This Paper A short summary of this paper 37 Full PDFs related to this paper This Paper A short summary of this paper 35 Full PDFs related to this paper
GARIS SINGGUNGLINGKARANPernahkah kalian memerhatikan sebuahkerekan atau katrol? Gambar di sampingadalah alat pada abad ke-18 yang mempera-gakan daya angkat sebuah kerekan yangprinsip kerjanya menggunakan katrol. Padaalat di samping terdapat beberapa katrol yangmasing-masing dihubungkan oleh tali.Perhatikan bahwa masing-masing talimenyinggung bagian dari katrol, yang bagianbawahnya dihubungkan dengan sebuahpemberat. Dapatkah kalian menentukanpanjang tali yang menyinggung tiap katroltersebut?Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:™dapat menemukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garisyang melalui titik pusat;™dapat mengenali garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luardua lingkaran;™dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam danpersekutuan luar dua lingkaran;™dapat melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.7Kata-Kata Kunci:™sifat garis singgung lingkaran™garis singgung persekutuan dalam™garis singgung persekutuan luar™lingkaran dalam segitiga™lingkaran luar segitigaSumber:Jendela Iptek, 2001 170Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Sebelum kalian mempelajari materi pada bab berikut, cobakalian ingat kembali materi mengenai segitiga, garis-garis padasegitiga, teorema Pythagoras, dan lingkaran. Materi tersebut akanmemudahkan kalian dalam mempelajari materi pada bab ini.A. MENGENAL SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNGLINGKARAN1. Pengertian Garis Singgung LingkaranUntuk memahami pengertian garis singgung lingkaran,perhatikan Gambar 7.1 di samping.Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengandiameter CD (garis k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demisedikit sejajar k maka–pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F)dengank1A OB.–pada posisi k2memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H)dengank2A OB.–pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B(menyinggung lingkaran di B).Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran.Sekarang perhatikan Gambar 7.2.Jika garis kdiputar dengan pusat perputaran titik A ke arahbusurABc yang lebih kecil dari busur AB maka kita perolehOABc' sama kaki. (Mengapa?)1OABOB A180AOB .2ccc‘ ‘ u q‘Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebihkecil dan lebih kecil lagi maka OABOB Acc‘ ‘ akan makin besardanAOBc‘ makin kecil. Pada suatu saat garis k akanmenyinggung lingkaran di titik A dengan titik Bc berimpit dengantitik A dan saat itu berlaku1OABOB A180AOB211800290ccc‘ ‘ u q‘ u qu q qHal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengangaris singgung k di titik A.kk1k2k3BCDEFGOHAGambar 7.1AOBkB'Gambar 7.2 171Garis Singgung LingkaranGaris singgung lingkaran adalah garis yang memotongsuatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus denganjari-jari di titik singgungnya.Perhatikan Gambar 7.3.Pada Gambar 7.3 di samping tampak bahwa garis k tegaklurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgunglingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgunglingkaran.Karena garis kA OA, hal ini berarti sudut yang dibentukkedua garis tersebut besarnya 90o. Dengan demikian secara umumdapat dikatakan bahwa setiap sudut yang dibentuk oleh garis yangmelalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90o.2. Melalui Suatu Titik pada Lingkaran Hanya Dapat DibuatSatu Garis Singgung pada Lingkaran TersebutPerhatikan Gambar 7.4.ABCDEOk1k2gl1l2A1A2Gambar 7.4Pada Gambar 7.4 di atas, garis k1 dan k2 adalah garis singgunglingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran dan menyinggunglingkaran di titik B dan C.Apabila titik A digeser ke A1 maka garis k1 dan k2 akanbergeser sehingga menjadi garis l1dan l2yang menyinggunglingkaran di titik D dan E.Apabila titik A1 digeser ke A2 tepat pada keliling lingkaranmaka garis l1 dan l2bergeser dan saling berimpit menjadi garis g.Jadi, hanya terdapat satu garis singgung lingkaran yang melaluisuatu titik pada lingkaran. Apakah garis gA OA2?AOkGambar 7.3(Menumbuhkan kreativitas)Amati lingkungan di se kitarmu. Carilah benda-benda yan gmenggunakan prinsip garis singgung lingkaran. Ceritakan hasiltemuanmu secara singkat di depan kelas. 172Matematika Konsep dan Aplikasinya 2B. MELUKIS DAN MENENTUKAN P ANJANGGARIS SINGGUNG LINGKARANUntuk melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik padalingkaran dan di luar lingkaran, perhatikan uraian berikut ini.1. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik padaLingkaranSalinlah Gambar 7.5 di samping. Kemudian lukislah garis singgunglingkaran yang melalui titik A pada lingkaran di samping.Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, langkah-langkahnya sebagai berikut.a. Lukis jari-jari OA dan perpanjangannya.b. Lukis busur lingkaran berpusat di A sehingga memotong garisOA dan perpanjangannya di titik B dan C.c. Lukis busur lingkaran berpusat di titik B dan C sehingga salingberpotongan di titik D dan E.Hubungkan titik D dan E. Garis DE adalah garis singgunglingkaran di titik A.ABCDOEABCDEOGambar 7.8Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satugaris singgung pada lingkaran tersebut.AOGambar 7.5AOGambar 7.6AOBCGambar 7.7 173Garis Singgung Lingkaran2. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik di LuarLingkaranLukislah sebuah lingkaran dengan titik pusat di O dan titik A beradadi luar lingkaran. Lukislah garis singgung lingkaran yang melaluititik A di luar lingkaran.Langkah-langkah melukis garis singgung melalui suatu titik di luarlingkaran sebagai berikut.a. Lukislah lingkaran titik pusat di O dan titik A di luar lingkaran.b. Hubungkan titik O dan A.c . Lukis busur lingkaran dengan pusat di titik O dan titik A sehinggasaling berpotongan di titik B dan titik C.d. Hubungkan BC sehingga memotong garis OA di titik D.e. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DAsehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Namailahdengan titik E dan F.f. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F.Garis AE dan EF merupakan dua garis singgung lingkaranmelalui titik A di luar lingkaran.Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Melaluisebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garissinggung pada lingkaran tersebut.3. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari SatuTitik di Luar LingkaranPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajarimengenai teorema Pythagoras. Untuk menentukan panjang garissinggung lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema ini.ABCDOGambar 7.9AOABCOOAABCDEFOABCDEFO(a)(b)(c)(d) (e)(f) 174Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Perhatikan uraian berikut.Pada Gambar 7.10 di samping, lingkaran berpusat di titik Odengan jari-jari OB dan OB A garis AB. Garis AB adalah garissinggung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.Perhatikan segitiga siku-siku ABO.Dengan teorema Pythagoras berlaku22 22 2222OBABOAABOAOBABOAOB Panjang garis singgung lingkaran (AB) =22OAOB.ABOGambar 7.10Diketahui lingkaran berpu-sat di titik O dengan jari-jari OB = 5 cm. Garis ABadalah garis singgung ling-karan yang melalui titik Adi luar lingkaran. Jika jarakOA = 13 cm makaa. gambarlah sketsanya;b. tentukan panjang garissinggung AB.Penyelesaian:a. Sketsab.2222ABOAOB135169 25144 12Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.ABO13 cm5cm4. Layang-Layang Garis SinggungPerhatikan Gambar 7.11.ABPOGambar 7.11 175Garis Singgung LingkaranPada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalahgaris singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian‘ OAP = ‘ OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan talibusur.Perhatikan' OAB.Pada' OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga ' OAB adalahsegitiga sama kaki.Sekarang, perhatikan ' A B P.Pada' ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ' ABPadalah segitiga sama kaki.Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitigasama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AByang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwasegi empat OAPB merupakan layang-layang. Karena sisi layang-layang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgunglingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garissinggung.a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luarlingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung darikedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang.b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgunglingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung darikedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garissinggung.Gambar 7.12Perhatikan gambar di atas.Dari titik P di luar lingkaranyang berpusat di titik Odibuat garis singgung PAdan PB. Jika panjang OA= 9 cm dan OP = 15 cm,hitunglahPenyelesaian:Perhatikan' OAP.a.' OAP siku-siku di titik A, sehingga22 222APOPOA159225 81144AP144 12 cm ABPO 176Matematika Konsep dan Aplikasinya 2b. Luas ' OAP 21OA AP219 12254 cm uu uuc. Luas layang-layang OAPB 22 luas OAP2 54108 cm u' ud. Luas layang-layang 1OAPBOP AB2110815 AB2108 2AB1514, 4 cm uu uuuKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.a. panjang AP;b. luas ' OAP;c. luas layang-layangOAPB;d. panjang tali busur AB.1.plknmDari garis-garis k,l,m,n, dan p padagambar di atas, manakah yangmerupakan garis singgung lingkaran?2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaranberpusat di titik O(0, 0) dengan jari-jari5 satuan panjang. Selanjutnya lukislahgaris singgung lingkaran yang melalui titikA(0, 5).3. Lukislah pada kertas berpetak lingkarandengan pusat di titik P(3, 2) dan jari-jari4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislahgaris singgung lingkaran yang melalui titikQ(–1, 2).4. Berdasarkan keterangan pada gambarberikut, hitunglah panjang setiap garissinggung lingkarannya.a.QPO7 cm5cmb.ABO26 cm10 cmc.OPQ12cm20 cm 177Garis Singgung Lingkaran5.ABCOPada gambar di atas, garis AB dan ACadalah garis singgung lingkaran yangmelalui titik A. Jika OB = 10 cm danOA = 26 cm maka tentukana. panjang garis singgung AB;b. luas layang-layang OBAC;c. panjang tali busur BC.C. KEDUDUKAN DUA LINGKARANJika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Qdengan jari-jari rdi mana R > r maka terdapat beberapa kedudukanlingkaran sebagai berikut.(i) L2terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehinggapanjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalamL1 dan konsentris(setitik pusat).(ii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal inidikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.(iii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r=12R, sehingga L1 danL2bersinggungan di dalam.(iv) L1berpotongandengan L2 dan r< PQ < R.(v) L1berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.(vi) L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2bersinggungan di luar.(vii) L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2saling terpisah.rRP, QPQ = 0L2L1(i)L1L2P QPQ < < rR(ii)PQL1L2rR < PQ < PQL1L2PQ > + RrPQL1L2PQ = + RrPQL1L2r Rr < PQ < + Gambar 7.13L1L2QPQ = = rR(iii)12P (iv)(v) (vi) (vii) 178Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas,dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garissinggung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buahlingkaran sekaligus.Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garissinggung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut.(i) Pada Gambar 7.14 kedua lingkaran tidak mempunyai garissinggung persekutuan.(ii) Pada Gambar 7.15 kedua lingkaran mempunyai satu garissinggung persekutuan.(iii) Pada Gambar 7.16 kedua lingkaran mempunyai dua garissinggung persekutuan.(iv) Pada Gambar 7.17 kedua lingkaran mempunyai tiga garissinggung persekutuan.(v) Pada Gambar 7.19 kedua lingkaran mempunyai empat garissinggung persekutuan.D. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUALINGKARANPada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukisdan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran.Sekarang, kalian akan mempelajari cara melukis dan menentukanpanjang garis singgung pada dua buah lingkaran. Ada dua macamgaris singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgungpersekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Agar kaliandapat memahaminya pelajari uraian berikut ini.Gambar 7.14Gambar 7.15Gambar 7.16Gambar 7.17Gambar 7.18(Menumbuhkankreativitas)Ambillah dua buahkoin yang berbedaukuran. Peragakanlahkedudukan dua buahlingkaran seperti padaGambar 7.10.Ceritakan secara sing-kat di depan kelas. 179Garis Singgung Lingkaran1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam DuaLingkaranLangkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalamdua lingkaran sebagai berikut.(a) Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari Rdanlingkaran L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r).Selanjutnya, hubungkan titik P dan Q.(b) Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga salingberpotongan di titik R dan S.(c) Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garisPQ di titik T.(d) Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.(e) Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehinggamemotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V.(f) Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1dititik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotonglingkaran L1 di titik C.(g) Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehinggamemotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaranpusat di titik C jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 dititik D.(h) Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D.Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuandalam lingkaran L1 dan L2.(b)PQSR(c)PQSRTPRrQ(a)(h)PRQSTUVABCD(g)PQRTSACVBDUGambar 7.19(d)SPRTQ(e)PRQSTVU(f)PQRSTACVU 180Matematika Konsep dan Aplikasinya 22. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam DuaLingkaranUntuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalamdua lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema Pythagoras.PQSRAL1L2rpdBGambar 7.20Pada Gambar 7.20 di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r.Dari gambar tersebut diperolehjari-jari lingkaran yang berpusat di P = R;jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r;panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d;jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p.Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperolehgaris SQ.Garis SQ sejajar AB, sehingga ‘ PSQ = ‘ PAB = 90o (sehadap).Perhatikan segi empat ABQS.Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ‘ PSQ = ‘ PAB = 90o.Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjangAB = d dan lebar BQ = r.Perhatikan bahwa ' PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakanteorema Pythagoras diperoleh2 222222QSPQPSQSPQPSQSPQ RrKarena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgungpersekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusatp, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah22 d p Rr 181Garis Singgung LingkaranMNAB15 cm5cm4cmGambar 7.21Pada gambar di atas, pan-jang jari-jari MA = 5 cm,panjang jari-jari NB =4 cm, dan panjang MN =15 cm. Hitunglah panjanggaris singgung persekutuandalamnya.3. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar DuaLingkaranLangkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dualingkaran sebagai berikut.(a) Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaranL2 pusat di Q berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.(b) Lukis busur lingkaran dengan pusat di P dan Q sehingga salingberpotongan di titik R dan S.(c) Hubungkan RS sehingga memotong PQ di titik T.(d) Lukis busur lingkaran dengan pusat di T dan berjari-jari PT.(e) Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – rsehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V.(f) Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaranL1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehinggamemotong lingkaran L1 di titik C.(g) Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehinggamemotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaranpusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 dititik D.(h) Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D.Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuanluar lingkaran L1 dan L2.Penyelesaian:Diketahui MA = 5 cm, NB = 4 cm, dan MN = 15 cm.Garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB.2222ABMNMA NB155 4225 8114412 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah12 cm.PRrQ(a)(b)RPQS 182Matematika Konsep dan Aplikasinya 24. Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar DuaLingkaranKalian telah mempelajari cara melukis garis singgung persekutuanluar dua lingkaran. Sekarang, kalian akan menentukan panjanggaris singgung persekutuan luar tersebut.Perhatikan Gambar 7.23.Dari gambar tersebut diperolehjari-jari lingkaran yang berpusat di P = R;jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r;panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = d;jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p.Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperolehgaris SQ.Garis AB sejajar SQ, sehingga ‘ PSQ = ‘ PAB = 90o (sehadap).Perhatikan segi empat ABQS.Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ‘PSQ = ‘PAB = 90o.PQRSTPQSTRPQRSTVUPQRTSAVUCPQRSTUVABCDPQRSTUVABCD(c) (d) (e)(f) (g) (h)Gambar 7.22ABSPRQprdL2L1Gambar 7.23 183Garis Singgung Lingkaran' PQS siku-siku di S, sehingga berlaku22 22222QS =PQPSQSPQPSQSPQ() RrKarena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgungpersekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusatp, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah22 d p RrPanjang garis singgungpersekutuan luar dua ling-karan adalah 12 cm. Jarakkedua pusat lingkaran ter-sebut 13 cm. Jika panjangsalah satu jari-jari lingkaran132 cm, hitunglah panjangjari-jari lingkaran yang lain.Penyelesaian:Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 12 cm,makad = 12.Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka p = 13.Panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehinggar = 3,5.Panjang jari-jari lingkaran yang lain = R, sehingga22222222212133, 512133, 5144 1693, 53, 5253, 5253, 5 55 3, 5 8, 5 cm d p RrRRRRRRR 184Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1.Perhatikan gambar di atas.Berdasarkan gambar tersebut, benar atausalahkah pernyataan-pernyataan berikut?a.AB sejajar PQb.APPQAc.ABCDd.ABPQe.APABA di titik A2. Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarakkedua titik pusatnya adalah 24 cm.Hitunglaha. panjang garis singgung persekutuandalam;b. panjang garis singgung persekutuanluarnya.ABPQCD3.ABOPCDPerhatikan gambar di atas.Panjang jari-jari lingkaran yang berpusatdi O adalah 9 cm dan panjang jari-jarilingkaran yang berpusat di P adalah 4 cm.Jika panjang garis singgung persekutuanluarnya 12 cm, tentukana. jarak kedua pusat lingkaran;b. luas segi empat yang diarsir.4. Panjang garis singgung persekutuandalam dua lingkaran adalah 24 cm danjarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jikapanjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm,hitunglah panjang jari-jari lingkaran yanglain.5. Panjang jari-jari dua buah lingkaran yangberpusat di O dan P masing-masing ada-lah 8 cm dan 4 cm. Jarak kedua titikpusatnya 20 cm.a. Lukislah garis singgung persekutuandalamnya.b. Hitunglah panjang garis singgungpersekutuan dalam tersebut.E. MENENTUKAN PANJANG SABUK LILIT ANMINIMAL YANG MENGHUBUNGKAN DUALINGKARANDalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorangtukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkanmengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong 185Garis Singgung Lingkarandikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kalian akanmempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkanuntuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkanpekerjaan.Gambar 7.24 di atas me-nunjukkan penampang tigabuah pipa air berbentuklingkaran yang masing-masing berjari-jari 7 cmdan diikat menjadi satu.Hitunglah panjang sabuklilitan minimal yangdiperlukan untuk mengikattiga pipa tersebut.Gambar 7.24Penyelesaian:Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusatdengan tali yang melingkarinya, seperti pada Gambar 7.25,sehingga diperoleh panjang DE = FG = HI = AB = AC =BC = 2 u jari-jari = 14 cm.Segitiga ABC sama sisi, sehingga‘ ABC = ‘ BAC = ‘ ACB = 60o;‘ CBF = ‘ ABE = 90o (siku-siku);‘ FBE = ‘GCH = ‘DAI = 360o – (60o + 90o + 90o) =120oIngat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai ling-karan, bahwa panjang busur lingkaran =sudut pusatkeliling lingkaran360uq, sehingga diperolehpanjangpEF = panjang pGH = panjang oDI12022273607144344cm3q uu uq uPanjang sabuk lilitan minimal= DE + FG + HI + panjang pEF + panjang pGH + panjangoDIABCDEFG77HIGambar 7.25(Menumbuhkaninovasi)Amatilah lingkungan disekitarmu. Temukanpemanfaatan sabuklilitan minimal padabenda-benda di seki-tarmu. Lalu, hitunglahpanjang sabuk lilitanminimal yang diguna-kan untuk mengikatbenda-benda tersebut.Tulislah hasilnyadalam bentuk laporandan serahkan kepadagurumu. 186Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.p3 panjang DE3 panjang EF443 14 3342 4486 cm uu u u 1.Gambar di atas adalah penampang tigabuah pipa air yang berbentuk tabungdengan diameter 14 cm. Berapakahpanjang tali minimal untuk mengikat tigabuah pipa dengan susunan tersebut?2. Dua buah kayu berpenampang lingkarandiikat dengan tali yang panjangnya 144cm. Jika jari-jarinya sama panjang makatentukan panjang jari-jari kedua kayu.3.Gambar di atas adalah penampang enambuah drum yang berbentuk tabungdengan jari-jari 24 cm. Hitunglah panjangtali minimal yang diperlukan untukmengikat enam buah drum tersebut.4.Gambar di atas adalah penampang enambuah kaleng yang berbentuk tabungdengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjangtali minimal yang diperlukan untukmengikat enam buah kaleng tersebut.5.Lima buah pipa air disusun seperti padagambar di atas. Hitunglah panjang taliyang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm.(Menumbuhkan kreativitas)Gambarlah dua buah lingkaran berpusat di P dan Q, berjari-jari8 cm dan 3 cm dengan jarak PQ = 13 cm. Lukislah garis singgungpersekutuan luar kedua lingkaran tersebut, kemudian tentukanpanjang garis singgung tersebut berdasarkana. pengukuran, b. perhitungan.Berapa selisih hasil a dan b? Buatlah kesimpulannya. 187Garis Singgung LingkaranF. MELUKIS LINGKARAN DALAM DANLINGKARAN LUAR SEGITIGA1. Melukis Lingkaran Dalam SegitigaLingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yangterletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya.Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potongketiga garis bagi sudut suatu segitiga. Coba kalian ingat kembalipengertian garis bagi suatu segitiga dan cara melukisnya.Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut.(a) Lukis ' ABC, kemudian lukis garis bagi ‘ABC.(b) Lukis pula garis bagi ‘CAB sehingga kedua garis bagiberpotongan di titik P.(c) Lukis garis PQ AAB sehingga memotong garis AB di titik Q.Lukis lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari PQ.Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ' ABC.2. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam SegitigaSelanjutnya, mari kita temukan panjang jari-jari lingkarandalam segitiga. Namun, terlebih dahulu akan kita ingat kembalirumus keliling dan luas segitiga.Perhatikan' ABC pada Gambar 7.29.Panjang sisi di hadapan ‘ A dinyatakan dengan a.Panjang sisi di hadapan ‘B dinyatakan dengan b.Panjang sisi di hadapan ‘C dinyatakan dengan c.Keliling segitiga adalah jumlah seluruh panjang sisi segitiga.ABCGambar 7.26xABCQPGambar 7.28ABCPGambar 7.27ABCabcGambar 7.29 188Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Jika keliling 'ABC dinyatakan dengan 2s makaK212abcsabcs abc Di kelas VII, kalian telah mempelajari rumus luas segitigayang diketahui panjang alas dan tingginya, yaitu1L = alas tinggi21= 2atuuuuKali ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yangdinyatakan dengan keliling segitiga. Dalam hal ini, kita akanmenentukan rumus luas segitiga yang diketahui panjang ketigasisinya dengan memanfaatkan rumus 1 keliling segitiga2s=1().2abcSekarang, perhatikan ' ABC pada Gambar 7.30.Pada gambar tersebut, garis tinggi CD dinyatakan dengan tCdan panjang AD dinyatakan dengan x. Karena diketahui panjangAB = c, maka panjang DB = c – x.Perhatikan bahwa ' ADC siku-siku di titik D, sehinggadiperoleh CD2= AC2 – AD2tC2=b2 – x2......................................................... (i)Sekarang, perhatikan ' BDC pada Gambar 7.30.' BDC siku-siku di titik D, sehingga diperolehBC2= CD2 + BD2 a2=tC2 + (c – x)2 a2=b2 – x2 + (c – x)2otC2 = b2 – x2 a2=b2 – x2 + c2 – 2cx + x2 a2=b2 + c2 – 2cx 2cx=b2 + c2 – a2 x=22 22bcac........................................................ (ii)Jadi, panjang AD = x = 22 22bcac. Selanjutnya, denganmemanfaatkan rumus tersebut, kita akan menentukan rumus garistinggitC.DABCabcc – xtCxGambar 7.30 189Garis Singgung LingkaranBerdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh222C222 2222 222 22222 222 222 222 2222Ingat bahwa ()()2222()2222)22()2t bxbcabcbca bcabba b a ba bccbcbca bcbcaccbc b c a bc b c accbc aac §· ̈ ̧©¹§·§· o ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹§· ̈ ̧©¹22222 22222(2 )()()22() ()() ()22()()()()4()(2 )(2 )(2 )42 (22 )(22 )(22 )Ingat 4b bc cbc a a bcccbc a bc a a bc a bcccbcabcaabcabccabcabc aabc cabc bcss a s c s bc §·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹§ ·§ · ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹ o222C2C2bahwa 2 .22() 2() 2()416 ()()()44 ()()()4 ()()()2()()()sabcs sa sc sbcss a s c s bcss a s b s ctcss a s b s ctcss a s b s cc uuu Berdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus garis tinggi tCadalahtC = 2()()().ss a s b s cc 190Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Dengan demikian, rumus luas ' ABC adalahC1L alas tinggi21= AB 212()()()2()()()tc ss a s b s ccss a s b s c uuuu uu Jadi, luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinyadapat ditentukan dengan rumus L()()()ss a s b s c dengan L = luas segitigas = 12 keliling segitiga; dana,b,c adalah panjang sisi-sisi segitiga.Selanjutnya, rumus luas segitiga tersebut digunakan untukmenentukan rumus panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaranluar segitiga. Pelajari uraian berikut.Perhatikan Gambar 7.31.Pada gambar tersebut lingkaran dengan pusat di titik O adalahlingkaran dalam dari 'ABC. Perhatikan bahwa 'ABC terbentukdari'AOC,'AOB, dan 'BOC.Misalkan panjang sisi BC = a, AC = b, AB = c, jari-jarilingkaran = OD = OE = OF = r, keliling 'ABC = AB + BC + AC= 2s, dan luas 'ABC = L.Dengan demikian,luas ABC luas AOC luas AOB luas BOC1 11LAC OEAB OFBC OD2 22111=ACABBC2221AC AB BC21212' ' ' '§·§·§· u u uu uu ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹©¹§·§·§·u u u u u u ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹©¹ u u u rrrrrb c arabcrsABCDEFbcOarGambar 7.31 191Garis Singgung LingkaranLatau rsssasbscrsDari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah()()()Latau ss a s b s crrssdenganr= panjang jari-jari lingkaran dalam segitigas=12 keliling segitigaL = luas segitigaa, b,c adalah panjang sisi-sisi segitigaABCOGambar 7.32Pada gambar di atas,lingkaran yang berpusat diO merupakan lingkarandalam' ABC. Jika pan-jang AB = 3 cm, AC =4 cm, dan 'ABC siku-sikudi A, tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam'ABC.Penyelesaian:AB = 3 cm, maka c = 3.AC = 4 cm, maka b = 4.2222BCABAC349 16255 Jadi, panjang BC = a = 5 cm.1215432112 62s abc u Karena'ABC siku-siku di titik A, maka luas ' ABCadalahluas segitiga = 21LAB AC213 4 6 cm2 uu uu 192Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Panjang jari-jari lingkaran dalam 'ABC adalahL61cm6rs3. Melukis Lingkaran Luar SegitigaLingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang terletak diluar segitiga dan melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Titikpusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbusisi-sisi segitiga. Coba kalian ingat kembali pengertian garis sumbudan cara melukisnya.Langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga sebagai berikut.(a) Lukis ' ABC, kemudian lukis garis sumbu sisi AB.(b) Lukis pula garis sumbu sisi BC, sehingga kedua garis sumbusaling berpotongan di titik P.(c) Lukis lingkaran berpusat di P dengan jari-jari PB. Lingkarantersebut merupakan lingkaran luar ' ABC.ABCPGambar 7.35ABCPGambar 7.34ABCGambar 7.33 193Garis Singgung Lingkaran4. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Luar SegitigaUntuk menentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga,perhatikan Gambar 7.36. Pada gambar tersebut, lingkaran yangberpusat di titik O adalah lingkaran luar 'ABC.MisalkanOB = OC = OE = r;BC = a, AC = b, AB = c;luas' ABC = L.Tariklah garis tinggi CD dan diameter CE.Amatilah'ADC dan 'EBC.‘ CAD = ‘CEB (sudut keliling yang menghadap busur yangsama) dan ‘ADC = ‘EBC (siku-siku). Akibatnya ‘ACD =‘ECB.Hal itu menunjukkan bahwa 'ADC sebangun dengan 'EBC,sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.ACCDECCBAC CBCD...................................................................(i)ECAC CBEC...................................................................(ii)CDuuDi lain pihak, kita memperoleh1luas ABCAB CD21LAB CD22L AB CD2LCD...............................................................(iii)AB' uu uu uDengan menyubstitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii), kitaperolehAC CBEC2LABAC CB AB2.............(karena EC2 )2Latau4L4LuuuuuuurdrbacabcrrABCDEabcOGambar 7.36 194Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah atau 44()()()abcabcrrLss a s b s cdengan r= jari-jari lingkaran luar 'ABCa,b, dan c= panjang sisi 'ABC L = luas ' ABC s=12 keliling segitigaPanjang sisi-sisi sebuahsegitiga adalah 13 cm,14 cm, dan 15 cm.Hitungah panjang jari-jarilingkaran luar segitigatersebut.Penyelesaian:Misalkana = 13, b = 14, dan c = 15.12113 14 152142221 us abc222 2 24()()()13 14 154 21(21 13)(21 14)(21 15)13 14 154218 7 613 14 1547 3 2 2 7 2 313 14 1547 3 2 213 14 15473228,125uuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuabcrss a s b s cJadi, panjang jari-jari lingkaran luar segitiga = 8,125 cm. 195Garis Singgung LingkaranKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1.ABCrOPerhatikan gambar di atas.Jika panjang AB = 8 cm, BC = 9 cm,dan AC = 145 cm, tentukana. luas 'ABC;b. keliling 'ABC;c. panjang jari-jari lingkaran dalamsegitiga ABC.2.ABCPada gambar di atas, diketahui panjangAB = BC = AC = 9 cm. Tentukana. luas 'ABC;b. panjang jari-jari lingkaran luar'ABC.3. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 26 cm dan panjang salah satusisi siku-sikunya 10 cm. Tentukana. panjang jari-jari lingkaran dalamsegitiga;b. panjang jari-jari lingkaran luar se-gitiga.4. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah26 cm, 28 cm, dan 38 cm. Hitunglaha. panjang jari-jari lingkaran dalamsegitiga;b. panjang jari-jari lingkaran luar se-gitiga.5. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Hitunglaha. panjang jari-jari lingkaran dalamsegitiga;b. panjang jari-jari lingkaran luar se-gitiga.1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatulingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.2. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satugaris singgung pada lingkaran tersebut.3. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garissinggung pada lingkaran tersebut.4. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkarandan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garissinggung tersebut membentuk bangun layang-layang. 196Matematika Konsep dan Aplikasinya 25. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkarandan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garissinggung tersebut disebut layang-layang garis singgung.6. Panjang garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran.ABCDQPpRr22AB CD p Rr7. Panjang garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran.ABCDQPR22AD CB p Rr8. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah()()()L atau ss a s b s crrssdengan r= panjang jari-jari lingkaran dalam segitigas=12 keliling segitigaL = luas segitigaa, b, c= panjang sisi-sisi segitiga9. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah atau 4L4()()()abcabcrrss a s b s cdengan r= panjang jari-jari lingkaran luar segitigaa, b, c= panjang sisi-sisi segitigaL = luas segitigas=12 keliling segitiga 197Garis Singgung LingkaranSetelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalianmengenaiGaris Singgung Lingkaran? Jika kalian sudah paham,coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakankepada gurumu. Catat pula manfaat apa saja yang dapat kalianperoleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkankepada gurumu.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1. Panjang garis singgung lingkaran ber-jari-jari 6 cm dari titik di luar lingkaranyang berjarak 10 cm dari pusatlingkaran adalah ....a. 6,5 cmc. 7,5 cmb. 7 cmd. 8 cm2. Dari titik P di luar lingkaran yang ber-pusat di O dibuat garis singgung PA.Jika panjang jari-jari 20 cm dan jarakAP = 21 cm maka panjang OP adalah....a. 23 cmc. 28 cmb. 25 cmd. 29 cm3. Dua lingkaran dengan pusat P dan Q,berjari-jari 7 cm dan 5 cm. Jika jarakPQ = 20 cm maka panjang garis sing-gung persekutuan dalamnya adalah....a. 12 cmc. 16 cmb. 15 cmd. 24 cm4.ABCOPada gambar di atas AB dan ACadalah garis singgung lingkaran titik Adi luar lingkaran. Jika panjang OC = xcm, AC = y cm, dan OA = z cm panjangBC = ....a.cm2xyc.2cmxyzb.cmxyzd.2cmzxyGambar di bawah ini untuk soal nomor5–7.ABOP5. Diketahui PA dan PB adalah garissinggung lingkaran. Jika panjang OA= 6 cm, OP = 10 cm maka panjangPA = ....a. 11 cmc. 12 cmb. 8 cmd. 9 cm 198Matematika Konsep dan Aplikasinya 26. Luas layang-layang OAPB adalah ....a. 46 cm2c. 48 cm2b. 45 cm2d. 50 cm27. Panjang tali busur AB adalah ....a. 6,9 cmc. 6,1 cmb. 9,5 cmd. 9,6 cm8.7 cmPerhatikan gambar di atas.Panjang tali yang digunakan untukmengikat dua pipa air berjari-jari 7 cmsebanyak lima kali lilitan adalah ....a. 28 cmc. 62 cmb. 44 cmd. 72 cm9. Panjang sisi-sisi sebuah segitigaadalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm.Panjang jari-jari lingkaran dalamnyaadalah ....a. 3 cmc. 5 cmb. 4 cmd. 6 cm10. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 35 cm dan panjang salahsatu sisi siku-sikunya adalah 21 cm.Panjang jari-jari lingkaran luarnyaadalah ....a. 15,5 cmc. 17,5 cmb. 16,5 cmd. 18 cmB. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis sing-gung persekutuan luarnya 15 cm makatentukana. jarak kedua pusat lingkaran;b. panjang garis singgung persekutuandalamnya.2.ABCDEFPada gambar di atas, kedua lingkaranbersinggungan di luar dengan pusat dititik B dan D. Jika AB = 5 cm dan DE= 3 cm, hitunglah panjanga. AE;c. EF.b. CF;3. Diketahui lingkaran L1berpusat diO(0, 0), dengan jari-jari r1 = 3 satuandan L2 pusat di P(6, 6), berjari-jari r2= 2 satuan.a. Gambarlah garis singgung perse-kutuan dalam L1 dan L2.b. Hitunglah panjang garis singgungpersekutuan luar dua lingkarantersebut.4. Diketahui empat tong minyakberbentuk tabung diikat menjadi satuuntuk diisi kembali. Susunlah empattong tersebut agar panjang tali yangdigunakan untuk mengikatnya mini-mal, kemudian hitung pula panjang-nya, jika diameter tong 14 cm.5.ABCDEOPada gambar di atas 'ABC siku-sikudi A. Panjang AB = 28 cm dan AC =21 cm. Hitunglaha. panjang jari-jari OD;b. panjang BD;c. panjang OB;d. luas 'COE. |
Dua garis yang membentuk sudut siku siku adalah a oa dan ob b ob dan oe c oc dan OF d od dan oe
Pos Terkait
Copyright © 2024 apacode Inc.
