Apa yang dimaksud dengan pemetaan dalam matematika

Pada gambar di atas, diperlihatkan diagram panah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan A = {a, b, c} dan B = {p, q, r, s}. Tampak bahwa setiap anggota himpunan A dihubungkan dengan tepat pada satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri-ciri tersebut dinamakanfungsi atau pemetaan. Dengan demikian dapat kita simpulkan pengertian dari fungsi atau pemetaan yaitu sebagai berikut.

Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

Notasi Fungsi

Jika suatu fungsi diberi nama f, maka fungsi tersebut ditulis dengan lambang atau notasi sebagai berikut.

f : A → B (dibaca: f memetakan A ke B)

pada gambar di atas, fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dapat dibaca sebagai berikut.

i)f memetakan a ∈ A ke p ∈ B, dikatakan “p adalah peta a oleh f” dan ditulis f(a) = p.

ii)f memetakan b ∈ A ke q ∈ B, dikatakan “q adalah peta b oleh f” dan ditulis f(b) = q.

iii)f memetakan c ∈ A ke r ∈ B, dikatakan “r adalah peta c oleh f” dan ditulis f(c) = r.

apabila fungsi f memetakan setiap x ∈ A dengan tepat ke satu anggota y ∈ B, maka

f : x→ y (dibaca: y adalah peta dari x oleh f)

Peta dari x ∈ A oleh fungsi f sering dituliskan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus bagi fungsi f. Sebagai contoh f : x → x2 – 2x + 3 dapat dinyatakan.

a)Rumus untuk fungsi f  adalah f(x) = x2 – 2x + 3 dengan x ∈ R.

b)Peta dari 0 adalah f(0) = (0)2 – 2(0) + 3 = 3,

Peta dari 1 adalah f(1) = (1)2 – 2(1) + 3 = 2,

Peta dari 2 adalah f(2) = (2)2 – 2(2) + 3 = 3, … dan seterusnya.

Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f(x) untuk x = 0. Jadi, secara umum f(a) = a2 – 2a + 3 adalah nilai fungsi f untuk x = a.

c)Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = x2 – 2x + 3

Daerah Pemetaan

Dalam fungsi atau pemetaan dikenal tiga daerah atau wilayah, yaitu:

1.Daerah asal (domain)

2.Daerah kawan (kodomain)

3.Daerah hasil (range)

Daerah asal atau domain adalah daerah himpunan yang anggotanya dipetakan ke himpunan lainnya. Daerah kawan atau kodomain adalah daerah himpunan yang digunakan untuk memetakan suatu himpunan. Sedangkan daerah hasil (range) adalah daeraj semua anggota himpunan yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan yang dipetakan.

Misal f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A → B), maka:

i)Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,

ii)Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,

iii)Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi f pada gambar di atas dapat disebutkan

i)Daerah asalnya adalah A = {a, b, c}

ii)Daerah kawannya adalah B = {p, q, r, s}

iii)Wilayah hasilnya adalah {p, q, r}

Macam-Macam Fungsi Khusus

Yang dimaksud dengan fungsi khusus adalah fungsi yang daerah asalnya tidak dinyatakan sehingga daerah asal yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R dikenal beberapa jenis fungsi, dimana masing-masing fungsi memiliki karakteristik yang berbeda-beda.

#1 Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Artinya untuk semua nilai x dalam daerah asal Df hanya berpasangan dengan sebuah nilai dalam wilayah hasil Wf. Dalam bentuk pemetaan, fungsi konstanta ditulis sebagai.

f : x→ f(x) = k

dengan x ∈ R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.

#2 Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Ini berarti, untuk sebuah nilai x dalam daerah asal Df berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam wilayah hasil Wf. Fungsi identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (Imenyatakan identitas)

#3 Fungsi Linear

Fungsi linier adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b ∈ R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dalam variabel x.

#4 Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax2 + bx + c (a, b dan c ∈ R, a ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom (sukubanyak) berderajat dua dalam variabel x. Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c dalam bidang Cartesius merupakan kurva parabola.

#5 Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = |x| untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk |x| dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.

Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negatif, maka grafik fungsi y = f(x) = |x| tidak pernah terletak si bawah sumbu x.

#6 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Suatu fungsi f : x → f(x) disebut fungsi genap jika f(−x) = f(x). Sebaliknya, suatu fungsi f : x → f(x) disebut fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x). Suatu fungsi yang tidak memenuhi salah satu dari pernyataan di atas dikatakan fungsi yang tidak genap maupun tidak ganjil. 

#7 Fungsi Turunan

Sesuai dengan namanya, fungsi turunan adalah fungsi yang melibatkan bentuk turunan. Jika fungsi f : R → R adalah suatu fungsi yang diketahui dan f' ditentukan oleh f(x) = lim f(x + h) – f(x)/h . Maka f disebut fungsi turunan yang prinsipnya sesuai dengan prinsip differensial.

Contoh Soal Fungsi atau Pemetaan Beserta Pembahasannya

Diketahui fungsi f : x → 2x + 1 dengan daerah asal D = {x| 1≤ x ≤ 3, x ∈ R}.

a)Carilah nilai fungsi f  untuk x = 1, x = 2 dan x =3

b)Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius.

c)Tentukan wilayah hasil fungsi f.

Jawab

f : x → 2x + 1, rumus untuk fungsi f adalah f(x) = 2x + 1

a)Nilai fungsi f.

untuk x = 1 adalah f(1) = 2(1) + 1 = 3

untuk x = 2 adalah f(2) = 2(2) + 1 = 5

untuk x = 3 adalah f(3) = 2(3) + 1 = 7

b) Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y = 2x + 1, yaitu suatu persamaan garis lurus. Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (1, 3), (2, 5) dan (3, 7). Titik-titik itu digambarkan pada bidang Cartesius, kemudian dihubungkan dengan ruas garis lurus seperti pada gambar di bawah ini.

c)Berdasarkan grafik fungsi f pada gambar di atas, jelas bahwa wilayah hasilnya adalah {y| 3 ≤ y ≤ 7, y ∈ R}.

Demikianlah artikel tentang definisi dan notasi/lambang fungsi (pemetaan), pengertian domain, kodomain dan range, macam-macam fungsi khusus serta contoh soal tentang fungsi dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Apakah fungsi termasuk pemetaan?

Apa yang dimaksud pemetaan relasi dan fungsi?

Apa syarat pemetaan?

Apakah pemetaan adalah relasi?