Produk titik python dari tuple

Dalam tutorial ini, saya akan menunjukkan cara menggunakan fungsi Numpy dot (np. dot), untuk menghitung produk dot di Numpy

Saya akan menjelaskan dengan tepat apa fungsinya, bagaimana sintaks bekerja, dan saya akan menunjukkan kepada Anda contoh yang jelas tentang cara menggunakan np. dot

Daftar isi

Jika Anda memerlukan sesuatu yang spesifik, Anda dapat mengklik salah satu tautan di atas, dan itu akan membawa Anda ke bagian tutorial yang sesuai

Karena itu, jika Anda baru mengenal Numpy, atau memerlukan penyegaran cepat tentang produk dot matematika, Anda mungkin harus membaca seluruh tutorial

Pengantar Cepat Numpy Dot

Pertama-tama, mari kita mulai dengan dasar-dasarnya

Apa yang dilakukan Numpydot?

Pada level tinggi, Numpy dot menghitung perkalian titik dari dua larik Numpy

Jika Anda sedikit baru di Numpy, atau jika Anda tidak sepenuhnya memahami produk dot, itu mungkin tidak sepenuhnya masuk akal.

Jadi, mari kita segera tinjau beberapa dasar tentang Numpy dan tentang produk dot

Numpy dot beroperasi pada array Numpy

Mari kita mulai dengan Numpy

Seperti yang mungkin Anda ketahui, Numpy adalah paket tambahan untuk bahasa pemrograman Python

Kami kebanyakan menggunakan Numpy untuk manipulasi data dan komputasi ilmiah, tetapi kami menggunakan Numpy pada jenis data tertentu dalam struktur data tertentu

Numpy adalah Paket untuk Bekerja dengan Data Numerik dengan Python

Secara khusus, Numpy membuat dan mengoperasikan array Numpy

Array Numpy adalah struktur data yang menyimpan data numerik dalam struktur baris dan kolom

Jadi misalnya, array Numpy 2 dimensi terlihat seperti ini

An example of a Numpy array with 3 rows and 4 columns, containing random integers.

Array numpy bisa datang dalam berbagai bentuk dan ukuran. Misalnya, kita dapat membangun array 1 dimensi, array 2 dimensi, dan array n dimensi

Selain itu, kita dapat membuat array Numpy di mana Numbers memiliki berbagai properti berbeda. Sebagai contoh, kita dapat membuat larik yang berisi angka yang terdistribusi normal, angka yang diambil dari distribusi seragam, angka yang semuanya memiliki nilai yang sama, hanya untuk beberapa nama.

Jadi Numpy memiliki beragam fungsi untuk membuat array Numpy dengan berbagai jenis properti

Numpy memiliki Fungsi untuk Melakukan Perhitungan dengan Numpy Array

Selain memiliki fungsi untuk membuat array Numpy, paket Numpy juga memiliki fungsi untuk pengoperasian dan komputasi dengan array Numpy

Jadi Numpy memiliki banyak fungsi untuk melakukan perhitungan matematis, seperti menghitung jumlah array, menghitung eksponensial nilai array, dan banyak lagi.

Selain itu, Numpy memiliki fungsi untuk melakukan operasi lanjutan, seperti operasi dari aljabar linier

np. dot menghitung produk dot di Numpy

Jadi apa fungsi Numpy dot?

Penjelasan sederhananya adalah bahwa

np.dot(2,3)
_2 menghitung perkalian titik

Mengutip entri di Wikipedia, produk titik adalah operasi yang mengambil dua urutan angka yang panjangnya sama dan mengembalikan satu angka

Karena itu, fungsi Numpy dot bekerja sedikit berbeda tergantung pada input yang tepat

Ada tiga kasus luas yang akan kita pertimbangkan dengan

np.dot(2,3)
2

  • kedua input adalah array 1D
  • keduanya adalah array 2D
  • satu input adalah skalar dan satu input adalah array

Mari kita lihat bagaimana Numpy dot beroperasi untuk berbagai kasus ini

Jika array input keduanya adalah array 1 dimensi, np. dot menghitung perkalian titik vektor

Misalkan kita memiliki dua larik Numpy, \mathbf{a} dan \mathbf{b}, dan setiap larik memiliki 3 nilai.

An image that shows two Numpy arrays, each with 3 numbers.

Diberikan dua larik 1 dimensi,

np.dot(2,3)
2 akan menghitung perkalian titik

Produk titik dapat dihitung sebagai berikut

A visual example of computing the dot product of two Numpy arrays with 3 elements each.

Perhatikan apa yang terjadi di sini. Array ini memiliki panjang yang sama, dan setiap array memiliki 3 nilai

Saat kita menghitung perkalian titik, kita mengalikan nilai pertama \mathbf{a} dengan nilai pertama \mathbf{b}. Kita mengalikan nilai kedua \mathbf{a} dengan nilai kedua \mathbf{b}. Dan kita mengalikan nilai ketiga \mathbf{a} dengan nilai ketiga \mathbf{b}. Kemudian, kami mengambil nilai yang dihasilkan, dan menjumlahkannya.

Keluarannya adalah nilai skalar tunggal … dalam contoh ini, \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 98.

Dalam istilah matematika, kita bisa menggeneralisasi contoh di atas. Jika kita memiliki dua vektor \mathbf{a} dan \mathbf{b}, dan setiap vektor memiliki n elemen, maka perkalian titik \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} is given by the equation:

(1)   \begin{equation*}     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i \end{equation*}

Pada dasarnya, saat kita mengambil perkalian titik dari dua larik Numpy, kita menghitung jumlah perkalian berpasangan dari dua larik tersebut

Jika salah satu input adalah skalar, np. dot melakukan perkalian skalar

Kasus kedua adalah ketika satu input adalah nilai skalar r, dan satu input adalah larik Numpy, yang di sini kita sebut \mathbf{b}.

An image of a scalar, r, and a vector (i.e., an array), b.  We'll use these in the following example of scalar multiplication.

Jika kita menggunakan Numpy dot pada input ini dengan kode

np.dot(2,3)
5 Numpy akan melakukan perkalian skalar pada array

A visual example showing "scalar multiplication" of the scalar r, and the array b.

Jadi ketika kita menggunakan Numpy dot dengan satu skalar dan satu larik Numpy, itu mengalikan setiap nilai larik dengan skalar dan menghasilkan larik Numpy baru

Jika kedua input adalah array 2D, np. dot melakukan perkalian matriks

Kasus terakhir yang akan kita bahas adalah ketika kedua array input adalah array 2 dimensi

Dalam hal ini, dengan dua larik 2D, fungsi

np.dot(2,3)
2 akan melakukan perkalian matriks

Penjelasan lengkap tentang perkalian matriks berada di luar cakupan tutorial ini, tetapi mari kita lihat contoh singkatnya

Misalkan Anda memiliki dua larik 2D, \mathbf{A} dan \mathbf{B}.

An example of two 2D arrays, A and B.

Selanjutnya, mari gandakan array tersebut menggunakan perkalian matriks

Selama perkalian matriks, kita mengalikan nilai baris \mathbf{A} dengan nilai kolom \mathbf{B} dan menjumlahkannya dengan cara berikut.

An example of using matrix multiplication to compute the product of two matrices, AB.

Dan inilah hasil akhir yang dihitung

An example of the finalized output of the matrix multiplication process, which computed the product AB.

Perhatikan bahwa larik keluaran, \mathbf{C} = \mathbf{AB}, memiliki jumlah baris yang sama dengan \mathbf{A} dan jumlah kolom yang sama dengan \mathbf{B}.

Selain itu, setiap nilai dalam larik keluaran \mathbf{C} dihitung dengan menjumlahkan hasil baris ke-i dari \mathbf{A} dan baris ke-j dari \mathbf{B}.

Secara umum, untuk menghitung larik keluaran \mathbf{C} = \mathbf{AB}, setiap nilai larik keluaran C_{i,j} didefinisikan sebagai.

(2)   \begin{equation*}    C_{i,j}  = \sum_{k}A_{i,k} B_{k,j} \end{equation*}

Jika Anda tidak terbiasa dengan aljabar linier secara umum, dan aljabar matriks secara khusus, saya menyadari bahwa persamaan ini bisa sedikit membingungkan. Bahkan mungkin sedikit mengintimidasi

Yang mengatakan, jika Anda ingin mempelajari lebih lanjut tentang operasi ini, saya sarankan Anda membaca buku Aljabar Linear dan Aplikasinya, oleh David Lay dan rekan. Ini adalah buku yang sangat mudah didekati tentang aljabar linier yang akan membantu Anda memahami beberapa operasi yang kami lakukan dengan Numpy dot

Baik. Jadi sekarang kita telah melihat apa yang dilakukan Numpy dot, mari kita lihat lebih dekat sintaksnya

Sintaks Numpy Dot

Di sini, saya akan menjelaskan sintaks dari fungsi Numpy dot

Catatan singkat

Satu hal sebelum kita melihat sintaks

Untuk menggunakan fungsi Numpy, Anda harus mengimpor Numpy terlebih dahulu. Anda dapat melakukannya dengan kode berikut

import numpy as np

Ini penting, karena cara Anda mengimpor Numpy akan memengaruhi sintaks

Ini adalah konvensi umum di antara ilmuwan data Python untuk mengimpor Numpy dengan alias '

np.dot(2,3)
7', dan kami akan tetap berpegang pada konvensi itu di sini

np. sintaks titik

Sintaks

np.dot(2,3)
2 sangat sederhana

Dengan asumsi bahwa Anda telah mengimpor Numpy dengan alias

np.dot(2,3)
7, Anda memanggil fungsi tersebut sebagai
6
0

A picture that explains the syntax of the np.dot function.

Kemudian, di dalam tanda kurung, terdapat beberapa parameter yang memungkinkan Anda memberikan input ke fungsi tersebut

Mari kita lihat input tersebut

Parameter np. dot

Ada 2 parameter inti untuk fungsi

6
0

  • 6
    
    _2
  • 6
    
    _3

Mari kita lihat dengan cepat, satu per satu

6
_2 (wajib)

Parameter

6
2 memungkinkan Anda menentukan nilai input pertama atau larik ke fungsi

Secara teknis, argumen untuk parameter ini bisa berupa nilai skalar, atau objek "mirip larik".

Karena memungkinkan objek seperti array, ini bisa menjadi array Numpy yang tepat, atau bisa berupa daftar Python, tuple, dll. Nilai skalar seperti

6
_6 atau
6
7 juga akan berfungsi

Perlu diingat bahwa Anda harus memberikan argumen untuk parameter ini

6
_3 (wajib)

Parameter

6
3 memungkinkan Anda menentukan nilai input kedua atau larik ke fungsi

Mirip dengan parameter

6
_2, argumen untuk
6
3 dapat berupa nilai skalar, atau objek "mirip larik" apa pun. Argumen yang dapat diterima untuk parameter ini termasuk array Numpy, daftar Python, dan tupel. Nilai skalar seperti
6
_6 atau
6
7 juga dapat diterima

Perlu diingat bahwa Anda harus memberikan argumen untuk parameter ini

np.dot(2,[5,6])
_4 (opsional)

Perhatikan bahwa

6
_0 juga memiliki parameter ________23______4. Ini agak jarang digunakan, jadi kami tidak akan membahasnya di sini. Untuk informasi selengkapnya tentang parameter ini, tinjau dokumentasi resmi

Keluaran dari np. dot

Output dari

6
_0 tergantung pada input

Ada beberapa kasus

  • Jika kedua input adalah skalar,
    6
    
    _0 akan mengalikan skalar bersama-sama dan menghasilkan skalar
  • Jika satu input adalah skalar dan satu adalah array,
    6
    
    0 akan mengalikan setiap nilai array dengan skalar (i. e. , perkalian skalar)
  • Jika kedua input adalah array 1 dimensi,
    6
    
    0 akan menghitung produk titik dari input
  • Jika kedua input adalah array 2 dimensi, maka
    6
    
    0 akan melakukan perkalian matriks

Jadi seperti yang Anda lihat, hasilnya sangat tergantung pada bagaimana Anda menggunakan fungsi tersebut

Dengan mengingat hal itu, mari kita lihat beberapa contoh sehingga Anda dapat melihat cara kerjanya, dan melihat berbagai jenis keluaran yang

6
0 menghasilkan jenis masukan tertentu

Contoh. Cara Menghitung Produk Dot di Numpy

Baik. Mari kita kerjakan beberapa contoh langkah demi langkah

Jika Anda memerlukan sesuatu yang spesifik, Anda dapat mengklik salah satu tautan berikut, dan itu akan membawa Anda ke contoh yang sesuai

Contoh

Jalankan kode ini terlebih dahulu

Sebelum Anda menjalankan salah satu contoh, Anda harus mengimpor Numpy terlebih dahulu

Anda dapat melakukannya dengan kode berikut

import numpy as np

Setelah Anda selesai melakukannya, Anda harus siap untuk pergi

CONTOH 1. Kalikan dua angka

Baik. Mari kita mulai dengan contoh sederhana

Di sini, kita akan menggunakan dua angka (mis. e. , nilai skalar) sebagai input ke

6
0

np.dot(2,3)

KELUAR

6
_Penjelasan

Ini mungkin sedikit tidak terduga, tetapi sangat sederhana

Di sini, kami memanggil

6
0 dengan dua nilai skalar, 2 dan 3

Ketika kita memanggil

6
0 dengan dua skalar, itu hanya mengalikan keduanya

Jelas

array([10, 12])
6

CONTOH 2. Kalikan Angka dan Array

Selanjutnya, mari berikan array dan skalar sebagai input

Di sini, kami akan menyediakan skalar (bilangan bulat) dan daftar Python. Alih-alih daftar Python, kami juga dapat menyediakan larik Numpy, tetapi saya menggunakan daftar Python sebagai gantinya karena membuat operasi sedikit lebih mudah dipahami di sini

Mari lihat

np.dot(2,[5,6])

KELUAR

array([10, 12])
Penjelasan

Sekali lagi, ini sangat sederhana

Argumen pertama untuk fungsi tersebut adalah nilai skalar 2

Argumen kedua untuk fungsi tersebut adalah daftar Python

array([10, 12])
7

Saat kami menyediakan skalar sebagai satu masukan dan daftar (atau larik Numpy) sebagai masukan lainnya,

6
0 cukup mengalikan nilai larik dengan skalar

Secara matematis, kami menganggap ini sebagai perkalian skalar dari vektor atau matriks

CONTOH 3. Hitung Produk Dot dari Dua Array 1D

Selanjutnya, mari masukkan dua daftar 1 dimensi

Di sini, kami akan menggunakan dua daftar Python, tetapi kami juga dapat menggunakan array Numpy 1D. Saya menggunakan daftar Python karena membuat operasi sedikit lebih mudah dipahami secara sekilas

Mari lihat

np.dot([3,4,5],[7,8,9])

KELUAR

98
_Penjelasan

Apa yang terjadi di sini?

Di sini,

6
_0 menghitung produk titik dari dua input

Masukan ini adalah daftar Python 1 dimensi. Dan seperti yang saya katakan sebelumnya, kita juga bisa menggunakan array Numpy 1D

Secara matematis, daftar 1D dan array Numpy 1D seperti vektor

Saat kita bekerja dengan vektor dan mengambil perkalian titik, perkalian titik dihitung dengan yang kita lihat sebelumnya

    \[     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i \]

Jadi ketika Numpy dot memiliki dua daftar atau array 1D sebagai input …

An image that shows two Numpy arrays, each with 3 numbers.

… dibutuhkan produk dari elemen berpasangan, dan kemudian menjumlahkannya

A visual example of computing the dot product of two Numpy arrays with 3 elements each.

Dan hasilnya adalah nilai skalar. Dalam hal ini, hasilnya adalah 98

CONTOH 4. Lakukan Perkalian Matriks pada Dua Larik 2D

Terakhir, mari kita lihat apa yang terjadi saat kita menggunakan Numpy dot pada dua larik 2 dimensi

Buat Array

Pertama, mari kita buat dua array Numpy 2 dimensi

Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan fungsi

np.dot([3,4,5],[7,8,9])
0 untuk membuat urutan angka, lalu menggunakan metode pembentukan ulang Numpy untuk membentuk ulang angka menjadi bentuk 2D

A_array_2d = np.arange(start = 3, stop = 9).reshape((2,3))
B_array_2d = np.arange(start = 10, stop = 16).reshape((3,2))

Dan mari kita cetak, supaya Anda bisa melihat isinya

print(A_array_2d)

KELUAR

import numpy as np
0
import numpy as np
1

KELUAR

import numpy as np
2

Perhatikan bahwa kedua array Numpy ini adalah 2 dimensi. Karena itu, jumlah baris di

np.dot([3,4,5],[7,8,9])
1 sama dengan jumlah kolom di
np.dot([3,4,5],[7,8,9])
2

Gunakan np. dot

Baik. Sekarang mari kita gunakan fungsi Numpy dot pada dua larik ini

import numpy as np
_3

KELUAR

import numpy as np
4Penjelasan

Jadi apa yang terjadi di sini?

Dalam hal ini, kami menggunakan dua array Numpy 2 dimensi sebagai input

An example of two 2D arrays, A and B.

Saat kita menggunakan array 2D sebagai input,

6
0 menghitung produk matriks dari array

Ketika melakukan ini,

6
0 menghitung nilai array keluaran sesuai dengan persamaan 2 yang kita

    \[    C_{i,j}  = \sum_{k}A_{i,k} B_{k,j} \]

Jadi di balik layar, inilah yang dilakukan Numpy saat kita menjalankan kode

np.dot([3,4,5],[7,8,9])
5

An example of using matrix multiplication to compute the product of two matrices, AB.

Perhatikan baik-baik. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat bahwa perhitungan mengalikan nilai baris A dengan nilai kolom B, menjumlahkannya, dan memasukkannya ke dalam larik hasil akhir, dengan nilai berikut

An example of the finalized output of the matrix multiplication process, which computed the product AB.

Operasi ini dikenal sebagai produk matriks

Jadi sekali lagi. ketika kita menggunakan Numpy dot pada dua larik 2 dimensi,

6
0 menghitung perkalian matriks

Saya mengerti bahwa ini mungkin sedikit membingungkan jika Anda tidak memiliki banyak pengalaman dengan aljabar linier. Jika itu masalahnya, saya sarankan Anda membaca tentang aljabar linier secara umum, dan perkalian matriks pada khususnya

Pertanyaan yang sering diajukan tentang Numpy Dot

Sekarang kita telah melihat beberapa contoh, mari kita lihat beberapa pertanyaan umum tentang fungsi

6
0

Pertanyaan yang sering diajukan

pertanyaan 1. Apa perbedaan antara 6 _0 dan np.dot([3,4,5],[7,8,9]) 9 ?

Numpy dot dan Numpy matmul serupa, tetapi berperilaku berbeda untuk beberapa jenis masukan

Dua perbedaan besar adalah untuk

  • perkalian dengan skalar
  • perkalian array Numpy dimensi tinggi

Mari kita lihat satu per satu

Perkalian dengan skalar

Perbedaan pertama antara

6
_0 dan
np.dot([3,4,5],[7,8,9])
9 adalah bahwa
6
0 memungkinkan Anda mengalikan dengan nilai skalar, tetapi
np.dot([3,4,5],[7,8,9])
9 tidak

Seperti yang kita lihat di , ketika kita menggunakan

6
0 dengan satu skalar (mis. g. , bilangan bulat) dan larik/daftar, Numpy dot hanya akan mengalikan setiap nilai larik dengan nilai skalar

np.dot(2,[5,6])

KELUAR

array([10, 12])

Namun, jika Anda mencoba melakukan ini dengan

np.dot([3,4,5],[7,8,9])
9 Anda akan mendapatkan kesalahan

import numpy as np
_7

KELUAR

import numpy as np
8Perkalian array dimensi tinggi

Area kedua di mana

6
0 dan
np.dot([3,4,5],[7,8,9])
9 berbeda adalah ketika mereka beroperasi pada array dimensi tinggi

Menurut dokumentasi…

Saat Anda menggunakan

np.dot(2,3)
2

Jika a adalah larik N-D dan b adalah larik 1-D, ini adalah hasil penjumlahan sumbu terakhir dari a dan b

Jika a adalah larik N-D dan b adalah larik M-D (di mana M>=2), ini adalah hasil penjumlahan dari sumbu terakhir a dan sumbu kedua ke terakhir dari b

Tetapi ketika Anda menggunakan

A_array_2d = np.arange(start = 3, stop = 9).reshape((2,3))
B_array_2d = np.arange(start = 10, stop = 16).reshape((3,2))
_3

Jika salah satu argumen adalah N-D, N > 2, itu diperlakukan sebagai tumpukan matriks yang berada di dua indeks terakhir dan disiarkan sesuai dengan itu

Pada akhirnya,

6
_0 dan
np.dot([3,4,5],[7,8,9])
9 berperilaku berbeda untuk perkalian skalar, dan untuk perkalian input dimensi yang lebih tinggi

Pertanyaan 2. Apa perbedaan antara 6 _0 dan 98 1 ?

6
0 dan
98
1 sangat mirip, dan secara efektif melakukan operasi yang sama

Perbedaannya adalah bahwa

6
0 adalah fungsi Python dan
98
1 adalah metode array Numpy

Jadi mereka secara efektif melakukan hal yang sama, tetapi Anda memanggil mereka dengan cara yang sedikit berbeda

Katakanlah kita memiliki dua array 2 dimensi

A_array_2d = np.arange(start = 3, stop = 9).reshape((2,3))
B_array_2d = np.arange(start = 10, stop = 16).reshape((3,2))

Kita dapat memanggil fungsi

6
_0 sebagai berikut

import numpy as np
_3

Tapi kami menggunakan apa yang disebut "sintaks titik" untuk memanggil metode

print(A_array_2d)
3

np.dot(2,3)
_1

Outputnya sama, tetapi sintaksnya sedikit berbeda

Jika Anda masih bingung tentang hal ini, pastikan untuk membaca lebih lanjut tentang perbedaan antara fungsi Python dan metode Python

Tinggalkan pertanyaan Anda yang lain di komentar di bawah

Apakah Anda masih memiliki pertanyaan tentang fungsi Numpy dot?

Jika demikian, tinggalkan pertanyaan Anda di bagian komentar di bawah

Bergabunglah dengan kursus kami untuk mempelajari lebih lanjut tentang Numpy

Dalam tutorial ini, saya telah menjelaskan cara menggunakan fungsi

6
0 untuk menghitung produk titik dari array 1D dan melakukan perkalian matriks dari array 2D

Ini akan membantu Anda memahami

np.dot(2,3)
2, tetapi jika Anda benar-benar ingin belajar Numpy, masih banyak yang harus dipelajari

Jika Anda serius ingin menguasai Numpy, dan serius tentang ilmu data dengan Python, Anda harus mempertimbangkan untuk bergabung dengan kursus premium kami yang disebut Numpy Mastery

Numpy Mastery akan mengajari Anda semua yang perlu Anda ketahui tentang Numpy, termasuk

  • Cara membuat array Numpy
  • Apa yang dilakukan fungsi "Numpy random seed".
  • Cara membentuk kembali, membagi, dan menggabungkan array Numpy Anda
  • Cara menggunakan fungsi acak Numpy
  • Cara melakukan operasi matematika pada array Numpy
  • dan banyak lagi …

Selain itu, kursus ini akan menunjukkan sistem latihan yang akan membantu Anda menguasai sintaks dalam beberapa minggu. Kami akan menunjukkan kepada Anda sistem latihan yang memungkinkan Anda menghafal semua sintaks Numpy yang Anda pelajari. Jika Anda kesulitan mengingat sintaks Numpy, ini adalah kursus yang Anda cari

Bagaimana Anda menemukan produk tuple di Python?

Bila diperlukan untuk melakukan perkalian tuple, metode 'zip' dan ekspresi generator dapat digunakan . Metode zip mengambil iterables, menggabungkannya menjadi sebuah tuple, dan mengembalikannya sebagai hasilnya. Generator adalah cara sederhana untuk membuat iterator.

Bagaimana Anda mengalikan elemen tuple dengan Python?

Operator dapat digunakan untuk menggabungkan atau mengalikan tupel. Penggabungan dilakukan dengan operator +, dan perkalian dilakukan dengan operator * .

Bagaimana cara melakukan perkalian titik dengan Python?

Dengan Python, salah satu cara menghitung perkalian titik adalah menjumlahkan pemahaman daftar dengan melakukan perkalian berdasarkan elemen . Alternatifnya, kita bisa menggunakan np. titik() fungsi. Mengikuti konvensi memiliki x dan y sebagai vektor kolom, perkalian titik sama dengan perkalian matriks xTy x T y.

Bisakah Anda melipatgandakan tuple?

Operasi aritmatika. Jika penjumlahan dan perkalian dapat dilakukan pada entri dalam sebuah tupel, maka penjumlahan dan perkalian skalar pada tupel dapat didefinisikan