Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O(0,0) atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M(a,b). Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan M(a,b) mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.
Oleh Tju Ji Long · Statistisi
Hub. WA: 0812-5632-4552
Dalam kehidupan sehari-hari, tentu banyak Anda temui pemanfaatan bentuk lingkaran, misalnya ban sepeda. Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Titik tetap itu disebut pusat lingkaran dan jarak titik tetap itu ke titik tertentu disebut jari-jari lingkaran.
Lingkaran dapat dibuat pada bidang Cartesius, yang terdiri dari sumbu x dan sumbu y. Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O(0,0) atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M(a,b). Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan M(a,b) mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.
Perhatikan Gambar 1 di mana lingkaran berpusat pada O(0,0) dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P(x,y) terletak pada lingkaran. Menurut definisi:
Gambar 1. Lingkaran berpusat di O(0,0) dan jari-jari r
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan mempunyai jari-jari r adalah
Perhatikan contoh soal berikut:
Contoh 1:
Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan (i) berjari-jari 4; (ii) melalui titik (3,-2).
Pembahasan:
Persamaan lingkaran pada (i) adalah \(x^2+y^2=16\) (r=4)
Pada (ii), persamaan lingkaran \(x^2+y^2=r^2\) melalui titik (3,-2) sehingga x = 3 dan y = -2. Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu, yaitu:
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3,-2) adalah \(x^2+y^2=13\).
Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M(a,b) dan Jari-jari r.Amati Gambar 2 di mana Lingkaran berpusat pada M(a,b) dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P(x,y) terletak pada lingkaran.
Gambar 2. Lingkaran berpusat di M(a,b) dan jari-jari r
Menurut definisi:
Jadi, persamaan garis lingkaran yang berpusat di M(a,b) dan jari-jari r adalah
Perhatikan contoh soal berikut:
Contoh 2:
Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan (i) berjari-jari 5; (ii) melalui titik (2,1).
Pembahasan:
Persamaan lingkaran pada (i) adalah
Persamaan lingkaran pada (ii) melalui titik (2,1) sehingga \(x = 2\) dan \(y = 1\). Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu yakni
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan melalui titik (2,1) adalah
\[ (x-4)^2+(y+3)^2=20 \]
Persamaan Umum LingkaranLingkaran mempunyai persamaan umum, yaitu:
Titik pusatnya adalah (-A, -B) dan jari-jarinya adalah r yakni
Bukti:
Jika bentuk umum persamaan lingkaran yang digunakan adalah \[ x^2+y^2+Ax+By+C=0 \] maka pusat lingkarannya adalah
dan jari-jarinya adalah
Perhatikan contoh soal berikut:
Contoh 3:
Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan:
Pembahasan:
Persamaan lingkaran \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) merupakan bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu \(x^2+y^2+2Ax+2By+C=0\). Dengan membandingkan letak nilai yang bersesuaian diperoleh:
Sehingga pusat lingkaran (-A,-B) = (2,-3) dan jari-jari lingkaran (r) adalah
Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan: \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) adalah (2,-3) dan 5.
Contoh 4:
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,2), (-1,6) dan (-1,2).
Gambar 3. Lingkaran yang melalui titik (3,2), (-1,6) dan (-1,2).
Pembahasan:
Misalkan persamaan lingkaran:
Jika melalui titik (3,2), maka
Jika melalui titik (-1,6), maka
Jika melalui titik (-1,2) maka
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh
Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh
Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4), diperoleh
Nilai A dan B yang diperoleh dari perhitungan di atas disubstitusi ke persamaan (1) sehingga diperoleh:
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah:
Cukup sekian penjelasan mengenai cara menentukan persamaan lingkaran dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.
Sumber:Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Cari jari-jarir = √3²+4²r = √9+16r = √25r = 5x² + y² = r²x² + y² = 5²x² + y² = 25