campuran merupakan alternatif untuk menghasilkan perhitungan yang lebih cepat. Cara kerja metode ini yaitu melakukan eliminasi untuk mencari solusi suatu variabel, lalu melakukan substitusi variabel yang telah ditemukan untuk menghitung variabel berikutnya. Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode CampuranTentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut menggunakan metode campuran 2x + 3y = 85x + 7y = 19 Penyelesaian: #1 Langkah Eliminasi Misalnya langkah pertama mencari solusi variabel x dengan eliminasi variabel y pada masing-masing persamaan 2x + 3y = 85x + 7y = 19 _ Koefisien variabel y pada masing-masing persamaan adalah 3 dan 7 Hitung KPK dari 3 dan 7 3y → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ... 7y → 7, 14, 21, 28, ... KPK 3 dan 7 adalah 21, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 213 → 21 : 3 = x7 7 → 21 : 7 = x3Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali 2x + 3y = 8 | x75x + 7y = 19 _ | x3 Diperoleh:14x + 21y = 5615x + 21y = 57 _ -x = -1 x = 1Sehingga ditemukan solusi variabel x = 1 #2 Langkah Substitusi Karena solusi variabel x telah ditemukan, dilanjutkan dengan substitusi ke salah satu persamaan pada soal (bebas). Misalnya dipilih persamaan pertama soal2x + 3y = 8dengan substitusi x = 1 diperoleh, Sehingga ditemukan solusi variabel y = 2 Jawaban: Solusi SPLDV tersebut adalah x = 1 dan y = 2 Untuk memastikan jawaban tersebut benar, perlu diuji dengan memasukkan nilai x = 1 dan y = 2 pada soal2x + 3y = 82(1) + 3(2) = 82 + 6 = 8 (Benar) 5x + 7y = 195(1) + 7(2) = 195 + 14 = 19 (Benar) C. Contoh Soal Cerita SPLDVAndi and Budi membeli alat-alat tulis di sebuah toko. Andi membeli 2 buku dan 3 pulpen dengan harga Rp 17.000,- dan Budi membeli 1 buku dan 10 pulpen dengan harga Rp 34.000,- Berapakah harga sebuah buku dan sebuah pulpen? Penyelesaian: Dari soal di atas dapat dibentuk persamaan SPLDV, sebagai berikut. Dengan mendefinisikan:Buku sebagai variabel xPulpen sebagai variabel yDapat dibentuk SPLDV berikut, 2 Buku + 3 Pulpen = Rp 17.000,-1 Buku + 10 Pulpen = Rp 34.000,-2x + 3y = 17.000 x + 10y = 34.000 Untuk mempermudah penyelesaian, akan digunakan metode campuran #1 Langkah Eliminasi Pada langkah ini dihitung solusi x dengan eliminasi variabel y2x + 3y = 17.000 x + 10y = 34.000 Koefisien variabel y pada masing-masing persamaan adalah 3 dan 10 Hitung KPK dari 3 dan 10 3y → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ... 10y → 10, 20, 30, 40, ... KPK 3 dan 10 adalah 30, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 30 3 → 30 : 3 = x10 10 → 30 : 10 = x3Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali 2x + 3y = 17.000 |x10x + 10y = 34.000 _ | x3 Diperoleh:20x + 30y = 170.0003x + 30y = 102.000 _ 17x = 68.00017x = 68.000 17 17x = 4.000Diperoleh, harga sebuah buku adalah Rp 4.000,- #2 Langkah Substitusi Karena harga buku telah diketahui melalui solusi variabel x = 4000, selanjutnya dihitung harga pulpen dengan metode substitusi x = 4.000Pulpen direpresentasikan oleh variabel ySehingga substitusi nilai x ke salah satu persamaan soal untuk mencari solusi numerik y 2x + 3y = 17.000⇔ 2(4.000) + 3y = 17.000⇔ 3y = 17.000 - 8.000⇔ 3y = 9.000 ⇔ 3y = 9.000 3 3⇔ y = 3.000Diperoleh, harga sebuah pulpen adalah Rp 3.000,- Jawaban: Harga buku adalah Rp 4.000,- dan harga pulpen adalah Rp 3.000,- Baca juga: Daftar Isi Pelajaran Matematika Sekian artikel "SPLDV dan Contoh Soalnya". Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih ... |
Metode apakah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menghilangkan salah satu variabelnya disebut *?
Pos Terkait
Copyright © 2024 apacode Inc.
