Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran l_1 x 2 y 2 16 berikut ini dari titik 4 1

Blog Koma - Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".

Berkas Lingkaran

Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah : $ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $ Keterangan : $ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2. $ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu. Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa. Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2. Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.

Contoh : 1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran $ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $ serta melalui titik (1,1)? Penyelesaian : *). Menyusun persamaan berkas lingkarannya. $ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $ *). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh, $ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $ *). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas, $ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $ 2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran $ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $ serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ Penyelesaian : *). Menyusun persamaan berkas lingkarannya. $ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $ Sehingga pusat lingkarannnya adalah : Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $ Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ , Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga $ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $ *). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran, $ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $ 3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ? Penyelesaian : *). Menyusun persamaan berkasnya : $ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $ Sehingga pusat lingkarannya adalah Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$ *). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini, $ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $ *). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran, $ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+300) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y + 28 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10y + 28 = 0 . $

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar? -3-12-18-15-8-7=

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 3 x pangkat dua kurang X kurang 5 = 0 misalkan Alfa dan beta … adalah akar-akar persamaan kuadrat yang baru Makatolong dijawab ya

Diketahui bidang empat T.ABC dg alas berbentuk segitiga siku2 sama kaki yg tegak lurus di titik A. Proyeksi Titik B pada bidang alas adalah titik D se … hingga D merupakan titik tengah garis BC. Jika AB = 2TD dan Alfa adalah sudut antara AT dengan bidang alas maka nilai dari sin Alfa adalah

Limit x mendekati 0 dari (X²-1) sin 2(x-1) per -2 sin ²(x-1) =

Diketahui himpunan S = {bilangan kelipatan 5 kurang dari 60}, A = {bilangan kelipatan 15 kurang dari 60}, dan B = {bilangan kelipatan 20 kurang dari 6 … 0}. Tentukan hasil operasi berikut. a. AnBb. B-Ac. BC-A

2x-y=2 3x-2y=1 selesaikan dengan metode substitusi

3 3 5 + 7 20 - 0,4 x 0,6 =

hasil dari 5²+5²+10 adalah

hasil dari 5²+5²+5+5 adalah