Show
Berikut ini merupakan pembahasan tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang meliputi sistem persamaan linear dua variabel, spldv, menyelesaiakan sistem persamaan linear dua variabel dengan grafik, persamaan linear dua variabel metode grafik, subsitusi, eliminasi dan campuran. Sistem Persamaan Linear Dua VariabelDalam persamaan linear dua variabel kalian akan mene mukan himpunan penyelesaian yang berupa pasangan berurutan. Apabila terdapat dua buah persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan lainnya tidak terpisahkan, maka persamaan-persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah: ax + by = c px + qy = r Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) di atas, a, b, p, dan q disebut koefisien, x dan y adalah variabel dari SPLDV, serta c dan r disebut konstanta. Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dinamakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Semua variabel, koefisien dan konstanta dalam SPLDV merupakan bilangan real. Pertanyaan kita sekarang adalah bagaimana cara untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel?
1. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode GrafikKetika menggunakan metode grafik, kalian harus menggambar masing-masing persamaan linear dua variabel tersebut dalam koordinat kartesius. Himpunan penyelesaiannya adalah titik potong dari kedua garis. Jika garisnya tidak berpotongan atau sejajar maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Namun demikian, jika garisnya berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga. Contoh Soal dan Pembahasannya1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – y = 2 dan x + y = 4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)
 Titik potong kedua garis adalah (2, 2). Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (2, 2). 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = 2 dan 2x – 2y = –4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real)
Kedua garis ternyata sejajar, sehingga tidak ada titik potong. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong { }. 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – y = –2 dan 2x – 2y = –4 dengan menggunakan metode grafik! (x dan y himpunan bilangan real) Penyelesaian:
Kedua garis ternyata berimpit. Maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut tak berhingga banyaknya. 2. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode SubtitusiSetelah kita belajar cara menentukan himpunan penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik, sekarang kita akan mempelajari cara menentukan himpunan penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi. Langkah-langkah pengerjaan dengan menggunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian dari SPLDV adalah sebagai berikut.
Contoh Soal dan PembahasannyaTentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 4; x,y Î R dan –x + 2y = –7; x,y Î R menggunakan metode substitusi! Penyelesaian: Langkah 1 (mengubah ke dalam bentuk x = … atau y = …) Langkah 2 (substitusi y = 4 – 2x ke persamaan –x + 2y = –7)
Langkah 3 (substitusi x = 3 ke 2x + y = 4 atau –x + 2y = –7)
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 4; x,y Î R dan –x + 2y = 7; x, y Î R adalah {(3, -2)}. 3. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode EliminasiPenyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi pada dasarnya adalah menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan yang akan dicari himpunan penyelesaiannya. Caranya dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua sistem persamaan tersebut. Untuk menentukan variabel y, maka hilangkan terlebih dahulu variabel x. Begitu pula sebaliknya, untuk menentukan variabel x, maka hilangkan terlebih dahulu variabel y. Sebagai catatan, untuk menghilangkan variabel x atau y maka koefisien dari masing-masing variabel dalam sistem persamaan haruslah sama. Jika salah satunya tidak sama maka harus disamakan dahulu. Caranya mengalikan dengan bilangan bulat tertentu sehingga koefisiennya menjadi sama. Perhatikan contoh berikut! Contoh Soal dan PembahasannyaTentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – y = –2; x,y Î R dan x + 2y = 4; x,y Î R dengan menggunakan metode elimi nasi! Penyelesaian:
• Mengeliminasi variabel y (untuk mencari x)
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(0, 2)}. 4. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)Dalam pengerjaan soal persamaan linear dua variabel, terkadang kita menemukan kesulitan jika menggunakan metoda eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode campuran, yaitu menentukan salah satu variabel x atau y dengan menggunakan metode eliminasi. Hasil yang diperoleh dari x atau y kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linear dua variabel tersebut. Perhatikan contoh berikut ini! Contoh Soal dan PembahasannyaTentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 7; x,y∈R dan 2x + 3y = 10; x,y∈R menggunakan metode campur an! Penyelesaian:
• Substitusi y = 4 ke persamaan 2x + 3y = 10
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(-1, 4)}. Baca juga: Soal Cerita Persamaan Linear
Sistem persamaan linear dua variabel adalah beberapa bentuk persamaan yang terdiri dari dua variabel (PLDV) dan saling berkaitan dalam sistem linear untuk mengubah suatu pernyataan matematis ke bentuk persamaan sederhana. Sistem ini sering disebut dengan SPLDV atau dalam bahasa inggris "System of Linear Equations in Two Variables". Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan peningkatan dari sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks. Minimal terdapat 2 bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) untuk membentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) sebagai teknik pemecahan kasus matematika. Sebelum mempelajari SPLDV, dibutuhkan pemahaman materi terkait SPLSV. Artikel terkait: Sistem Persamaan Linear Satu Variabel (SPLSV) Navigasi Cepat: A1. Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel dalam SPLDVBeberapa persamaan linear dua variabel (PLDV) yang saling berkaitan membentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yang dapat digunakan sebagai teknik pemecahan suatu kasus matematika. Berikut bentuk umum dan ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel. ax + by + c = 0dengan:
Catatan: Bentuk umum suatu fungsi persamaan adalah ekuivalen dengan 0 atau "Zero of Function". Pemahaman ini akan digunakan di tingkat pembelajaran yang lebih tinggi. A2. Contoh Bentuk Umum PLDV dan Elemen PembentuknyaBerikut contoh persamaan linear dua variabel (PLDV) dan elemen pembentuknya. Alasan: Persamaan "2x + 3y + 8 = 7" merupakan bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) karena mempunyai dua variabel yaitu x dan y. B. Cara Penyelesaian SPLDV dan Contoh SoalTerdapat 3 cara untuk penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yaitu dengan metode substitusi, eliminasi, dan campuran. Metode substitusi adalah metode yang digunakan untuk penyelesaian bentuk aljabar dengan menggabungkan persamaan-persamaan yang telah diketahui menjadi suatu kesatuan. Dalam penyelesaian SPLDV diperlukan minimal 2 persamaan untuk menemukan solusi masing-masing variabel. Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode SubstitusiTentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut menggunakan metode substitusi 2x + 4y = 28 ... (i) 3x + 2y = 22 ... (ii)Penyelesaian: 1# Memilih salah satu persamaan yang akan dipindahkan salah satu variabel-nya Hal pertama yang dilakukan saat menggunakan metode substitusi yaitu memilih salah satu persamaan untuk dipindahkan elemen-nya. Disarankan memilih persamaan yang paling mudah, sehingga tidak menghasilkan angka desimal saat langkah berikutnya. Untuk beberapa kasus setiap persamaan mungkin mempunyai tingkat kesulitan yang sama, yaitu sama-sama menghasilkan angka desimal. Jadi, pemilihan persamaan bersifat bebas dan relatif. Misalnya dipilih persamaan (i) yaitu 2x + 4y = 28 2# Memindahkan salah satu variabel pada persamaan yang dipilih Misalnya, dipilih variabel y untuk dipindahkan ke ruas kanan, 2x + 4y = 28 ... (i) ⇔ 2x = 28 - 4y Karena, dipilih variabel y untuk dipindahkan, sehingga diperoleh bentuk solusi untuk variabel x, yaitu menghilangkan koefisien x dengan membagi masing-masing ruas dengan nilai koefisien x, 2x = 28 - 4y 2 2 ⇔ x = 14 - 2y ... (iii) Sehingga ditemukan persamaan (iii) bentuk solusi dari variabel x 3# Menggabungkan persamaan (iii) pada persamaan yang tidak dipilih di awal (ii) untuk menghitung solusi numerik variabel lainnya 3x + 2y = 22 ... (ii) Karena diperoleh bentuk solusi x pada persamaan (iii), x = 14 - 2y ... (iii) Selanjutnya gabungkan dengan cara mengganti variabel x sebagai bentuk solusinya pada persamaan (ii), 3 x + 2y = 22 ⇔ 3 (14 - 2y) + 2y = 22 ⇔ 42 - 6y + 2y = 22 ⇔ 42 - 4y = 22 ⇔ -4y = 22 - 42 ⇔ -4y = -20 ⇔ -4y = -20 -4 -4 ⇔ y = 5 Sehingga, diperoleh solusi variabel y = 5 4# Menghitung solusi numerik variabel lain Karena sudah ditemukan solusi variabel y = 5, dapat dihitung dengan menggabungkan y = 5 pada bentuk solusi x pada persamaan (iii) x = 14 - 2y ... (iii) ⇔ x = 14 - 2(5) ⇔ x = 14 - 10 ⇔ x = 4 Sehingga, diperoleh solusi variabel x = 4Jawaban: Solusi SPLDV tersebut adalah x = 4 dan y = 5 Untuk memastikan jawaban tersebut benar, perlu diuji dengan memasukkan nilai x = 4 dan y = 5 pada soal 2x + 4y = 28 ... (i) 2(4) + 4(5) = 28 8 + 20 = 28 (Benar) 3x + 2y = 22 ... (ii) 3(4) + 2(5) = 22 12 + 10 = 22 (Benar)B2. Metode Eliminasi (Menghilangkan)Metode eliminasi adalah metode yang digunakan untuk penyelesaian bentuk aljabar dengan menghilangkan salah satu variabel untuk menentukan solusi variabel lainnya. Dalam penyelesaian SPLDV diperlukan minimal 2 persamaan untuk menemukan solusi masing-masing variabel. Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode EliminasiTentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut menggunakan metode eliminasi x + 2y = 20 2x + 3y = 33Penyelesaian: 1# Menghitung solusi variabel x Untuk menghitung solusi variabel x menggunakan metode eliminasi, diperlukan menghilangkan variabel y pada masing-masing persamaan. x + 2y = 20 2x + 3y = 33 _ Koefisien variabel y pada masing-masing persamaan adalah 2 dan 3 Hitung KPK dari 2 dan 32y → 2, 4, 6, 8, ... 3y → 3, 6, 9, ... KPK 2 dan 3 adalah 6, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 6 2 → 6 : 2 = x3 3 → 6 : 3 = x2 Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali x + 2y = 20 | x3 2x + 3y = 33 _ | x2 Diperoleh: 3x + 6y = 60 4x + 6y = 66 _ -x = -6 x = 6 Mengapa ini terjadi? -x = -6 -1 -1Ingat, bentuk pecahan sama dengan operasi pembagian-1x : -1 = 1x = x-6 : -1 = 6#Tips Negatif : Negatif = PositifDiperoleh x = 6 Sehingga diperoleh solusi variabel x = 6 Baca juga: Cara menghitung KPK dan FPB 2# Menghitung solusi variabel y Untuk menghitung solusi variabel y menggunakan metode eliminasi, diperlukan menghilangkan variabel x pada masing-masing persamaan. x + 2y = 202x + 3y = 33 _ Koefisien variabel x pada masing-masing persamaan adalah 1 dan 2 Hitung KPK dari 1 dan 2 x → 1, 2, 3, ... 2x → 2, 4, 6, ... KPK 1 dan 2 adalah 2, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 2 1 → 2 : 1 = x2 2 → 2 : 2 = x1Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali x + 2y = 20 | x22x + 3y = 33 _ | x1 Diperoleh:2x + 4y = 402x + 3y = 33 _ y = 7Sehingga diperoleh solusi variabel y = 7 Jawaban: Solusi SPLDV tersebut adalah x = 6 dan y = 7 Untuk memastikan jawaban tersebut benar, perlu diuji dengan memasukkan nilai x = 6 dan y = 7 pada soalx + 2y = 20 (6) + 2(7) = 206 + 14 = 20 (Benar) 2x + 3y = 332(6) + 3(7) = 3312 + 21 = 33 (Benar) B3. Metode Campuran (Hybrid Eliminasi dan Substitusi)Metode campuran adalah metode hybrid (gabungan) dari metode eliminasi dan metode substitusi untuk mencari solusi persamaan bentuk aljabar. Metode campuran merupakan alternatif untuk menghasilkan perhitungan yang lebih cepat. Cara kerja metode ini yaitu melakukan eliminasi untuk mencari solusi suatu variabel, lalu melakukan substitusi variabel yang telah ditemukan untuk menghitung variabel berikutnya. Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode CampuranTentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut menggunakan metode campuran 2x + 3y = 85x + 7y = 19 Penyelesaian: #1 Langkah Eliminasi Misalnya langkah pertama mencari solusi variabel x dengan eliminasi variabel y pada masing-masing persamaan 2x + 3y = 85x + 7y = 19 _ Koefisien variabel y pada masing-masing persamaan adalah 3 dan 7 Hitung KPK dari 3 dan 7 3y → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ... 7y → 7, 14, 21, 28, ... KPK 3 dan 7 adalah 21, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 213 → 21 : 3 = x7 7 → 21 : 7 = x3Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali 2x + 3y = 8 | x75x + 7y = 19 _ | x3 Diperoleh:14x + 21y = 5615x + 21y = 57 _ -x = -1 x = 1Sehingga ditemukan solusi variabel x = 1 #2 Langkah Substitusi Karena solusi variabel x telah ditemukan, dilanjutkan dengan substitusi ke salah satu persamaan pada soal (bebas). dengan substitusi x = 1 diperoleh, Sehingga ditemukan solusi variabel y = 2 Jawaban: Solusi SPLDV tersebut adalah x = 1 dan y = 2 Untuk memastikan jawaban tersebut benar, perlu diuji dengan memasukkan nilai x = 1 dan y = 2 pada soal2x + 3y = 82(1) + 3(2) = 82 + 6 = 8 (Benar) 5x + 7y = 195(1) + 7(2) = 195 + 14 = 19 (Benar) C. Contoh Soal Cerita SPLDVAndi and Budi membeli alat-alat tulis di sebuah toko. Andi membeli 2 buku dan 3 pulpen dengan harga Rp 17.000,- dan Budi membeli 1 buku dan 10 pulpen dengan harga Rp 34.000,- Berapakah harga sebuah buku dan sebuah pulpen? Penyelesaian: Dari soal di atas dapat dibentuk persamaan SPLDV, sebagai berikut. Dengan mendefinisikan:Buku sebagai variabel xPulpen sebagai variabel yDapat dibentuk SPLDV berikut, 2 Buku + 3 Pulpen = Rp 17.000,-1 Buku + 10 Pulpen = Rp 34.000,-2x + 3y = 17.000 x + 10y = 34.000 Untuk mempermudah penyelesaian, akan digunakan metode campuran #1 Langkah Eliminasi Pada langkah ini dihitung solusi x dengan eliminasi variabel y2x + 3y = 17.000 x + 10y = 34.000 Koefisien variabel y pada masing-masing persamaan adalah 3 dan 10 Hitung KPK dari 3 dan 10 3y → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ... 10y → 10, 20, 30, 40, ... KPK 3 dan 10 adalah 30, hitung pengali masing-masing koefisien sehingga menghasilkan nilai 30 3 → 30 : 3 = x10 10 → 30 : 10 = x3Kemudian, lakukan eliminasi dengan menggunakan nilai masing-masing pengali 2x + 3y = 17.000 |x10x + 10y = 34.000 _ | x3 Diperoleh:20x + 30y = 170.0003x + 30y = 102.000 _ 17x = 68.00017x = 68.000 17 17x = 4.000Diperoleh, harga sebuah buku adalah Rp 4.000,- #2 Langkah Substitusi Karena harga buku telah diketahui melalui solusi variabel x = 4000, selanjutnya dihitung harga pulpen dengan metode substitusi x = 4.000Pulpen direpresentasikan oleh variabel ySehingga substitusi nilai x ke salah satu persamaan soal untuk mencari solusi numerik y 2x + 3y = 17.000⇔ 2(4.000) + 3y = 17.000⇔ 3y = 17.000 - 8.000⇔ 3y = 9.000 ⇔ 3y = 9.000 3 3⇔ y = 3.000Diperoleh, harga sebuah pulpen adalah Rp 3.000,- Jawaban: Harga buku adalah Rp 4.000,- dan harga pulpen adalah Rp 3.000,- Baca juga: Daftar Isi Pelajaran Matematika Sekian artikel "SPLDV dan Contoh Soalnya". Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih ... |
Penyelesaian SPLDV dengan cara memasukkan salah satu variabel yang sudah diketahui disebut
Pos Terkait
Copyright © 2024 apacode Inc.
