Relasi antara nama siswa dan nomor induknya termasuk fungsi

Matematika merupakan pelajaran yang sangat menarik dan mengasyikan untuk mengasah daya berpikir otak kita. Meskipun, kebanyakan orang berfikir bahwa matematika merupakan mata pelajaran yang rumit. Pada pelajaran matematika terdapat salah satu materi mengenai fungsi. Apa itu fungsi dalam matematika dan sifatnya?

Fungsi dalam matematika atau pemetaan adalah sebuah relasi khusus yang memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Bentuk umum fungsi adalah f : A → B dibaca f memetakan himpunan A ke himpunan B.

Adapun himpunan A disebut sebagai daerah asal (domain) dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain). Maka himpunan nilai yang didapat dari kedua relasi tersebut, disebut sebagai daerah hasil (range). Domain dinotasikan dengan Df sedangkan range dinotasikan dengan Rf.

Secara umum, fungsi dalam matematika mempunyai beberapa sifat yang berguna untuk menentukan syarat pada komposisi fungsi dan invers fungsi. Setidaknya, ada tiga (3) sifat fungsi dalam matematika antara lain fungsi surjektif (onto), fungsi injektif (satu-satu), fungsi bijektif (koresponden).

Fungsi Surjektif (Onto)

Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi pada jika dan hanya jika range fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B.

(Baca juga: Kedudukan Dua Garis Dalam Matematika)

Contoh :

A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}

f(A) = {1,c), (2,b), (3,a), (4,a)}

Dapat diketahui bahwa range fungsi f adalah Rf = {a,b,c} dan Rf = B. jadi fungsi ini termasuk fungsi surjektif atau fungsi onto.

Fungsi Injektif (satu-satu)

Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk setiap a1,a2, ϵ A dan a1 ≠ a2 berlaku ƒ (a1) ≠ ƒ (a2).

Contoh :

A = {1,2,3}, B = {a,b,c}

f : A → B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,d), (3,b)}. Dapat diketahui bahwa setiap anggota A yang berbeda memiliki peta yang berbeda, atau pasangan yang berbeda. Jadi fungsi f ini termasuk fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi f : A → B disebut bijektif jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.

Contoh :

A = {1,2,3}, B = {a,b,c}

Fungsi f : A → B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {91,c), (2,b), (3,a)}. Dapat diketahui bahwa fungsi f termasuk fungsi surjektif dan fungsi injektif. Fungsi f adalah fungsi bijektifatau korespondensi satu-satu.

Materi relasi dan fungsi merupakan materi yang asik untuk dipelajari. Karena pada materi ini kita akan belajar dengan pasangan sesuatu bisa bilangan dengan bilangan, bisa juga hewan dan makanannya, dan masih banyak lagi.

Realasi dan fungsi ini ditemukan oleh sorang pakar yaitu Galileo (1564 – 1642). Beliau adalah orang yang mengangkat konsep tentang pemetaan antar himpunan yang selanjutnya dikembangkan sebagai relasi dan fungsi.

Adapun tiga materi relasi dan fungsi yang akan disajikan yaitu materi relasi dan fungsi bentuk penyajian relasi, materi relasi dan fungsi bentuk penyajian fungsi dan materi relasi dan fungsi posisi korespodensi satu-satu.

Bentuk Penyajian Relasi

Terdapat tiga cara penyajian relasi yang umum digunakan dalam matematika yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Berikut adalah data pelajaran yang disukai oleh lima sekawan:

Dimana himpunan A = {Abdul, Budi, Candra, Dini, Elok}, himpunan B = {Matematika, IPA, IPS, Kesenian, Bahasa Inggris, Olahraga, Keterampilan} dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi antara himpunan A ke himpunan B. Berikut adalah ketiga cara penyajian relasi tersebut:

Baca juga: Pola bilangan: Materi, Contoh Soal Serta Pembahasan

Diagram Panah

Diagram panah menunjukan relasi “pelajaran yang disukai” antara anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota tertentu himpunan B dengan arah panah.

Diagram Kartesius

Diagram kartesius menunjukan relasi “pelajaran yang disukai” antara anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota tertentu himpunan B dengan titik atau noktah. Dimana anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu datar dan anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak.

Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah {(Abdul, Matematika), (Abdul, IPA), (Budi, IPA), (Budi, IPS), (Budi, Kesenian), (Chandar, Keterampilan), (Candra, Olahraga), (Dini, Bahasa Inggris), (Dini, Kesenian), (Elok, Matematika), (Elok, IPA), (Elok, Keterampilan)}.

Ketiga cara penyajian relasi tersebut adalah cara yang umum pada matematika dalam penyajian relasi.

Bentuk Penyajian Fungsi

Fungsi adalah pemetaan setiap anggota himpunan suatu domain (daerah asal atau variabel bebas) ke anggota-anggota himpunan kodomain (daerah kawan atau variabel terikat). Himpunan bagian dari himpunan kodomain yang semua anggotanya dipasangkan pada anggota himpunan domain adalah daerah hasil (range).

Fungsi memiliki syarat bahwa setiap anggota domain harus dihubungkan dengan anggota himpunan kodomain, sehingga fungsi melakukan pemetaan lebih spesifik dari relasi. Jadi suatu fungsi pasti adalalah relasi, sementara suatu relasi belum tentu adalah sebuah fungsi. Untuk lebih memahami mengenai fungsi perhatikan contoh berikut ini.

Anggota himpunan domain A adalah = {A, B, C}

Anggota himpunan kodomai B adalah = {1, 2}

Terdapat lima cara penyajian fungsi yang umum digunakan dalam matematika yaitu himpunan pasangan berurutan, diagram panah, persamaan fungsi, tabel, dan grafik. Contohnya suatu fungs f dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. “setengah kali dari” adalah relasi antara himpunan A ke himpunan B. Berikut adalah kelima cara penyajian relasi tersebut:

Himpunan Pasangan Berurutan

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut ini:

f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

Diagram Panah

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut ini:

Persamaan Fungsi

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan persamaan fungsi sebagai berikut ini:

(1, 2)   à (1, 2 × 1)

(2, 4)   à (2, 2 × 2)

(3, 6)   à (2, 2 × 3)

(4, 8)   à (4, 2 × 4)

(5, 10) à (5, 2 × 5)

Jika anggota P adalah x dan anggota Q adalah y, maka x = ½ y. x = ½ y à y = 2x atau dapat dituliskan f (x) = 2x, untuk setiap x ∈ P.

Tabel

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut ini :

Grafik

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan grafik sebagai berikut ini:

Posisi Korespodensi Satu-satu

Koresponden satu-satu atau perkawanan satu-satu adalah relasi tepat satu anggota dari himpunan domain (daerah asal atau variabel bebas) ke satu anggota himpunan kodomain (daerah kawan atau variabel terikat). Relasi antara himpunan A = {1, 2. 3} dan himpunan B = {a, b, c} dapat dijabarkan seperti berikut ini:

Dari tabel tersebut terdapat korespondensi satu-satu yang mungkin sebanyak 6 yaitu pertama {(1, a), (2, b), (3, c)}, kedua {(1, a), (2, c), (3, b)}, ketiga {(1, b), (2, a), (3, c)}, keempat {(1, c), (2, b), (3, a)}, kelima {(1, c), (2, a), (3, b)}, dan keenam {(1, b), (2, c), (3, a)}. Banyaknya korespondensi satu-satu tergantung dari jumlah anggota himpunan domain dan himpunan kodomain.

Contoh Soal Relasi dan Fungsi

Untuk lebih memahami materi relasi dan fungsi, mari kita pelajari contoh soal dan pembahasan mengenai relasi dan fungsi berikut ini.

1. Berikut adalah makanan yang disukai oleh lima bersaudara:

Buatlah himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B !

Pembahasan:

Dimana himpunan A = {Anggita, Bambang, Caca, Dina, Ema}, himpunan B = {Bakso, Mie Ayam, Somay, Gado-gado, Karedok, Ketoprak, Bakpau, Pangsit} dan “makanan yang disukai” adalah relasi antara himpunan A ke himpunan

B. Himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah {(Anggita, Bakso), (Anggita, Mie Ayam), (Bambang, Gado-gado), (Bambang, Karedok), (Bambang, Ketoprak), (Caca, Somay), (Caca, Gado-gado), (Caca, Bakpau), (Dina, Karedok), (Dina, Ketoprak), (Dina, Bakpau), (Dina, Pangsit), (Ema, Bakso), (Ema, Mie Ayam), (Ema, Somay), (Ema, Pangsit)}.

Jadi himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah

\{(Anggita, Bakso), (Anggita, Mie Ayam), (Bambang, Gado-gado), (Bambang, Karedok), (Bambang, Ketoprak), (Caca, Somay), (Caca, Gado-gado), (Caca, Bakpau), (Dina, Karedok), (Dina, Ketoprak), (Dina, Bakpau), (Dina, Pangsit), (Ema, Bakso), (Ema, Mie Ayam), (Ema, Somay), (Ema, Pangsit)}.

2. Diketahui himpunan P = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan Q = {0, 1, 2, 3, 4}. Tentukanlah persamaan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q, jika tepat setiap satu anggota P berelasi dengan satu anggota himpunan Q secara berurutan !

Pembahasan:

Persamaan fungsi dapat ditentukan seperti berikut ini:

(1, 0) → (1, 1 – 1)

(2, 1) → (2, 2 – 1)

(3, 2) → (2, 3 – 1)

(4, 3) → (4, 4 – 1)

(5, 4) → (5, 5 – 1)

Jika anggota P adalah x dan anggota Q adalah y, maka x = y – 1. x =  y – 1 à y = x + 1 atau dapat dituliskan f (x) = x + 1, untuk setiap x ∈ P.

Jadi persamaman fungsi untuk dari himpunan P ke himpunan Q adalah f (x) = x + 1.

3. Tentukanlah relasi “siswa atau siswi dengan nomor induk” antara himpunan domain A ke himpunan kodomain B merupakan korespensi satu-satau atau tidak beserta alasannya !

Pembahasan:

Himpunan A = {Tohir, Taufiq, Erik, Zainul}

Himpunan B = {101, 102, 103, 104}

Relasi dari himpunan A ke himpunan B = {(Tohir, 101), (Taufiq, 102), (Erik, 103), (Zainul, 104)}. Terlihat bahwa tepat satu anggota himpunan A berelasi ke satu anggota himpunan B.

Jadi relasi “siswa atau siswi dengan nomor induk” antara himpunan domain A ke himpunan kodomain B merupakan korespensi satu-satau karena tepat satu anggota himpunan A berelasi ke satu anggota himpunan B.

Baca juga: Koordinat Kartesius: Contoh Soal Serta Pembahasan

Demikianlah penjelasan mengenai materi relasi dan fungsi. Kamu dapat mempelajarinya secara berulang-ulang supaya paham. semoga kamu dipermudah dalam belajar materi ini.

Daftar Pustaka

As’ari, Abdur Rahman dkk. 2017. Matematika kelas VIII. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.