Negasi yang benar dari kalimat majemuk apabila guru tidak hadir maka semua murid senang adalah

  KATA PENGANTAR Puji syukur saya kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah berkenan memberi petunjuk dan kekuatan kepada saya sehingga makalah, “LOGIKA MATEMATIKA” ini dapat diselesaikan. Makalah ini disusun dan dibuat berdasarkan materi-materi yang ada. Materi-materi bertujuan agar dapat menambah pengetahuan dan wawasan siswa dalam belajar matematika. Serta mahasiswa juga dapat memahami nilai – nilai dasar yang direfleksikan dalam berpikir dan bertindak. Mudah-mudahan dengan mempelajari makalah ini, para mahasiswa akan mampu menghadapi masalah-masalah atau kesulitan-kesulitan yang timbul dalam belajar Teknologi Infomasi dan Komunikasi. Dan dengan harapan semoga mahasiswa mampu berinovasi dan berkreasi dengan potensi yang dimiliki. Gorontalo, November 2013   LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, dan seterusnya. Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Contoh : a. Jakarta adalah ibu kota Negara Republik Indonesia. b. 5 adalah bilangan genap. c. Kemana anda pergi? Kalimat (a) merupakan pernyataan yang bernilai benar, kalimat (b) merupakan pernyataan yang bernilai salah dan kalimat (c) bukan merupakan pernyataan, karena tidak bernilai benar atau salah Kalimat-kalimat yang tidak termasuk pernyataan, adalah: • Kalimat perintah • Kalimat pertanyaan • Kalimat keheranan • Kalimat harapan • Kalimat ……walaupun….. 2. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Variabel adalah simbol untuk menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Untuk memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan contoh berikut. a. 2 x + 3 = 11 b. y – 3 < 9 c. Kota itu bersih, indah dan teratur. Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat terbuka karena belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Pada kalimat (a), jika kita ganti variabel x dengan 3 maka kalimat (a) tidak lagi berupa kalimat terbuka, sekarang (a)adalah suatu pernyataan yang bernilai salah tetapi jika kita ganti variabel x dengan 4 maka (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Jika kita ganti variabel “itu” pada kalimat (c) dengan Jakarta, maka (c) belum menjadi pernyataan karena tetap harus diselidiki nilai kebenarannya. B. Operasi Logika 1. Negasi Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar. Jika pada suatu pernyataan p, diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan pernyataan p atau jika mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p. Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar. Jadi, nilai kebenaran negasi suatu pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini. p ~p B S S B Contoh: a. p : Semua bilangan prima adalah ganjil. ~p : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil. ~p : Ada bilangan prima yang tidak ganjil. b. q : 2 + 2 = 5 ~q : Tidak benar 2 +2 =5 ~q : 2 + 2  5 2. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p  q”. Nilai kebenaran konjungsi p  q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar, maka p  q benar; sebaliknya, jika salah satu p atau q salah serta p salah dan q salah, maka p  q salah. Dengan perkataan lain, konjungsi dua pernyataan akan bernilai benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p q p  q B B S S B S B S B S S S Contoh : a. p : 2 + 3 = 5 (benar) q : 5 adalah bilangan prima (benar) p  q : 2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima (benar) b. p : 12 habis dibagi 3 (benar) q : 15 habis dibagi 2 (salah) p  q : 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah) 3. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p  q”. Nilai kebenaran disjungsi p  q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar serta salah satu diantara p dan q benar, maka p  q benar. Jika p dan q dua-duanya salah maka p  q salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p q p  q B B S S B S B S B B B S Contoh : a. p : 5 + 3 = 8 (benar) q : 8 adalah bilangan genap (benar) p  q : 5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan genap (benar) b. p : 5 + 3  8 (salah) q : 8 bukan bilangan genap (salah) p  q : 5 + 3  8 atau 8 bukan bilangan genap (salah) 4. Implikasi Implikasi (pernyataan bersyarat/kondisional) adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika “jika . . . maka . . .”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p  q”, dapat dibaca “jika p maka q”. Nilai kebenaran implikasi p  q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah, maka p  q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p  q dinyatakan benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p q p  q B B S S B S B S B S B B Contoh : a. p : 5 + 3 = 8 (benar) q : 8 adalah bilangan genap (benar) p  q : jika 5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar) b. p : 5 + 3  8 (salah) q : 8 adalah bilangan genap (benar) p  q : jika 5 + 3  8 maka 8 adalah bilangan genap (benar) 5. Biimplikasi Jika dua pernyataan p dan q dirangkai dengan menggunakan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”, maka diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p  q”. Nilai kebenaran biimplikasi p  q memenuhi sifat berikut: p  q dinyatakan benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. p  q dinyatakan salah jika mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p q p  q B B S S B S B S B S S B Contoh: a. p : 2 + 6 = 8 (benar) q : 2 < 8 (benar) p  q : 2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar) b. p : 2 + 6  8 (salah) q : 2 > 8 (salah) p  q : 2 + 6  8 jika dan hanya jika 2 > 8 (benar) C. Konvers, Invers dan Kontraposisi suatu Implikasi Dari suatu implikasi p  q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu: 1. q  p, yang disebut konvers dari p  q. 2. ~p  ~q, yang disebut invers dari p  q. 3. ~q  ~p, yang disebut kontraposisi dari p  q. Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut adalah: Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q ~p ~q p  q q  p ~p ~q ~q  ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B Dari tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p  q sama dengan nilai kebenaran ~q  ~p. Begitu pula nilai kebenaran q  p sama dengan nilai kebenaran ~p  ~q. D. Tautologi dan Kontradiksi Suatu proposisi yang hanya memuat B pada kolom terakhir tabel kebenarannya, yaitu benar untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya, disebut tautologi. Sebaliknya proposisi disebut kontradiksi, jika kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat S untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya. Tabel kebenaran tautologi. p ~p p  ~p B S S B B B Tabel kebenaran kontradiksi. p ~p p  ~p B S S B S S E. Pernyataan Berkuantor Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap,beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor Universal Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal. a. Semua kuda berlari cepat. b. Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol. Kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.  x, p(x) dibaca: untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x) Kuantor Eksistensial Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial. Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor eksistensial. a. Ada bis kota yang bersih. b. Beberapa dinding rumah terbuat dari papan kayu. Seperti halnya pada kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.  x, p(x) dibaca: beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah p(x) Ingkaran Kuantor Universal Perhatikan contoh berikut. p : Semua kucing berwarna putih ingkaran dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau ~p : Ada kucing yang tidak berwarna putih Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut. ~[ x, p(x)]   x, ~p(x) dibaca: ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)” Ingkaran Kuantor Eksistensial Perhatikan contoh berikut. p : Ada pria yang menyukai sepak bola ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak bola, atau ~p : Semua pria tidak menyukai sepak bola Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut. ~[ x, p(x)]   x, ~p(x) dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)” F. Penarikan Kesimpulan Modus ponens, modus tollens dan silogisme adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi. Suatu argumentasi disusun dengan cara menuliskan premis-premisnya baris demi baris dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara premis-premis dengan konklusi. Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka argumentasi tersebut dapat disajikan dalam susunan berikut. a ……. premis 1 b ……. premis 2 c ……. kesimpulan/konklusi Pernyataan a sebagai premis 1, pernyataan b sebagai premis 2, dan pernyataan c sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda  dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”. 1. Modus Ponens Misalkan diketahui premis-premis p  q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut. p  q ……. premis 1 p ……. premis 2  q ……. kesimpulan/konklusi 2. Modus Tollens Misalkan diketahui premis-premis p  q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut. p  q ……. premis 1 ~q ……. premis 2  ~p ……. kesimpulan/konklusi 3. Silogisme Misalkan diketahui premis-premis p  q dan q  r. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi p  r. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut kaidah silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut. p  q ……. premis 1 q  r ……. premis 2  p  r ……. kesimpulan/konklusi G. Pembahasan Soal Logika Matematika Berdasarkan Soal UN Th. 2010/2011 Tingkat SMA Soal UN Tahun 2010/2011 Tingkat SMA Program Studi IPA 1. Diketahui: Premis 1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian Premis 2 : Jika Adi lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN Penarikan kesimpulan dari premis–premis tersebut adalah… A. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN B. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN C. Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN D. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian E. Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN Jawaban : A Pembahasan: Misalkan : p = Adi rajin belajar q = Adi lulus ujian r = Adi dapat diterima di PTN Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r Kesimpulan :  p  r Soal UN Tahun 2010/2011 Tingkat SMA Program Studi IPS 1. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dinyatakan dengan (~p q)  ~q pada tabel berikut adalah …. p q (~p  q)  ~q B B S S B S B S … … … … A. BBSS B. BSSS C. BBSB D. BSBB E. SBBB Jawaban : C Pembahasan: p q ~p ~q ~p  q (~p  q) ~q B B S S B S B S S S B B S B S B S S B S B B S B 2. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika semua harta benda Andi terbawa banjir, maka ia menderita Premis 2 : Andi tidak menderita Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … A. Semua harta benda Andi tidak terbawa banjir B. Ada harta benda Andi yang terbawa banjir C. Semua harta benda Andi terbawa banjir D. Ada harta Andi yang tidak terbawa banjir E. Tidak ada banjir Jawaban : A Pembahasan: Misalkan : p = semua harta benda Andi terbawa banjir q = ia menderita ~q = Andi tidak menderita Premis 1 : p  q Premis 2 : ~q Kesimpulan :  ~p 3. Negasi dari pernyataan “Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga”, adalah … A. Ani tidak senang bernyanyi tetapi senang olah raga B. Ani senang bernyanyi juga senang olah raga C. Ani tidak senang bernyanyi atau tidak senang olah raga D. Ani tidak senang bernyanyi atau senang olah raga E. Ani senang bernyanyi atau tidak senang olah raga Jawaban : D Pembahasan: Misalkan : p = Ani senang bernyanyi ~q = tidak senang olahraga ~ ( p  ~q )  ~p  q H. Prediksi Soal Logika Matematika Berdasarkan SKL Tingkat SMA 1. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Ani lulus ujian, maka ia kuliah di perguruan tinggi negeri Premis 2 : Jika Ani kuliah di perguruan tinggi negeri, maka Ani menjadi sarjana Premis 3 : Ani bukan seorang sarjana Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … A. Ani lulus ujian B. Ani kuliah di perguruan tinggi negeri C. Ani tidak lulus ujian D. Ani lulus ujian dan kuliah di perguruan tinggi negeri E. Ani lulus ujian dan tidak kuliah Jawaban : C 2. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika guru matematika tersenyum maka siswa dapat menyelesaikan soal ujian matematika Premis 2 : Jika siswa dapat menyelesaikan soal ujian matematika maka kepala sekolah memberi hadiah Negasi kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah … A. Jika guru matematika tidak tersenyum maka siswa tidak lulus ujian B. Guru matematika tersenyum dan kepala sekolah tidak memberi hadiah C. Jika kepala sekolah tidak memberi hadiah maka guru matematika tidak tersenyum D. Guru matematika tersenyum atau kepala sekolah tidak memberi hadiah E. Jika kepala sekolah tidak memberi hadiah maka siswa tidak dapat menyelesaikan soal ujian matematika Jawaban : B 3. Diketahui: Premis 1 : Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil Premis 2 : Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia Dari premis-premis tersebut dapat ditarik kesimpulan yang sah adalah … A. Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil B. Jika hidup saya bahagia, maka saya jujur C. Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia D. Jika usaha saya berhasil, maka saya jujur E. Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia Jawaban : E 4. Diketahui: Premis 1 : Jika Fadli lulus ujian pegawai atau menikah maka ayah memberi hadiah uang. Premis 2 : Ayah tidak memberi hadiah uang Kesimpulannya ialah … A. Fadli tidak lulus ujian dan menikah B. Fadli tidak lulus ujian pegawai dan tidak menikah C. Fadli tidak lulus ujian pegawai atau menikah D. Fadli tidak lulus ujian pegawai atau tidak menikah E. Jika Fadli tidak lulus ujian pegawai maka Fadli tidak menikah Jawaban : B 5. Negasi dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum”, adalah … A. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum B. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan minum C. Semua makhluk tidak hidup perlu makan dan minum D. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum E. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum Jawaban : E 6. Negasi dari pernyataan “Apabila guru tidak hadir maka semua murid senang”, adalah … A. Guru hadir dan semua murid tidak senang B. Guru hadir dan ada beberapa murid senang C. Guru hadir dan semua murid senang D. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang E. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senang Jawaban : D 7. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dinyatakan dengan p (q  p) pada tabel berikut adalah …. p q p  (q  p) B B S S B S B S … … … … A. BBSB B. BSBB C. BSSS D. BBBS E. BSSB Jawaban : A 8. Negasi dari pernyataan “semua murid menganggap matematika sukar” ialah … A. Beberapa murid menganggap matematika sukar B. Semua murid menganggap matematika mudah C. Ada murid yang menganggap matematika tidak sukar D. Tidak seorangpun murid menganggap matematika sukar E. Ada murid tidak menganggap matematika mudah Jawaban : C   Kesimpulan Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain, yaitu konvers, invers dan kontraposisi. Metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens dan silogisme.   DAFTAR PUSTAKA Wibisono, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu. Lipschutz, Seymour dan George G. hall. 1988. Matematika Hingga. Jakarta: Penerbit Erlangga. Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga. Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Page 2