Perhatikan segitiga siku-siku tersebut manakah yang merupakan perbandingan cos β

Trigonometri, adalah pengetahuan yang akan kamu ketahui ketika belajar matematika di SMA. Trigonometri merupakan suatu cabang ilmu matematika yang akan mempelajari mengenai sudut, sisi, dan juga perbandingan antara sudut terhadap sisi. Di dalam trigonometri, kita akan mengenal yang namanya Sinus dan Cosinus. Keduanya memiliki aturan khusus, yaitu aturan sinus dan cosinus. Aturan ini adalah sebuah aturan perhitungan matematika yang digunakan untuk perhitungan segitiga. Aturan ini hadir dengan tujuan memudahkan kamu menghitung sebuah segitiga.

Nah, kali ini kita akan membahas aturan sinus dan cosinus secara lebih lanjut.

Aturan Sinus dan Cosinus

Sebuah, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut adalah 180°. Untuk segitiga siku-siku, Hanya dibutuhkan 1 sisi dan 1 sudut (tidak termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui. Kita dapat mengetahui perbandingan dari panjang sisi dengan sudut pada segitiga, dan juga menghitung luas segitiga menggunakan prinsip trigonometri.

Untuk menghitung dengan prinsip trigonometri kita akan membutuhkan aturan sinus dan cosinus. Aturan inilah yang akan bisa membantu kita menyelesaikan perhitungan dengan prinsip trigonometri.

Yang pertama kita bahas adalah aturan sinus.

Sinus

Aturan sinus adalah perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.

Keterangan

• A = besar sudut dihadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut dihadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut dihadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Pada segitiga ACR

Sin A = CR/b maka CR = b sin A …(1)

Pada segitiga BCR

Sin B = CR/a maka CR = a sin B …. (2)

Pada segitiga ABP

Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3)

Pada segitiga APC

Sin C = AP/b maka AP = b sin C …(4)

Lalu, berdasarkan persamaan (1) dan (2) akan didapatkan:

CR = b sin A , dan CR = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)

Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat

AP = c sin B , dan AP = b sin C maka b/sin B= C/sin C…(6)

Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Persamaan ini yang Akan disebut sebagai aturan sinus.

Cosinus

Aturan cosinus akan menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.

Keterangan

• A = besar sudut dihadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut dihadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut dihadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Perhatikan segitiga BCR

Sin B =  CR/a maka CR = a sin B

Cos B = BR/a maka BR = a cos B

AR = AB – BR = c – a cos B

Perhatikan segitiga ACR

b2 = AR2 + CR2

b2 = (c – a cos B)2 + (a sin B)2

b2= c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B

b2 = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)

b2= c2 + a2 – 2ac cos B

Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut

a2 = c2 + b2 – 2bc cos A

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

c2 = a2+ b2 – 2ab cos C

Nah itu dia aturan sinus dan cosinus yang bisa kamu ikuti untuk mengerjakan soal-soal mengenai trigonometri. Apakah kamu memiliki pertanyaan seputar hal ini?  Jika ada, kamu bisa menuliskannya di kolom komentar. Dan jangan lupa untuk memberikan pengetahuan ini ke orang banyak!

Kalau belajar matematika, pasti pernah mendengar ataupun belajar yang namanya trigonometri. Nah, trigonometri ini adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara besar sudut dan panjang sisi segitiga, contohnya seperti sinus, cosinus, dan tangen. Kalau diartikan secara harfiah, trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon yang memiliki arti “tiga sudut” dan metron, artinya “mengukur”. Sama halnya dengan berbagai materi yang ada di dalam matematika, ada rumus trigonometri yang perlu kamu ketahui.

Dalam kesempatan kali ini, kita akan coba memahami berbagai macam rumus dan juga contoh-contoh soalnya.

Rumus-Rumus Trigonometri

Konsep trigonometri merupakan konsep penting dalam segitiga. Nilai-nilai trigonometri dirumuskan berdasarkan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Terdapat enam nilai perbandingan trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cot). Keenam jenis nilai trigonometri ini dapat ditentukan dengan perbandingan panjang sisi dengan aturan tertentu.

Kegunaan trigonometri ini banyak, mulai dari astronomi, geografi, teori musik, akustik, optik analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis, farmasi, kimia, dan masih banyak lagi.

Nah, kini saatnya kita mengenal berbagai rumus trigonometri yang ada dalam pelajaran ini.

Sumber Gambar: idschool.net

Berdasarkan letaknya terhadap sudut, sisi-sisi segitiga siku – siku dibagi menjadi tiga jenis, yaitu sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Sisi depan adalah sisi yang berada di hadapan sudut. Sisi samping berada pada samping sudut. Sisi miring letaknya selalu di hadapan sudut 90o.

Nah, tiga fungsi trigonometri yang utama adalah fungsi sin, cos, dan tan. Definisi ketiga fungsi tersebut berdasarkan sisi dan sudut pada segitiga siku-siku dapat dilihat pada gambar dan persamaan di bawah ini.

Nah, khusus untuk sudut istimewa, nilai-nilai trigonometrinya sebagai berikut:

Sumber Gambar: madematika.net

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Perbandingan trigonometri sudut berelasi adalah perluasan dari nilai trigonometri dasar yang ditentukan dari sudut segitiga siku-siku. Besar sudut segitiga siku-siku hanya terletak pada kuadran I karena termasuk sudut lancip yang ukurannya 0° − 90°.

Sudut pusat lingkaran memiliki besar antara 0° – 360°. Sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

Sumber Gambar: studiobelajar.com

• Kuadran 1 memiliki sudut yang besarnya antara 0° – 90°. Semua nilai perbandingan trigonometri positif dalam kuadran ini.
• Kuadran 2 memiliki sudut yang besarnya antara 90° – 180°. Dalam kuadran ini, hanya nilai sinus dan cosecan yang positif.
• Kuadran 3 memiliki sudut yang besarnya antara 180° – 270°. Dalam kuadran ini, hanya tangen dan cotangen yang positif.
• Kuadran 4 memiliki sudut yang besarnya antara 270° – 360°. Dalam kuadran ini, hanya cosinus dan secan yang positif.

Identitas Trigonometri

Teorema phytagoras, yaitu a2 + b2 = c2 merupakan dasar penyusunan identitas trigonometri. Identitas trigonometri menyatakan hubungan dari suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya.

Jumlah dari sinus kuadrat dan cosinus kuadrat sama dengan satu. Jika kedua ruas dibagi dengan cosinus kuadrat dapat diperoleh satu ditambah tangen kuadrat sama dengan secan kuadrat. Begitu juga jika kedua ruas dibagi dengan sinus kuadrat, dapat diperoleh satu ditambah cotangen kuadrat sama dengan cosecan kuadrat.

Berikut rumus identitasnya:

Sumber Gambar: wikipedia.org

Berbagai Rumus Lainnya

Ada lagi rumus yang harus kamu ketahui, yaitu:

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut:

Rumus Perkalian Trigonometri:

Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri:

Contoh Soal Trigonometri

Tentukan nilai dari 2 cos 75° cos 15°:

Solusi :

Berdasarkan informasi dalam soal, dapat kita ketahui bahwa soal di atas termasuk perkalian trigonometri. Gunakan rumus perkalian cos yang ada pada uraian di atas yaitu 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B).

Jawaban :

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°

= cos 90° + cos 60°

= 0 + ½

= ½

Itu dia kumpulan rumus dan soal-soal trigonometri yang bisa kamu pelajari dan pahami. Untuk bisa lebih memahaminya, kamu bisa cobain SOAL, solusi latihan soal online yang berbobot, lengkap, dan sesuai kurikulum terbaru di Kelas Pintar. Mulai dari tingkat SD, SMP hingga SMA dengan berbagai mata pelajaran seperti Matematika, Fisika, Kimia dan lainnya. Di sini kamu bisa belajar berbagai macam rumus lengkap dengan contoh soalnya,

Yuk tunggu apa lagi! Ayo cobain latihan SOAL di Kelas Pintar sekarang juga.