Pernyataan berikut yang benar tentang grafik fungsi kuadrat y=ax2+bx+c dengan a 0 b 0 dan c 0 adalah

         Blog Koma - Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ disebut juga parabola karena lintasannya yang menyerupai parabola. Ternyata parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ (di sini yang dimaksud adalah grafik fungsi kuadrat) memiliki beberapa karakteristik yang menarik untuk kita pelajari berdasarkan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ . Berikut beberapa ciri-ciri parabola yang akan berguna dalam memahami grafik fungsi kuadrat lebih mendalam.

         Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola) kita pelajari untuk menganalisa grafik fungsi kuadrat secara khusus. Misalkan ada fungsi kuadratnya, kita akan langsung sketsa grafiknya berdasarkan nilai $ a, \, b , \, $ dan $ c \, $ tanpa harus menentukan titik potong sumbu-sumbu dan tanpa menentukan titik puncaknya. Begitu juga sebaliknya, jika diketahui grafiknya (berupa parabola), kita akan bisa menentukan kisaran nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c \, $ , apakah positif atau negatif.

         Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, biasanya soal-soal yang ada kaitannya dengan Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat sering muncul. Sehingga penting bagi teman-teman untuk menguasainya, karena sebenarnya di sini kita tidak memerlukan perhitungan yang sulit, hanya kita perlu mengetahui dan menghafal ciri-ciri grafiknya saja. Namun sebaliknya, jika kita tidak menguasai materinya, maka akan sangat sulit bagi kita untuk menjawab soalnya karena setiap pilihan jawaban (opsi A, B, C, D, dan E) hampir mirip semua.

Berdasarkan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $

         Parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ bergantung dari nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ nya. Berikut penjelasannya :

(i). Nilai $ a $

         Nilai $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan arah parabola yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. (*). Jika nilai $ a > 0 \, $ (positif), maka parabola terbuka ke atas yang mengakibatkan nilai minimum. (*). Jika nilai $ a < 0 \, $ (negatif), maka parabola terbuka ke bawah yang mengakibatkan nilai maksimum.

(ii). Nilai $ b $

         Nilai $ b \, $ dan $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan letak titik puncak .

         Untuk memudahkan mengingat posisi titik puncak berdasarkan nilai $ a \, $ dan $ b \, $, gunakan singkatan berikut :                            BeKa SaKi = Beda Kanan Sama Kiri

Artinya , jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda ($ a < 0 \, $ dan $ b > 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b < 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kanan sumbu Y. dan jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama ($ a < 0 \, $ dan $ b < 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b > 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kiri sumbu Y. yang dimaksud tanda disini adalah nilai positif atau negatif saja tanpa memperhatikan besarnya.

(iii). Nilai $ c \, $

         Nilai $ c \, $ menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu Y, bisa positip, negatif, atau tepat di pusat koordinat.

Kedudukan Parabola pada Sumbu X

         Kedudukan yang dimaksud adalah posisi parabola , apakah memotong sumbu X, menyinggung sumbu X, atau tidak memotong dan menyinggung sumbu X , yang ditentukan berdasarkan nilai Diskriminaanya $(D=b^2-4ac)$ .

Definit Positif dan Definit Negatif

         Bentuk definit tergantung dari nilai Diskriminan ($D$) dan nilai $ a \, $

*). Definit Positif (kurva selalu di atas sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $
*). Definit Negatif (kurva selalu di bawah sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu negatif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $

         Untuk lebih memahami ciri-ciri parabola , mari kita simak contoh-contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan nilai $ a, \, b, \, c \, $ dan $ D \, $ berdasarkan grafik FK di bawah ini.

Penyelesaian : *). Kurva menghadap ke atas, maka nilai $ a > 0 \, $ (positif) *). titik puncak ada disebelah kiri sumbu Y, berarti singkatan yang digunakan adalah SaKi (Sama Kiri) , artinya tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama. Karena nilai $ a > 0 \, $ , maka nilai $ b > 0 \, $ juga. *). Kurva memotong sumbu Y negatif, sehingga nilai $ c < 0 $ *). Kurva memotong sumbu X di dua titik, sehingga nilai $ D > 0 $ .

Jadi, diperoleh nilai-nilai $ a > 0, \, b > 0 , \, c < 0 , \, $ dan $ D > 0 $

Contoh 2.

Agar grafik FK $ y = px^2 + (p+1)x + (p+2) \, $ memenuhi grafik di bawah ini, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ FK : $ y = px^2 + (p+1)x + (p+2) \rightarrow a = p, \, b = p+1, \, c = p+2 $ *). Kurva menghadap ke bawah, maka nilai $ a < 0 \Leftrightarrow p < 0 \, $ ...(HP1) *). Titik puncak ada di sebelah kanan sumbu Y, berarti singkatan yang digunakan adalah BeKa (Beda Kanan) , artinya tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda. Karena $ a < 0 \, $ , maka nilai $ b > 0 \, $ (berbeda). sehingga : $ b > 0 \rightarrow p+1 > 0 \rightarrow p > -1 \, $ ....(HP2) *). Kurva memotong sumbu Y positif, sehingga $ c > 0 \rightarrow p+2 > 0 \rightarrow p > -2 \, $ ....(HP3) $\clubsuit \,$ Nilai $ p \, $ yang memenuhi grafik adalah nilai $ p \, $ yang memenuhi ketiga syarat di atas. $\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \cap HP3 \\ & = \{ p < 0 \} \cap \{ p > -1 \} \cap \{ p > -2 \} \\ & = \{ -1 < p < 0 \} \end{align} $

Jadi, nilai $ p \, $ nya adalah $ \{ -1 < p < 0 \} $ .

Contoh 3.

Tentukan nilai $ k \, $ agar FK $ y = (k-1)x^2 -2x-1 \, $ selalu bernilai negatif untuk semua $ x $ . ?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ FK : $ y = (k-1)x^2 -2x-1 \rightarrow a = k-1, \, b = -2, \, c = -1 $ $\clubsuit \,$ Grafik selalu benilai negatif, artinya definit negatif , syarat : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $ $\clubsuit \,$ Menyelesaikan syaratnya : Syarat pertama : $ a < 0 $ $\begin{align} a & < 0 \rightarrow k - 1 < 0 \rightarrow k < 1 \, \, \, \, \text{...(HP1)} \end{align} $ Syarat kedua : $ D < 0 $ $\begin{align} D = b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.(k-1).(-1) & < 0 \\ 4 + 4k - 4 & < 0 \\ 4k & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ k & < 0 \, \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align} $ Nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah irisan dari kedua syaratnya. HP = HP1 $ \cap \, $ HP2 = $ \{ k < 0 \} $

Jadi, nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah $ \{ k < 0 \} $ .

         Catatan penting yang harus kita ketahui dalam materi "ciri-ciri grafik fungsi kuadrat (parabola)" terutama yang berkaitan langsung dengan soal-soalnya adalah harus sudah ada grafiknya terlebih dahulu. Setelah ada grafiknya baru kita bisa menganalisa nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c, \, $ serta nilai diskriminannya secara cermat dan tepat. Artinya untuk kebanyakan soal, kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu, karena ada beberapa soal yang grafiknya belum ada tetapi kita diminta untuk menganalisa ciri-ciri grafiknya.

QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 01 Grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c seperti gambar berikut, adalah (A) a > 0 dan c > 0 (B) a > 0 dan c > 0 (C) a 0 (C) a < 0 dan c 0 dan c = 0 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 02 Grafik fungsi y = 4x – x2 paling tepat di-gambarkan sebagai (A) (D) (B) (E) (C) QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 03 Dari grafik y = ax – ax2 , a > 0 , diketahui : (1) terbuka ke bawah (2) memotong sumbu x dititik (a , 0) (3) mempunyai sumbu simetri garis x = ½ (4) melalui titik ( -a , a3) Pernyataan yang benar untuk grafik diatas adalah (A) 1, 2, dan 3 (B) 1, 3 (C) 2, 4 (D) 4 (E) 1, 2, 3, dan 4 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 04 Dari grafik y = -¼ (x + 3)2 + 8, diketahui : (1) memotong sumbu x di titik-titik sebelah kanan titik (0 , 0) (2) memotong sumbu x di titik-titik sebelah kiri dan kanan titik (0 , 0) (3) memotong sumbu x di titik-titik sebelah kiri titik (0 , 0) (4) mempunyai sumbu simetri x = – 3 Pernyataan yang bernilai benar untuk grafik diatas adalah (A) 1, 2, dan 3 (B) 1, 3 (C) 2, 4 (D) 4 (E) 1, 2, 3, dan 4 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 05 Nilai tertinggi dari fungsi f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3, sumbu simetrinya adalah x = (A) – 2 (D) 2 (B) – 1 (E) 4 (C) – ½ QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 06 Nilai minimum dari fungsi f(x) = 2×2 – 8x + p adalah 20. Nilai f(2) adalah (A) – 28 (D) 20 (B) – 20 (E) 28 (C) – 16 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 07 Jika fungsi kuadrat 2ax2 – 4x + 3a mempunyai nilai maksimum 1, maka 27a3 – 9a = (A) 3 (D) – 2 (B) 6 (E) – 1 (C) 18 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 08 Fungsi kuadrat y = f(x) yang grafiknya melalui titik (2 , 5) dan (7 , 40) serta mempunyai sumbu simetri x = 1, mempunyai nilai ekstrim (A) minimum 2 (D) maksimum 3 (B) minimum 3 (E) maksimum 4 (C) minimum 4 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 09 Jika grafik fungsi y = x2 + ax + b mempunyai titik puncak (1 , 2). Maka nilai a dan b adalah (A) 1 dan 3 (D) ½ dan 1½ (B) – 1 dan – 3 (E) ½ dan -1½ (C) – 2 dan 3 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 10 Jika parabola f(x) = x2 – bx + 7 puncaknya mempunayi absis 4, maka ordinatnya adalah (A) 0 (D) – 9 (B) 8 (E) – 8 (C) 9 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 11 Grafik fungsi y = ax2 + bx + c memotong sumbu x di titik-titik yang absisnya 0 dan 2, dan puncaknya di titik (1 , 1). Fungsi itu adalah (A) y = x2 – 2x – 2 (D) y = – x2 – 2x (B) y = x2 + 2x – 2 (E) y = – x2 + 2x (C) y = x2 + 2x QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 12 Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunayi nilai maksimum – 3 untuk x = 2, sedangkan untuk x = – 2 fungsi berharga – 11, maka fungsi itu adalah (A) – ½x2 + 2x – 3 (B) x2 – x – 1 (C) ½x2 + 2x – 2 (D) – ½x2 + 2x – 5 (E) – x2 + 2x – 5 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 13 Jika suatu fungsi kuadrat f(x) diketahui bahwa f(1) = f(3) = 0 dan mempunayi nilai maksimum 1, maka f(x) adalah (A) x2 – 4x + 3 (D) – x2 + 2x – 3 (B) – x2 + 4x – 3 (E) x2 – 2x – 3 (C) x2 – 2x + 3 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 14 Persamaan parabola yang ditunjukkan grafik di bawah ini adalah (A) y = (x – 1) (x – 3) (B) 3y = (x – 1) (x – 3) (C) y = (1 – x) (x – 3) (D) 3y = (x – 1) (3 – x) (E) 3y = (1 + x) (3 – x) QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 15 Gambar berikut paling cocok sebagai grafik dari fungsi (A) y = – ½x2 + 2 (B) y = – ½x2 – 2 (C) y = – ½(x2 – x) (D) y = – ½(x + 2)2 (E) y = – ¼(x + 2)2 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 16 Agar ungkapan (t + 1)x2 – 2tx + (t – 4) bernilai negatip untuk semua nilai x, maka nilai t adalah (A) t > – 1/3 (D) 1 < t < 4/3 (B) t < – 4/3 (E) – 4/3 < t – 1 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 17 Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 4)x + ½ seluruhnya di atas sumbu x, maka nilai tidak mungkin sama dengan (A) 1½ (D) 4½ (B) 2½ (E) 5½ (C) 3½ QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 18 Agar f(x) = (a – 2)x2 – 2(2a – 3)x + 5a – 6 selalu bernilai positip untuk setiap x, maka (A) a 3 (D) 2 < a 2 (E) 1 < a 3 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 19 Jika grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya di bawah sumbu x, maka k mungkin sama dengan (A) – 10 (D) – 6 (B) – 8 (E) – 2 (C) – 6 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 20 Supaya garis y = 2px – 1 memotong parabola y = x2 – x + 3 di dua titik, nilai p haruslah (A) p 1½ (B) p 2 (C) p 2½ (D) – 2½ < p < 1½ (E) – 1½ < p < 2½ QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 21 Agar garis y = mx – 9 tidak memotong dan tidak menyinggung parabola y = x2, maka (A) m 6 (B) m 9 (C) -9 < m < 9 (D) -3 < m < 3 (E) -6 < m < 6 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 21 Jika garis y = 2x + 1 menyinggung parabola y = mx2 + (m – 5)x + 10, maka nilai m sama dengan (A) 1 (D) 1 atau 49 (B) 49 (E) 1 atau -49 (C) -1 atau 49 QL / Matematika / Soal Pengantar nomor 21 Garis y = 6x – 5 memotong kurva y = x2 – kx + 11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah (A) (2 , 7) (D) (-1 , -11) (B) (1 , 1) (E) (3 , 13)

(C) (-2 , -17)