You're Reading a Free Preview
Pages 6 to 15 are not shown in this preview.
You're Reading a Free Preview
Page 19 is not shown in this preview.
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun hasil bagi selisih
dan menghiitung limitnya dapat memakan waktu banyak dan membosankan. kita akan mengembangkan cara yang memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini dan akan memungkinkan kita untuk mencari turunan semua fungsi yang nampaknya rumit dengan segera.
Aturan Konstanta dan Pangkat
Teorema A Aturan Fungsi Konstanta
Jika f(x) = k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x) = 0; yakni,
Dx (k) = 0
Teorema B Aturan Fungsi Satuan
Jika f(x) = x, maka f ‘ (x) = 1; yakni
Dx (x) = 1
Teorema C Aturan Pangkat
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f’ (x) = nxn-1 yakni,
Teorema D Aturan Kelipatan Konstanta
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x) = k f’(x)
yakni,
Dalam kata-kata, pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator Dx
Teorema E Aturan Jumlah
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f + g) ‘ (x) = f ‘ (x) + g ‘ (x) yakni
Dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumah dari turunan-turunan
Teorema F Aturan Selisih
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f – g) ‘ (x) = f’(x) – g’ (x) yakni
Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi
Teorema G Aturan Hasil Kali
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
Yakni
Dalam kata-kata turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama di kalikan turunan fungsi kedua di tambah fungsi kedua dikalikan turunan fungsi pertama.
Teorema H Aturan hasil Bagi
Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dengan g(x) ≠ 0. Maka
Yakni
Dalam kata-kata Turunan suatu hasil bagi adalah sama dengan penyebut dikalikan turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dkalikan dengan kuadrat penyebut.
Bukti
Page 2
Edumatik.Net – Sifat-sifat turunan fungsi aljabar atau bisa disebut juga dengan aturan turunan fungsi aljabar merupakan beberapa aturan yang sangat penting dan mendasar yang harus dipahami dan diingat ketika mempelajari materi turunan fungsi.
Contoh sifat-sifat turunan fungsi aljabar tentu saja akan dibahas juga di tulisan ini, jadi melalui tulisan ini kamu bukan hanya mendapatkan sifat-sifat turunan melainkan lengkap dengan contoh soalnya.
Dengan adanya contoh soal aturan turunan ini pastinya akan membuat kamu semakin mudah untuk memahami aturan-aturan turunan. Pada tulisan ini ada 8 aturan turunan fungsi aljabar yang akan kita bahas, berikut ini adalah pembahasannya.
1. Aturan Fungsi Konstanta
Jika \(f(x)=k\) dengan \(k\) suatu konstanta, maka \(f'(x)=0\)
$$f(x)=k \to f'(x)=0$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(f(x)= 4\)
Jawab
\(f(x)= 4\)
\(f'(x)= 0\)
Berapapun angkanya baik positif maupun negatif, bilangan pecahan maupun maupun bulat, selama dia konstanta maka turunanya akan \(0\) (nol).
2. Aturan Fungsi Identitas
Jika \(f(x) = x\), maka \(f'(x) = 1\)
$$f(x) = x \rightarrow f'(x) = 1$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(f(x)= x\)
Jawab
\(f(x)= x\)
\(f'(x)= 1\)
3. Aturan Pangkat
Jika \(f(x) = x^{n}\), maka \(f'(x) = nx^{n-1}\)
$$f(x) = x^{n} \to f'(x) = nx^{n-1}$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(f(x)= x^{5}\)
Jawab
\(f(x)= x^{5}\)
\(\begin{aligned} f'(x) &= nx^{n-1} \\ &= 5x^{5-1} \\
&= 5x^{4} \end{aligned}\)
4. Aturan Kelipatan Konstanta
Jika \(f(x) = a.u(x)\) dengan \(a\) suatu konstanta dan \(u\) suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = a.u'(x)\)
$$f(x) = a.u(x) \to f'(x) = a.u'(x)$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(f(x)= 4x^{3}\)
Jawab
\(f(x)= 4x^{3}\)
\(a=4\) dan \(u(x)= x^{3}\), untuk mencari \(u'(x)\) kita gunakan “Aturan Pangkat”
\(\begin{aligned} u'(x) &= nx^{n-1} \\ &= 3 x^{3-1} \\
&= 3 x^{2} \end{aligned}\)
Jadi
\(\begin{aligned} f'(x) &= a.u'(x) \\ &= 4.3 x^{2} \\
&= 12x^{2} \end{aligned}\)
Aturan Pangkat dan Aturan Kelipatan Konstanta dapat kita gabungkan menjadi rumus cepat turunan fungsi aljabar, rumus ini juga sudah di berikan polanya pada tulisan sebelumnya yaitu definisi turunan fungsi aljabar.
Rumus cepat ini harus kamu ingat, agar kamu bisa lebih cepat lagi saat menyelesaikan turunan fungsi aljabar. Adapun rumus cepat turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut:
Kita coba selesaikan soal diatas dengan menggunakan rumus cepat.
\(f(x)= 4x^{3}\)
\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\ &= 3.4x^{3-1} \\
&= 12x^{2} \end{aligned}\)
5. Aturan Jumlah
Jika \(f(x) = u(x) + v(x)\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
$$f(x) = u(x) + v(x)$$
$$f'(x) = u'(x) + v'(x)$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(f(x) = 2x^{3} + x^{6}\)
Jawab
Nah biar cepat, untuk menjawabnya kita gunakan aja rumus cepatnya.
\(f(x) = 2x^{3} + x^{7}\)
\(\begin{aligned} f'(x) &= 3.2x^{3-1} + 7. x^{7-1} \\
&= 6x^{2} + 7x^{6} \end{aligned}\)
6. Aturan Selisih
Jika \(f(x) = u(x) – v(x)\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = u'(x) – v'(x)\)
$$f(x) = u(x) – v(x)$$
$$f'(x) = u'(x) – v'(x)$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(f(x) = 3x^{5} – 2x^{2}\)
Jawab
\(f(x) = 3x^{5} – 2x^{2}\)
\(\begin{aligned} f'(x) &= 5.3x^{5-1} – 2. 2x^{2-1} \\
&= 15x^{4} – 4x \end{aligned}\)
7. Aturan Hasil Kali
Jika \(f(x) = u(x) . v(x)\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = u'(x) v(x)+ u(x) v'(x)\)
$$f(x) = u(x) . v(x)$$
$$f'(x) = u'(x) v(x)+ u(x) v'(x)$$
Contoh 1
Tentukan turunan dari \(f(x) = 2x^{5} \times 3x^{2}\)
Jawab
Cara Satu
\(u(x) = 2x^{5} \to u'(x) = 10x^{4}\)
\(v(x) = 3x^{2} \to v'(x) = 6x\)
\(\begin{aligned} f'(x) &= u'(x) v(x)+ u(x) v'(x) \\ &= \left(10x^{4} . 3x^{2} \right) + \left( 2x^{5} . 6x \right) \\ &= \left( 30x^{4+2} \right) + \left( 12x^{5+1} \right) \\ &= 30x^{6} + 12x^{6} \\
&= 42x^{6} \end{aligned}\)
Note: penjumlahan pangkat barusan menggunakan sifat-sifat eksponen, begitupun dengan Cara Dua dibawah ini.
Cara Dua
\(\begin{aligned} f(x) &= 2x^{5} \times 3x^{2} \\ &= 2.3 x^{5+2} \\
&=6x^{7} \end{aligned}\)
Jadi
\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\ &= 7.6x^{7-1} \\
&= 42x^{6} \end{aligned}\)
Baik cara satu maupun cara dua hasilnya akan tetap sama, selama proses penyelesainnya benar. Biar makin paham mengenai contoh soal turunan perkalian simaklah pembahasan berikut:
Contoh 2
Tentukanlah turunan dari fungsi \(f(x) = (x^{2} + 2) \times (3x – x^{3})\)
Cara Satu
\(u(x) = x^{2} + 2 \to u'(x) = 2x\)
\(v(x) = 3x – x^{3} \to v'(x) = 3-3x^{2}\)
\(\begin{aligned} f'(x) &= u'(x) v(x)+ u(x) v'(x) \\ &= \left( 2x . (3x – x^{3}) \right) + \left((x^{2} + 2) . (3-3x^{2}) \right) \\ &= \left( 6x^{2} – 2x^{4} \right) + \left(-3x^{4} -3x^{2} + 6\right) \\ &= 6x^{2} – 2x^{4} -3x^{4} -3x^{2} + 6 \\
&= 3x^{2} – 5x^{4} + 6 \end{aligned}\)
Cara Dua
Kita kali pelangikan dulu masing-masing fungsinya
\(\begin{aligned} f(x) &= (x^{2} + 2) \times (3x – x^{3}) \\
&= x^{3} – x^{5} +6x \end{aligned}\)
Kita gunakan rumus cepat untuk menjawab ini.
\(\begin{aligned} f'(x) &= 3x^{3-1} – 5x^{5-1} +6x^{1-1} \\ &= 3x^{2} – 5x^{4} +6x^{0} \\ &= 3x^{2} – 5x^{4} +6(1) \\
&= 3x^{2} – 5x^{4} +6 \end{aligned}\)
8. Aturan Hasil Bagi
Jika \(\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, serta \(v(x) \neq 0\) maka \(\displaystyle f'(x) = \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{v^{2}(x)}\)
$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$
$$f'(x) = \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{v^{2}(x)}$$
Contoh:
Tentukan turunan dari \(\displaystyle \frac{-3x^{3}+5}{2x}\)
Jawab
\(u(x) = -3x^{3}+5 \to u'(x) = -9x^{2}\)
\(v(x) = 2x \to v'(x) = 2\)
\(\begin{aligned} \displaystyle f'(x) &= \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \displaystyle \frac{ \left(-9x^{2} . 2x \right) – \left( (-3x^{3} + 5). 2 \right) }{\left( 2x \right)^{2}} \\ &= \displaystyle \frac{ \left(-18x^{3}\right) – \left( -6x^{3} + 10\right)}{4x^{2}} \\ &= \displaystyle \frac{-18x^{3} + 6x^{3} – 10}{4x^{2}} \\
&= \displaystyle \frac{-12x^{3} – 10}{4x^{2}} \end{aligned}\)
Itulah pembahasan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan contoh soal. Masih ada satu aturan lagi yang belum dibahas, namanya adalah Aturan Rantai. Kita bahas di tulisan terpisah yaa, kalau dibahas sekarang tulisan ini terlalu panjang.
- Maksimum dan Minimum Turunan Fungsi - 77,424 views
- Limit Kiri dan Limit Kanan Beserta Contohnya - 44,333 views
- Kemonotonan Fungsi dan Contoh Soal - 42,495 views
- Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional - 41,046 views
- Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika dan Pembuktiannya - 39,456 views
- Soal Cerita Program Linear Beserta Jawabannya - 37,991 views
- Limit Tak Hingga Bentuk Akar - 35,842 views
- Persamaan Nilai Mutlak – Konsep Dasar Sampai Contoh Soal - 34,219 views
- Cara Menyelesaikan Limit Mendekati Nol - 31,998 views
- Menyelesaikan Limit dengan Cara Substitusi - 28,126 views