Barisan bilangan yang memiliki pola tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan adalah …

Deret aritmatika adalah pola bilangan berderet di dalam matematika, yang mempunyai manfaat sangat penting dalam berbagai hal.

Contohnya ketika kalian menabung, setiap hari kalian teratur menyisakan uang saku sebesar lima ribu rupiah, hari berikut nya menjadi sepuluh ribu dan seterusnya. Lama kelamaan uang kalian bertambah banyak bukan?

Nah, pola penjumlahan inilah yang dinamakan deret aritmatika.

Sebelum kita membahas mengenai deret aritmatika, kita harus mengerti terlebih dahulu tentang barisan aritmatika karena pola penjumlahan yang didapatkan deret aritmatika berasal dari barisan aritmatika.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan.

Barisan aritmatika terdiri atas suku ke-satu (U1), suku ke-dua (U2) dan seterusnya hingga sebanyak n atau suku ke-n (Un).

Setiap sukunya memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih setiap sukunya inilah yang disebut beda, disimbolkan sebagai b. Suku pertama U1 juga disimbolkan sebagai a.

Barisan aritmatika : 0,5,10,15,20,25,….,Un

Sebagai contoh diatas merupakan Barisan aritmatika yang memiliki beda yang sama yaitu b=5 dan suku pertama adalah a=0. Selisih didapatkan dari pengurangan setiap sukunya. Misalnya suku kedua U2 dikurangi suku pertama U1 , b= U2 – U1 = 5 – 0 = 5, nilai b juga dapat diperoleh dari suku ketiga dikurangi suku ke dua dan seterusnya, mudah bukan?

Nah, untuk mencari rumus suku ke-n (Un) kita dapat menggunakan rumus praktis yang mudah digunakan.

Dimana, Un adalah suku ke-n, Un-1 adalah suku sebelum n, a adalah suku pertama, b adalah beda dan n adalah bilangan bulat.

untuk lebih jelasnya mengenai materi deret aritmatika, perhatikan contoh soal berikut,

1. Diketahui suatu barisan aritmatika 3,7,11,15,….,Un. Tentukan berapa suku ke-sepuluh U10 baris diatas?

Baca juga:  Tips menghitung integral dan diferensial dengan cepat

Pembahasan:

Diketahui dari barisan diatas bahwa suku pertamanya a adalah 3, mempunyai beda b yaitu 4 dan n = 10.

Berapa suku ke-sepuluh U10 nya? menggunakan rumus sebelumnya , U10 didapatkan sebagai berikut

Un = a + (n-1)b

U10 = 3 + (10-1)4

= 3 + 36

= 39

Jadi, suku ke-sepuluh dari barisan aritmatika diatas adalah 39

Deret Aritmatika

Seperti bahasan sebelumnya, Barisan aritmatika menyatakan susunan bilangan berurutan U1 , U2 , … , Un yang mempunyai pola yang sama . Sedangkan deret aritmatika adalah jumlah susunan bilangan pada Barisan aritmatika U1+ U2 +… + Un sampai suku-n.

Secara konsep sebenarnya untuk deret aritmatika ini sederhana karena kita hanya menjumlahkan Barisan aritmatika yang sudah kita bahas sebelumnya sampai suku ke-n tergantung apa yang diperintahkan.

Misalnya kita menjumlahkan Barisan contoh soal sebelumnya sampai suku ke-empat, mudah bukan? Tetapi bagaimana kalau menjumlahkan Barisan aritmatika sampe suku ke 100, wah kok jadi sulit ya.

Oleh karena itu, untuk mempermudah menghitung deret aritmatika ini digunakan rumus praktis

Dengan,

a adalah suku pertama

b adalah beda

Sn adalah jumlah suku ke-n

Contoh soal deret aritmatika

Diketahui suatu deret aritmatika 3+7+11+15+….+Un. Tentukan jumlah suku ke-sepuluh U10 deret diatas

Pembahasan:

Diketahui pada deret diatas a = 3, b = 4 dan n= 10, Ditanyakan berapakah jumlah suku ke-10 deret diatas.

Dengan menggunakan rumus

Sn = n/2 (2a+(n-1)b)

S10 = 10/2 (2.3+(10-1). 4)

= 5.(6+36)

=210

Jadi, jumlah deret suku ke-sepuluh diatas adalah 252

Nah, sudah mengerti kan materi tentang deret aritmatika, untuk lebih mahir lagi mengerjakan soal deret, simak contoh soal berikut.

1. Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20.a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut.b. Tuliskan deret aritmetika tersebut.

c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

Pembahasan:

Diketahui jika a=10 dan U6 = 20,

a. Un = a+(n-1)b

U6= a+(6-1) b

20= 10+(5)b

b= 10/5 = 2

b. Deret aritmatika : 10+12+14+16+18+20+…+Un

c. Jumlah Suku ke-enam S6,

Sn =n/2 (2a+(n-1)b)

S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)

=3(20+10)

=90

Jadi, jumlah Suku ke-enam deret diatas adalah 90

2. Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 6, 10, 14, 18, ………Un. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut.

Pembahasan:

Diketahui baris aritmatika diatas, a = 2 dan b = 4, Ditanyakan rumus suku ke-n

Un = a+(n-1) b

Un = 2+(n-1)4

Un= 2+4n-4

Un=4n-2

Jadi, rumus ke-n untuk baris diatas adalah Un=4n-2.

Demikian materi tentang deret aritmatika, semoga kalian bisa memahami dengan baik ya!

Referensi: Arithmetic Sequence and Sum – Math is Fun

Barisan aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Setiap sukunya memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih setiap sukunya inilah yang disebut beda, disimbolkan sebagai b.

jadi yang merupakan barisan aritmatika adalah d, karena bilangan di d memiliki pola tetap, dengan nilai bedanya 3

sedangkan a, b dan c tidak memenuhi karena nilai bedanya berubah-ubah

Artikel ini membahas mengenai konsep, rumus, dan contoh soal untuk mencari Un dan Sn dari barisan dan deret aritmatika. Artikel ini juga membahas rumus cepat barisan aritmatika.

--

Kamu pasti sering kan dikasih uang jajan oleh ibumu? Setiap kamu berangkat sekolah, pasti ibumu sudah menyiapkan uang saku untuk kamu. Coba ingat-ingat deh jumlah uang saku yang diberikan ibumu dari kamu masih kelas 1 SD hingga kamu kelas 8 SMP. Apakah setiap tahunnya bertambah? Pastinya bertambah dong ya karena kebutuhan kamu di sekolah pun juga bertambah. Wah, kamu bisa lihat kan betapa baiknya ibumu kepadamu, jadi kalian harus berbakti juga kepadanya.

Nah, jika dilihat-lihat dari bertambahnya uang saku kamu setiap tahunnya, ternyata ini bisa disangkutkan ke materi barisan aritmatika, lho. Kok bisa?

Gini, misalnya jumlah uang saku kamu kelas 1 SD yaitu 5000, lalu uang sakumu ketika kamu kelas 2 SD bertambah menjadi 7000, kemudian uang sakumu ketika kelas 3 SD bertambah menjadi 9000, dan begitu seterusnya. Kalau diperhatikan, kenaikan uang saku kamu setiap tahunnya, yaitu 2000. Urutannya adalah 5000, 7000, 9000, ... Nah, urutan jumlah uang saku kamu yang selalu naik dengan konstan (memiliki pola pertambahan yang tetap) inilah yang merupakan gambaran konsep dari barisan aritmatika.

Mau tau lebih lanjut bagaimana cara menghitung barisan aritmatika dan apa saja sih rumus- rumusnya? Yuk, kita belajar bareng!

Baca juga: Ukuran Pemusatan Data: Mean, Median, Modus

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola yang tetap. Nah, polanya itu bisa berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi, setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih inilah yang dinamakan beda. Biasa disimbolkan dengan b.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 5. Suku ketiga (U3), yaitu 8, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.

2, 5, 8, ...

(setiap suku memiliki selisih atau beda, yaitu 3)

Nah, untuk mencari suku ke-n (Un), kita bisa menggunakan rumusnya, lho. Rumus barisan aritmatika bisa kamu lihat di bawah ini, ya.

Oke, sekarang kita latihan soal mengenai barisan aritmatika yuk supaya kamu lebih paham materi ini.

Soal yang ada di atas tadi termasuk soal dengan tingkatan mudah karena suku pertama dan beda-nya bisa kita cari dengan mudah. Lalu, bagaimana kalau kamu disuruh untuk menyelesaikan soal yang suku pertamanya dan bedanya belum diketahui.

Tenang, ada rumus cepat untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika biar kamu tidak bingung mengerjakannya.

Nah, kamu sekarang sudah tahu kan rumusnya, langsung aja yuk kita kerjakan soalnya.

Pertama-tama, kamu harus mencari beda dari barisan tersebut terlebih dahulu.  Caranya, lihat pada selisih dua suku yang berdekatan. Setelah kita dapatkan bahwa beda dari barisan tersebut adalah 3, langsung saja kita masukan ke dalam rumusnya.

Baca juga: Mencari Pola Bilangan

Sudah paham kan Squad? Kalau tadi kita belajar tentang barisan aritmatika, sekarang kita belajar tentang deret aritmatika.

Deret Aritmatika

Deret aritmatika (Sn) adalah jumlah suku ke-n pada barisan aritmatika. Nah, di sini kita hanya menjumlahkan barisan aritmatikanya saja sampai ke suku yang diperintahkan. Misalnya, kamu diperintahkan untuk mencari deret aritmatika jumlah 5 suku pertama dari barisan yang tadi dibahas. Jadi seperti ini ya penjelasannya.

3, 7, 11, 15, 19, ...

Jumlah 5 suku pertamanya berarti,

3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55

Lalu, bagaimana ya kalau mencari deret aritmatika jumlah 100 suku pertama dari suatu barisan? Nah, daripada kamu pusing menjumlahkan semua suku dari pertama sampai suku ke seratus, mending kamu memakai rumus deret aritmatikanya! Untuk rumus deret aritmatika, kamu bisa lihat dibawah ini yaa.

Jadi, sekarang sudah mengerti kan, biar kamu bisa menguasai materi ini, yuk kita coba untuk latihan soal lagi. Di bawah ini merupakan soal yang diambil dari soal UN tahun-tahun sebelumnya. Maka dari itu, soal-soal ini akan membantu kamu mempersiapkan UN nanti yaa.

Wah, tidak terasa kita telah mempelajari materi barisan dan deret aritmatika, nih! Kalau kamu ingin mempelajari materi ini lebih menarik lagi dan juga menyenangkan, kamu bisa nih belajar melalui video animasi di ruangbelajar. Di sana, kamu bisa belajar sekaligus latihan soal-soal. Selain itu, waktu belajar kamu akan lebih efektif dan tidak akan menyita waktu bermain kamu. Jadi, tunggu apa lagi? Buruan download aplikasi ruangguru!

Referensi:

As'ari AR, Tohir M, dkk. (2017) Matematika Kelas VIII SMP/MTs. Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Artikel diperbarui pada 15 Januari 2021.