Nilai minimum dari fungsi mc031 1 jpg dalam interval mc031 2 jpg adalah

Contoh 3

Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)

Jawab :

f '(x) = 3x2 − 12x + 9

f '(x) = 0

⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0

⇔ x2 − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x − 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner di x = 1 adalah

f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner di x = 3 adalah

f(3) =  (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1

Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum.

Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum.

Sketsa grafik (update 18/5/17)

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a

• Jika f ''(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum. 
• Jika f ''(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum. 
• Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)

Contoh 4

Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)

Jawab :

f '(x) =  3x2 − 12x + 9

f ''(x) = 6x − 12

f '(x) = 0

⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0

⇔ x2 − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x - 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :

f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner pada x = 3

f(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0

Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum

f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0

Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum

Contoh 5

Tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{4}+1}\)

Jawab :

f '(x) = 4x3 

f ''(x) = 12x2 

f '(x) = 0

⇔ 4x3 = 0

⇔ x = 0

Nilai stasioner pada x = 0 :

f(0) = (0)4 + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(0) = 12(0)2  = 0

Karena f ''(0) = 0 maka f(0) belum dapat ditetapkan

Uji turunan pertama

untuk x < 0 diperoleh f '(x) < 0 (turun)

untuk x > 0 diperoleh f '(x) > 0 (naik)

Karena pada x = 0 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(0) = 1 adalah nilai balik minimum.

Latihan 1

Diketahui fungsi \(\mathrm{y=ax^{3}+bx^{2}}\) dengan a dan b konstan. Jika nilai stasioner di \(\mathrm{x=1}\) adalah −1, tentukan nilai a − b !

Jawab :

Substitusi titik stasioner (1, −1) ke fungsi y :

y = ax3 + bx2

⇔ −1 = a(1)3 + b(1)2

⇔ −1 = a + b .................(1)

f(x) = ax3 + bx2

f '(x) = 3ax2 + 2bx

Karena f stasioner di x = 1 maka :

f '(1) = 0

⇔ 3a(1)2 + 2b(1) = 0

⇔ 3a + 2b = 0 ................(2)

Eliminasi (1) dan (2)

  a +   b = −1   ×3

3a + 2b = 0     ×1

3a + 3b = −3

3a + 2b = 0   _

          b = −3

Dari persamaan (1)

a + b = −1

a + (−3) = −1

a = 2

Jadi, a − b = 2 − (−3) = 5

Latihan 2

Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=-x^{2}-2px+3}\) mencapai nilai balik maksimum untuk absis \(\mathrm{x=-1}\). Tentukan nilai p dan koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut !

Jawab :

f(x) = −x2 − 2px + 3

f '(x) = −2x − 2p

Karena f mencapai nilai balik maksimum di \(\mathrm{x = -1}\) maka :

f '(−1) = 0

⇔ −2(−1) − 2p = 0

⇔ 2 − 2p = 0

⇔ p = 1

Untuk p = 1 maka 

f(x) = −x2 − 2(1)x + 3

f(x) = −x2 − 2x + 3

Nilai balik maksimum :

f(−1) = −(−1)2 − 2(−1) + 3 = 4

Jadi, titik balik maksimum : (−1, 4)

Latihan 3

Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx-5}\) mempunyai koordinat titik balik minimum di \(\mathrm{(2,-9)}\). Hitunglah nilai \(\mathrm{a + b}\) !

Jawab :

Substitusi titik (2, −9) ke fungsi f(x)

−9 = a(2)2  + b(2) − 5
4a + 2b = −4 ......................(1)

f '(x) = 2ax + b

Karena f mencapai nilai balik minimum di \(\mathrm{x=2}\), maka :

f '(2) = 0

2a(2) + b = 0

4a + b = 0 ..........................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh 

a = 1

b = −4

Jadi, a + b = 1 + (−4) = −3

Adakalanya Anda mungkin perlu mengetahui nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi kuadrat. Anda bisa mencari nilai maksimum dan minimum bila fungsi yang diberikan ditulis dalam bentuk umum, f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}

1. 1

   Tuliskan fungsi dalam bentuk umum. Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi yang memiliki suku x2{\displaystyle x^{2}}

   
   . Fungsi tersebut bisa mengandung suku x{\displaystyle x}
   
   dengan pangkat, bisa juga tidak. Angka pangkatnya tidak boleh lebih besar daripada 2. Bentuk umumnya adalah f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Jika perlu, gabungkan suku yang sama untuk memperoleh bentuk umum.[1]
   • Misalnya, mulailah dengan sebuah fungsi f(x)=3x+2x−x2+3x2+4{\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}
     
     . Gabungkan suku x2{\displaystyle x^{2}} dan x{\displaystyle x} untuk memperoleh bentuk umum:
     • f(x)=2x2+5x+4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}
       

2. 2

   Tentukan arah kurva. Fungsi kuadrat membentuk sebuah kurva parabola. Sebuah parabola bisa membuka ke atas atau ke bawah. Bila nilai a{\displaystyle a}

   
   , koefisien x2{\displaystyle x^{2}} positif, parabola membuka ke atas. Bila nilai a{\displaystyle a} negatif, parabola membuka ke bawah. Lihat contoh berikut ini:[2]
   • Untuk f(x)=2x2+4x−6{\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6}
     
     , a=2{\displaystyle a=2}
     
     sehingga parabola membuka ke atas.
   • Untuk f(x)=−3x2+2x+8{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}
     
     , a=−3{\displaystyle a=-3}
     
     sehingga parabola membuka ke bawah.
   • Untuk f(x)=x2+6{\displaystyle f(x)=x^{2}+6}
     
     , a=1{\displaystyle a=1}
     
     sehingga parabola membuka ke atas.
   • Jika parabola membuka ke atas, kita bisa mencari nilai minimum. Jika parabola membuka ke bawah, kita bisa mencari nilai maksimum.

3. 3

   Hitung -b/2a. Hasil dari −b2a{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}

   
   adalah nilai x{\displaystyle x} dari puncak parabola. Jika fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk umum ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
   
   , gunakan nilai koefisien x{\displaystyle x} dan x2{\displaystyle x^{2}} seperti berikut:
   • Untuk fungsi f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
     
     , a=1{\displaystyle a=1} dan b=10{\displaystyle b=10}
     
     . Oleh karena itu, koordinat-x dari titik puncak dapat dihitung sebagai berikut:
     • x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
       
     • x=−10(2)(1){\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
       
     • x=−102{\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}
       
     • x=−5{\displaystyle x=-5}
       
   • Pada contoh kedua, misalkan fungsinya adalah f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
     
     . Pada contoh ini, a=−3{\displaystyle a=-3} dan b=6{\displaystyle b=6}
     
     . Oleh karena itu, koordinat-x dari titik puncak dapat dihitung sebagai berikut:
     • x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
     • x=−6(2)(−3){\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
       
     • x=−6−6{\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
       
     • x=−(−1){\displaystyle x=-(-1)}
       
     • x=1{\displaystyle x=1}
       

4. 4

   Cari pasangan nilai f(x). Masukkan nilai x yang baru diperoleh ke dalam fungsi untuk mendapatkan nilai f(x). Hasilnya adalah nilai minimum atau maksimum fungsi.

   • Untuk contoh pertama, f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, koordinat-x dari titik puncak adalah x=−5{\displaystyle x=-5}. Masukkan −5{\displaystyle -5}
     
     ke dalam x{\displaystyle x} pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum:
     • f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
     • f(x)=(−5)2+10(−5)−1{\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
       
     • f(x)=25−50−1{\displaystyle f(x)=25-50-1}
       
     • f(x)=−26{\displaystyle f(x)=-26}
       
   • Untuk contoh kedua, f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, koordinat-x dari titik puncak adalah x=1{\displaystyle x=1}. Masukkan 1{\displaystyle 1}
     
     ke dalam x{\displaystyle x} pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum:
     • f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
     • f(x)=−3(1)2+6(1)−4{\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
       
     • f(x)=−3+6−4{\displaystyle f(x)=-3+6-4}
       
     • f(x)=−1{\displaystyle f(x)=-1}
       

5. 5

   Tuliskan hasil perhitungan. Tinjau kembali pertanyaan yang diajukan. Jika yang ditanya adalah koordinat titik puncak, jawablah dengan memberikan nilai x{\displaystyle x} dan y{\displaystyle y}

   
   (atau nilai f(x){\displaystyle f(x)}
   
   ). Jika yang ditanya hanya nilai maksimum atau minimum, jawaban yang diberikan cukup nilai y{\displaystyle y} (atau nilai f(x){\displaystyle f(x)}). Lihatlah kembali nilai koefisien a{\displaystyle a} untuk memastikan apakah fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum.
   • Untuk contoh pertama, f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, nilai a{\displaystyle a} positif, jadi fungsi memiliki nilai minimum. Titik puncaknya adalah (−5,−26){\displaystyle (-5,-26)}
     
     , dan nilai minimumnya adalah −26{\displaystyle -26}
     
     .
   • Untuk contoh kedua, f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, nilai a{\displaystyle a} negatif, jadi fungsi memiliki nilai maksimum. Titik puncaknya adalah (1,−1){\displaystyle (1,-1)}
     
     , dan nilai maksimumnya adalah −1{\displaystyle -1}
     
     .

   Iklan

1. 1

   Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk bentuk standar atau verteks. Bentuk baku dari fungsi kuadrat, yang juga disebut bentuk verteks, adalah seperti ini:[3]

   • f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}
   • Jika fungsi sudah berbentuk seperti ini sejak semula, cukup cari saja variabel a{\displaystyle a}, h{\displaystyle h}
     
     dan k{\displaystyle k}
     
     . Jika fungsi masih dalam bentuk umum f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, lakukan proses melengkapkan kuadrat untuk mengubahnya ke dalam bentuk verteks.
   • Untuk melihat kembali bagaimana cara melengkapkan kuadrat, lihat Melengkapkan-Kuadrat

2. 2

   Tentukan arah kurva. Seperti halnya pada fungsi kuadrat dalam bentuk umum, Anda bisa menentukan arah parabola dengan melihat koefisien a{\displaystyle a}. Bila nilai a{\displaystyle a} dalam bentuk baku positif, parabola membuka ke atas. Bila nilai a{\displaystyle a} negatif, parabola membuka ke bawah. Lihat contoh berikut ini:[4]

   • Untuk f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}
     
     , a=2{\displaystyle a=2}, artinya positif, jadi parabola membuka ke atas.
   • Untuk f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}
     
     , a=−3{\displaystyle a=-3}, artinya negatif, jadi parabola membuka ke bawah.
   • Jika parabola membuka ke atas, Anda bisa mencari nilai minimum. Jika parabola membuka ke bawah, Anda bisa mencari nilai maksimum.

3. 3

   Tentukan nilai maksimum atau minimum. Ketika fungsi ditulis dalam bentuk baku, nilai minimum dan maksimum dapat ditentukan hanya dengan melihat nilai variabel k{\displaystyle k}. Untuk kedua contoh di atas, nilainya adalah:

   • Untuk f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}, k=−4{\displaystyle k=-4}
     
     . Nilai ini adalah nilai minimum fungsi karena parabola membuka ke atas.
   • Untuk f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}, k=2{\displaystyle k=2}
     
     . Nilai ini adalah nilai maksimum fungsi karena parabola membuka ke bawah.

4. 4

   Cari titik puncak. Jika yang ditanya adalah koordinat titik minimum atau maksimum, koordinatnya adalah (h,k){\displaystyle (h,k)}

   
   . Namun ingatlah selalu bahwa di dalam bentuk standar, suku di dalam kurung adalah (x−h){\displaystyle (x-h)}
   
   , jadi selalu baliklah tanda pada angka setelah x{\displaystyle x}.
   • Untuk f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}, suku di dalam kurung adalah (x+1), yang bisa ditulis ulang menjadi (x-(-1)). Jadi, h=−1{\displaystyle h=-1}
     
     . Oleh karena itu, koordinat titik puncak fungsi ini adalah (−1,−4){\displaystyle (-1,-4)}
     
     .
   • Untuk f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}, suku di dalam kurang adalah (x-2). Jadi, h=2{\displaystyle h=2}
     
     . Koordinat titik puncaknya adalah (2,2).

   Iklan

1. 1

   Mulailah dengan bentuk umum. Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk umum, f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Jika perlu, gabungkan suku yang sama untuk memperoleh bentuk yang diinginkan.[5]

   • Mulailah dengan contoh fungsi f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}
     
     .

2. 2

   Gunakan aturan turunan untuk mencari turunan pertama. Dengan menggunakan kalkulus sederhana, turunan pertama dari fungsi kuadrat ini adalah f′(x)=2ax+b{\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b}

   
   .[6]
   • Untuk contoh fungsi f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, turunannya adalah sebagai berikut:
     • f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}
       

3. 3

   Buat nilai turunan menjadi nol. Ingatlah bahwa turunan sebuah fungsi adalah gradien fungsi tersebut pada titik yang dipilih. Fungsi akan mencapai titik minimum atau maksimum saat gradiennya sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik minimum atau maksimum, buat turunannya menjadi nol. Lanjutkan untuk contoh di atas:[7]

   • f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}
   • 0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4}
     

4. 4

   Cari nilai x. Gunakan aturan dasar aljabar untuk menyelesaikan persamaan dan mencari nilai x, saat turunannya sama dengan nol. Hasil dari perhitungan ini adalah koordinat-x dari titik puncak fungsi, tempat nilai maksimum atau minimum berada.[8]

   • 0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4}
   • 4=4x{\displaystyle 4=4x}
     
   • 1=x{\displaystyle 1=x}
     

5. 5

   Masukkan nilai x ke dalam fungsi semula. Nilai minimum atau maksimum dari fungsi adalah nilai dari f(x){\displaystyle f(x)} dari posisi x{\displaystyle x} yang telah dicari. Masukkan nilai x{\displaystyle x} yang diperoleh ke dalam fungsi semula dan dapatkan nilai minimum atau maksimum.[9]

   • Untuk fungsi f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} pada x=1{\displaystyle x=1},
     • f(1)=2(1)2−4(1)+1{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1}
       
     • f(1)=2−4+1{\displaystyle f(1)=2-4+1}
       
     • f(1)=−1{\displaystyle f(1)=-1}
       

6. 6

   Tuliskan jawaban. Jawabannya adalah titik puncak maksimum atau minimum. Pada fungsi contoh, f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, titik puncaknya adalah koordinat (1,−1){\displaystyle (1,-1)}. Koefisien a{\displaystyle a} positif. Jadi, fungsinya membuka ke atas. Oleh karena itu, nilai minimum fungsi tersebut adalah koordinat-y dari titik puncak, yaitu −1{\displaystyle -1}.[10]

   Iklan

• Sumbu simetri dari parabola adalah x=h.

Iklan

1. ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm