Usia ayah tidak lebih dari 3 kali usia Arman apabila ayah berusia 45 tahun berapakah usia Arman

Modul Matematika – PKBM Eagle School BENTUK ALJABAR Aljabar merupakan salah topik terpenting dan fundamental dalam matematika. Kata ‘aljabar’ diambil dari nama seorang matematikawan bangsa Arab yang bernama Al-Jabir. Dalam aljabar, kita mempelajari tentang operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, atau penarikan akar yang melibatkan bentuk aljabar, serta menggunakan sifat-sifat operasi tersebut dalam melakukan manipulasi matematika atau menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan aljabar. Seringkali kita menggunakan huruf atau simbol untuk menyatakan besaran-besaran dalam pengerjaan hitung, misalnya luas segitiga dengan alas a dan tinggi t, diberikan oleh rumus : Luas segitiga = ½ × alas × tinggi L = ½ × a × t t L = ½ at A Pada rumus tersebut, L, a, dan t merupakan besaran yang nilainya tak tertentu (belum diketahui, atau belum diberikan) dan disebut dengan variabel atau peubah. Apabila nilainya sudah tertentu atau sudah ditetapkan disebut konstata. Dengan rumus tersebut, kita bisa menghitung L untuk berbagai nilai a dan t. 1. Jika a = 2 dan t = 3, maka L = ½ × a × t L=½×2×3=1×3=3 2. Jika a = 10 dan t = 10, maka L = ½ × a × t L=½×10×10=5×10=50 Bilangan atau simbol dalam bentuk aljabar yang dipisah oleh operasi + atau -, disebut suku. Bilangan yang terdapat dalam suku yang memuat variabel disebut koefisien. Suku yang berupa bilangan disebut konstata. Contoh: No Bentuk Aljabar Suku Konstata Koefisien 1 3 + e 3 dan e 3 - 2 5 - pq 5 dan pq 5 - 3 a3 + 3x/y - 5/c a3, 3x/y, dan 5/c - 3 dan 5 4 y2 - 3y + ½x y2, 3y, dan ½x - 3 dan ½ H a l a m a n | 1Indahnya Keberagaman Latihan 1 1. Bagaimana nilai 1/m apabila m membesar atau mengecil? 2. Bagaimana nilai -1/n apabila n membesar atau mengecil? 3. Jelaskan mengapa pembagian dengan nol tidak didefinisikan (Petunjuk: misalkanlah dulu bahwa hasilbaginya ada, kemudian tunjukkan akan menimbulkan pertentangan) 4. Hitunglah nilai bentuk aljabar berikut, untuk nilai yang diberikan : 2 a. 7a + 3a – 2a , untuk a = -2 3 b. - , untuk d = 3 c. ( ) ( ) , untuk x = -3 d. , untuk y = 3 dan n = 5. Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk aljabar a. Luas A dari sebuah trapesium adalah sama dengan setengah dari hasilkali tinggi h dan jumlah alas b 1 dan b2. b. Temperatur skala Kelvin K adalah sama dengan temperatur skala Celcius C ditambah dua ratus tujuh puluh tiga 6. Belanja. Bentuk aljabar 2F – 12, kadang-kadang digunakan untuk menaksir ukuran sepatu seseorang, di mana F panjang kaki dalam cm. Berapakah ukuran sepatu seseorang yang memiliki panjang kaki 27 cm? Ukurlah panjang kaki Anda dan selidiki apakah bentuk tersebut memberikan rumus yang sesuai untuk ukuran sepatumu. 7. Dunia usaha. Sebuah perusahaan menghitung ongkos produksi dengan menggunakan bentuk aljabar an + b, di mana a adalah biaya pembuatan per satuan produk, n jumlah produk, dan b biaya tetap. Biaya pembuatan sepatu adalah 31 ribu rupiah per satuan, berapakah ongkos produksi keseluruhan untuk membuat 11000 sepatu apabila biaya tetapnya 55 juta rupiah? 8. Sistem komputer. K adalah huruf yang dipakai untuk menyatakan 1024 lokasi alamat memori. Berapa banyak lokasi alamat memori dari sebuah komputer yang memiliki 256K memori? 9. Sebuah perusahaan menghitung keuntungan (P) dengan rumus P = ax – C di mana a harga barang per unit, x jumlah barang terjual dan C ongkos produksi. Tentukan keuntungan dari penjualan 25 barang dengan harga 25.000 rupiah per unit apabila ongkos produksi 500.000 rupiah 10. Luas permukaan bola (L) diberikan oleh rumus L = 4πr2 di mana r jari-jari bola Tentukan luas permukaan globe berbentuk bola dengan jari-jari 10 cm. (ambil π = 3.14) Apabila untuk mengecat permukaan globe tersebut dibutuhkan 10 gram per cm2, berapa gram cat yang harus disediakan? 11. Tinggi peluru (h) yang ditembakkan vertikal ke atas diberikan oleh rumus h = v0t – 5t2 di mana v0 kecepatan awal peluru dan t waktu setelah ditembakkan a. Apabila kecepatan awal peluru 300 m/detik, tentukan tinggi peluru setelah 5 detik ditembakkan b. Tinggi peluru setelah 6 detik ditembakkan adalah 1.92 km, tentukan kecepatan awal peluru 12. Nyatakan yang berikut ke dalam bentuk aljabar dan carilah bilangan yang dimaksudkan a. Selisih kuadrat dua bilangan bulat berturutan adalah 7 b. Selish kuadrat dua bilangan bulat berturutan adalah 5 c. Selisih kuadrat dua bilangan ganjil berturutan adalah 24 2 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School MENGENAL FAKTOR DARI BENTUK ALJABAR Faktor dari suatu bentuk aljabar adalah bilangan, variabel, konstata, suku, atau bentuk alajabar lainnya, yang membagi habis bentuk aljabar tersebut. Perhatikan bahwa setiap bentuk aljabar memiliki minimal 2 faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contoh: No Bentuk Aljabar Faktor 1 3mn 3, m, n, 1, dan 3mn 2 2 3a(a + 1) 3, a, a2 + 1, 3a, 1, dan 3a(a + 1) 2 2 2 3 a + ab a, a + b, 1, dan a + ab 2 2 4 a b + ab a, b, ab, a + 1, 1, dan a b + ab Latihan 1 1. Tentukan semua faktor dari bentuk aljabar berikut a. 3a + b 2 b. 7a + 15a + 51a 3 c. 3ab + b d. ab – 3a e. ab – 3a 2. Tentukan 3 buah bentuk aljabar yang memiliki faktor-faktor a. a. 3, a, b+a, dan x 2 b. b. x , x, x + 1, dan x + 3 3. Perhatikan barisan bentuk aljabar berikut. 1, 1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x, 1 + 4x, … a. Dengan memperhatikan lima suku pertama dari barisan tersebut, bagaimana cara mendapatkan suku keenam. b. Tentukan suku ke-13, dari barisan tersebut. Tuliskan rumus untuk suku ke-n c. Tuliskan lima barisan yang pertama apabila x = 1,5. 4. Perhatikan barisan bentuk aljabar berikut. 1, 1 + x, 1 + 2x + x2, 1 + 3x + 3x2 + x3, …. a. Dengan memperhatikan empat suku pertama dari barisan tersebut, bagaimana cara mendapatkan suku kelima. b. Tentukan suku ke-9, dari barisan tersebut. Tuliskan rumus untuk suku ke-n c. Tuliskan lima barisan yang pertama apabila x = 3. 5. Tuliskan yang berikut ke dalam bentuk aljabar dan tentukan faktor-faktornya a. Hasilkali dua bilangan b. Hasilkali dua bilangan ditambah salah satu dari bilangan tersebut c. Hasilbagi dua bilangan ditambah salah satu dari bilangan tersebut H a l a m a n | 3Indahnya Keberagaman MENGENAL SUKU SEJENIS Dalam bentuk aljabar, suku-suku yang sejenis adalah suku-suku yang hanya berbeda pada koefisiennya. Contoh: NO BENTUK ALJABAR SUKU SEJENIS PENJELASAN 1 -3p + 5p + b -3p dan 5p 5p dan b tidak sejenis 2 2 -3rb + 7rb + r b -3rb dan 7rb -3rb dan r b tidak sejenis karena yang satu 2 mengandung kuadrat 3 x/y + 5x/y - y/x x/y dan 5x/y 5x/y dan y/x tidak sejenis Sifat-sifat operasi hitung yang telah kita kenal adalah • a + b = b + a (sifat komutatif/pertukaran) • ab = ba (sifat komutatif/pertukaran) • (a + b) + c = a + (b + c) (sifat asosiatif) • (ab)c = a(bc) (sifat asosiatif) • a (b + c) = ab + ac (sifat distributif/penyebaran) Dalam banyak penggunaan, sifat-sifat operasi hitung akan banyak digunakan dalam manipulasi atau penyederhanaan bentuk aljabar. Contoh: 1. -3a + 4a + b = (-3 + 4)a + b = 1a + b = a + b 2 2. -3ab + 7ab + a b = (-3 + 7)ab + a b = 4ab + a b = ab(4 + a) 2 2 3. x/y + 4x/y - y/x = (1 + 4)x/y - y/x = 5x/y - y/x 2 4. n + nb = n(n + b) 2 5. p b + pb = pb(p + 1) 6. = ( ) = pq di sini variable p ≠ - 1 Latihan 1 1. Nyatakan apakah pasangan suku-suku berikut sejenis atau tidak a. a dan ab b. a dan – 3a c. ab dan ab 2 d. ab dan – ab 2 2 4 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School 2. Sederhanakan bentuk aljabar berikut a. 3a – 5b + 7a +7b – 1 b. 5pb + 13p2b – pb + 1 c. (3x + 1)xy + x(3x – 1) +7 d. p(a + 1) – q(a + 1) e. f. g. ( ) 2 3 3. Sebuah suku apabila dibagi dengan ab, hasilnya sejenis dengan suku 8a b . Apabila dibagi dengan a, hasilnya 3b . Tentukan suku tersebut. 2 4. Hasil kali dua bilangan ditambah selisihnya adalah 13. Apabila salah satu bilangan adalah 4, tentukan bilangan lainnya MELAKUKAN OPERASI PERKALIAN BENTUK ALJABAR Salah satu penggunaan sifat-sifat operasi hitung (terutama sifat distributif) adalah dalam penger-jaan hitung atau penguraian bentuk aljabar. Contoh: 1. p(r + s - t) = pr + ps - pt 2. (x - y)(p + q) = (x - y)p + (x - y)q = xp - yp +xq - yq 2 2 2 3. (x - 2x)(x + 1) = (x - 2x)x + (x - 2x)1 2 2 3 = x - 2x + x - 2x = x – x - 2x 3 2 Beberapa perkalian bentuk aljabar yang sering digunakan dalam masalah atau soal perhitungan adalah; 1. a(b + c) = ab + ac 2. (a + b)(a - b) = (a + b)a - (a + b)b 2 = a + ba - (ab + b ) 2 2 2 = a + ba - ab – b 2 = a – b 2 2 3. (a + b ) = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b 2 = A + ba + ab + b 2 2 2 = A + 2ab + b Sifat-sifat tersebut sering digunakan untuk mempermudah perhitungan secara mental (per hitungan di luar kepala), dalam beberapa pengerjaan hitung. Contoh: 1. 15×61=15(60+1) = 15×60+15×1 = 900 + 15 = 915 2 2 2. 10 - 7 = (10 + 7)(10 - 7) = (17)(3) = 51 2 3. 105 = (100 + 5) = 100 + 2.100.5 + 5 2 2 2 = 10000 +1000 + 25 = 11025 H a l a m a n | 5Indahnya Keberagaman Latihan 1 1. Uraikan atau jabarkan bentuk aljabar berikut a. (x + 1)a - b(2x+3y) 2 2 2 b. ax + b(x+c) - a(x + 1) c. (x + 1) 3 4 d. (a + b) e. (a + b) 5 2. Bagaimana Anda menghitung pengerjaan berikut, secara cepat? a. 559 +361 b. 566 – 1132 + 3100 c. 12×15 d. 31 × 118 e. 99 × 1231 2 2 f. 7 +9 g. 13 – 9 2 2 2 h. 119 i. 12 – 11 4 4 4 j. 11 3. Uraikan dan sederhanakan bentuk aljabar berikut a. - b. 4. Terdapat 3 bilangan. Bilangan kedua 12 lebih besar dari yang pertama. Bilangan ketiga dua kali bilangan kedua. Apabila bilangan pertama adalah p, tuliskan bentuk aljabar untuk jumlah Ketiga bilangan tersebut 5. Terdapat 3 bilangan. Bilangan kedua 13 lebih besar dari yang pertama. Bilangan ketiga dua kali bilangan kedua. Apabila bilangan pertama adalah p, tuliskan bentuk aljabar untuk jumlah ketiga bilangan tersebut 6. Tuliskan bentuk aljabar dari yang berikut. a. Jumlah tiga bilangan genap berturutan b. Jumlah tiga bilangan berkelipatan 5 yang berturutan c. Jumlah tiga bilangan berkelipatan 3 yang berturutan 2 d. Jumlah empat bilangan ganjil yang berturutan adalah 32. Tentukan bilangan tersebut e. Jumlah empat bilangan ganjil yang berturutan adalah 32. Tentukan bilangan2 tersebut 2 3 4 7. Perhatikan bentuk aljabar berikut x + x + x + x a. Hitunglah nilainya untuk x = 7, dengan menggunakan kalkulator ilmiah b. Arman menulis bentuk aljabar tersebut sebagai x (x(x(x + 1) + 1) + 1). Benarkah cara penulisan Arman? Jelaskan. Hitunglah nilainya untuk x = 7 6 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School MENGGUNAKAN ALJABAR DALAM KEHIDUPAN Dalam kehidupan sehari-hari, aljabar banyak digunakan pada setiap hal seperti perdagangan atau jual beli, industri, maupun dalam teknologi. Berikut adalah berbagai soal atau masalah yang diselesaikan melalui aljabar. a. Nilai Keseluruhan dan Nilai Per Satuan Fitri membeli 15 buku tulis. Ia membayar dengan uang Rp 10.000 dan mendapat kembalian Rp 250. Berapakah harga keseluruhan dan harga buku per satuannya? Penyelesaian: Fitri membayar Rp 10.000 dan mendapat kembalian Rp 250. Jadi, harga keseluruhan buku adalah Rp 10.000 - Rp 250 = Rp 9.750 Harga buku per satuan = = . = Rp 650 a. Perdagangan atau Jual Beli Dalam kegiatan usaha seperti jual beli, pedagang biasanya mendapat keuntungan. Walaupun kadang- kadang menderita kerugian. Apabila Arman membeli mangga dengan harga beli Rp 2.700 dan menjual kembali dengan harga jual Rp 3.150, maka Arman akan mendapat laba sebesar Rp 3.150 - Rp 2.700 = Rp 450. Namun, apabila mangga mengalami pembusukan sehingga terpaksa dijual di bawah harga belinya misalnya dijual dengan harga Rp 2.500, maka Arman akan menderita kerugian sebesar Rp 2.700 - Rp 2.500 = Rp 200. Harga beli sebuah barang dalam perdagangan disebut pula dengan modal. Dalam contoh kita, modal Arman sebesar Rp 2.700. Mungkin Anda juga sudah mengenal istilah rabat (diskon atau potongan harga). Untuk menarik konsumen atau pembeli, pedagang biasanya memberi rabat kepada setiap pembelinya. Misalnya harga sebuah baju Rp 35.000 per buah dengan rabat 17%, artinya setiap pembelian baju tersebut akan mendapat potongan harga sebesar 17% × Rp 35.000 = Rp 5.950. Jadi, pembeli cukup membayar Rp 35000,00 - Rp 5950,00 = Rp 29050,00. Tidak semua barang diperjualbelikan dengan harga per satuan. Barang-barang tertentu harganya didasarkan pada berat atau isinya. Misalnya harga mangga biasa dijual per kilogram (kg), bensin dalam liter (lt), minyak goreng dalam liter (lt), beras dalam kg (atau liter pada beberapa daerah tertentu), dan sebagainya. Agar mudah dipindah-pindahkan, barang-barang perlu dikemas secara rapi dan kuat. Sehingga kita mengenal istilah berat atau isi kotor (bruto), yaitu berat atau isi beserta kemasannya, dan istilah berat atau isi bersih (netto). Selisih bruto dan neto, disebut Tara. Jadi, Tara = Bruto - Neto H a l a m a n | 7Indahnya Keberagaman Contoh: 1. Dewi ingin membeli baju. Di toko terdapat 2 pilihan. Baju merek A harganya Rp 31.000 dan mendapat diskon 14%. Baju merek B harganya Rp 33.000 rupiah dan mendapat diskon 25%. Baju merek apa yang harus dipilih Dewi, agar membayar lebih murah? Penyelesaian: Besar diskon baju merek A = 14% × Rp 31.000 = Rp 4.340 Besar diskon baju merek B = 25% × Rp 33.000 = Rp 8.250 Harga baju setelah didiskon: Baju merek A = Rp 31.000 - Rp 4.340 = Rp 26.660 Baju merek B = Rp 33.000 - Rp 8.250 = Rp 24.750 Jadi, Dewi seharusnya memilih baju merek B 2. Berat bersih sebuah sabun mandi adalah 110 gr. Satu kotak karton memuat 144 sabun, dan setelah ditimbang berat keseluruhan 16,8 kg. Tentukan berat kemasan (tara) sabun per unitnya apabila berat karton 220 gr. Penyelesaian: Berat bersih sabun dalam 1 karton = 144 × 110 gr = 15.840 gr Berat kotor sabun dalam 1 karton = 16,8 kg - 220 gr = 16.800 gr - 220 gr = 16.580 gr Besar tara sabun dalam 1 karton = berat kotor - berat bersih = 16.580 gr - 15.840 gr = 740 gr Jadi, berat kemasan sabun per unitnya = 740 gr/144 = 5.14 gr Dalam perdagangan juga terdapat pajak atas barang yang diperjualbelikan. Terdapat berba-gai jenis pajak, di antaranya pajak pertambahan nilai (ppn), untuk produk elektronik, makanan, dan semacamnya. Ada pula pajak yang berupa cukai untuk tembakau, pajak barang mewah, dan sebagainya. Beban pajak biasanya dibebankan ke konsumen atau pembeli. Contoh: Dyah membeli minuman seharga Rp 3.400 per kaleng. Apabila minuman tersebut dikenai pajak pertambahan nilai (ppn) 10%, berapakah uang yang harus dibayarkan Dyah? Penyelesaian: Besar ppn = 10% × harga barang = 10% × Rp 3400 = Rp 340 Jadi, harga yang harus dibayarkan Dyah = harga barang + besar ppn = Rp 3400 + Rp 340 = Rp 3740 8 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School Latihan 1 Aplikasi Bentuk Aljabar 1. Fisika. Tinggi sebuah peluru setelah ditembakkan vertikal ke atas diberikan oleh rumus h = -16t2 + vt, di mana t waktu dalam detik dan v adalah kecepatan awal peluru dalam m/ det2. Apabila kecepatan awal peluru 310 m/det2, tentukan ketinggian peluru setelah 3 detik ditembakkan. 2. Teknologi otomotif. Rumus p = sn/6 dipakai untuk menghitung kecepatan piston sebuah mesin mobil, di mana s panjang piston dalam cm, n jumlah putaran mesin per menit (atau disingkat rpm). Tentukan kecepatan piston dari sebuah mesin mobil yang memiliki panjang piston 35 cm, pada saat putaran mesin mencapai 6.100 rpm. 3. Heti ingin membeli sabun cuci. Heti tertarik untuk membeli sabun merek A karena mendapat diskon sebesar Rp 750 sehingga dia cukup membayar Rp 3.250 setelah didiskon. Nyatakan diskon sabun merek A dalam persen. 4. Sebuah perusahaan yang memproduksi sabun mandi menetapkan bahwa berat kemasan sabun tidak boleh melebihi 0,8% dari berat bersihnya. a. Tentukan berat kotor maksimum dari sebuah sabun dengan berat bersih 115 gram. b. Apabila berat kemasan yang dirancang bagian pengemasan adalah 3 gram, tentukan berat bersih minimal sabun per unitnya. H a l a m a n | 9Indahnya Keberagaman PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Persamaan merupakan bagian dari aljabar yang banyak penggunaannya dalam bidang per- dagangan, kedokteran, teknologi otomotif, teknologi komunikasi dan sebagainya. Misalnya,toko baju menawarkan harga paket dua kaos dan satu celana adalah Rp 170.000,- serta satu kaos dan dua celana adalah Rp 250.000,-, seperti pada iklan berikut. Contoh lainnya, sebuah pesawat terbang menggunakan perbedaan tekanan udara di bawah pesawat dengan di atas pesawat agar dapat terbang serta menggunakan persamaan Bernoulli. Banyak kalimat, pernyataan, peristiwa atau situasi sehari-hari (dalam bentuk verbal) yang dapat ditulis secara ringkas ke dalam bentuk aljabar misalnya: No Pernyataan Bentuk Aljabar 1 8 lebihnya dari sebuah bilangan 8 + x 2 Sebuah bilangan berkurang 3 X – 3 3 Selisih antara 4 dengan enam kali sebuah bilangan 4 – 6x 4 Dua kali sebuah bilangan berkurang 4 2x – 4 5 9 lebihnya dari lima kali sebuah bilangan 9 + 5x 6 Kuadrat sebuah bilangan bertambah 4 sama dengan 9 X2+4=9 7 6 dikurang dengan sebuah bilangan 6 – x 8 Temperatur pada skala Kelvin K adalah sama dengan K=C+273 skala Celcius C ditambah 273 9 Jumlah 3 bilangan genap berturutan adalah 90 x + x + 2 + x + 4 = 90 10 158 dikurangi lima kali sebuah bilangan sama dengan 158 – 5x = x + 21 bilangan tersebut ditambah 21 11 Jumlah usia dua anak adalah 21 X + y = 21 12 Hasil kali dua bilangan adalah 24 Xy = 24 1 0 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School Bentuk aljabar yang memuat tanda atau simbol ‘=’ disebut dengan persamaan, seperti contoh pada nomor 6, 8, 9, 11 dan 12 di atas. Apabila suku-suku dalam persamaan memuat satu variabel berpangkat 1, maka persamaan disebut dengan persamaan linear, misalnya persamaan pada nomor 8, 9 dan 11 Sebuah persamaan linear dapat terdiri 1 variabel, 2 variabel, dan sebagainya. Contoh: Jenis Persamaan dan No Persamaan Penjelasan Jumlah Variabel 1 3b + 7 = 15 Persamaan linear Suku 3b memuat satu variabel satu variabel berpangkat 1 2 3P–K=22 Persamaan linear Suku 3P dan K memuat satu dua variabel variabel berpangkat 1 3 3Xy + y = 4 Persamaan nonlinear Suku 3Xy memuat dua variabel dua variabel 4 3a2 – 8 = z Persamaan nonlinear Suku 3a2 memuat satu variabel dua variabel berpangkat 2 5 4 Persamaan nonlinear 4 — - c = 7 — x dua variabel Suku x memuat satu variabel berpangkat bukan 1 6 Persamaan nonlinear Suku 2 y memuat satu variabel 5 - 2 y = 8 satu variabel bertanda akar Pada bagian ini, kita akan membahas persamaan linear satu variabel (PLSV). Kita dapat mem-ben tuk persamaan-persamaan yang setara atau ekivalen (dilambangkan dengan “⇔”) dengan cara kedua ruas persamaan ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama. Contoh: 1. 3a + 9 = 15 ⇔ 3a + 9 – 9 = 15 – 9 (kedua ruas dikurang 9) ⇔ 3a = 6 Jadi, 3a + 9 = 15 setara dengan 3a = 6 2. 3a = 6⇔ 3a(1/3) = 6(1/3) (kedua ruas dikali 1/3 atau dibagi 3) ⇔ a = 2 Jadi, 3a = 6 setara dengan a = 2 Pada contoh di atas, a = 2 disebut akar atau penyelesaian dari persamaan 3a + 9 = 15 karena apabila nilai tersebut dimasukkan ke dalam persamaan akan menghasilkan pernyataan yang benar, yaitu: 3a + 9 = 15 3 (2)+9 = 15 6 + 9 = 15 H a l a m a n | 1 1Indahnya Keberagaman Latihan 1 1. Nyatakan yang berikut merupakan peristiwa yang berkaitan dengan persamaan atau bukan persamaan dan berikan alasannya a. Usia Karim lebih tua dari usia Robet b. Kecepatan kendaraan sebanding dengan tenaga dorong piston pada mesin c. Jumlah usia bapak dan anak adalah 21 tahun lebih muda dari usia kakeknya d. Jarak dua desa tidak lebih dari 61 km e. Gaya tarik antar dua benda adalah berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya f. Selisih berat badan Karim dan Robet adalah sama dengan dua kali berat badan Tini g. Kecepatan kendaraan A adalah dua kali kecepatan kendaraan B h. Jumlah kuadrat dari dua bilangan Nyatakan situasi di atas dalam bentuk aljabar. Situasi mana yang merupakan persamaan linear. 2. Nyatakan mana yang merupakan persamaan nonlinear, persamaan linear, dan persamaan linear satu variabel a. 2x + 3y = c 3 b. 4x – y = 5 c. 5 – 3 √3 x = 17 d. ax + 5 = b 3 e. (2 + x) = 5x 3. Manakah di antara pernyataan berikut yang setara dengan 3x + 5 = 9? Berikan alasan. a. 5 = 9 – 3x b. x + 5 = 6 c. 3b + 5 = 9 d. 3x = 4 e. x = 4/3 f. 12x + 20 = 36 g. 3x + 1 = 9/5 h. 2x + 5 = 9 – x i. 3x + 3 = 7 j. 3x +10 = 14 4. Tentukan bentuk setara dari 7 – 3a = 4 + 4a apabila kedua ruas: a. ditambah 3a b. ditambah -4a c. dikurang 7 d. dikali 0.75 e. dibagi 4 f. ditambah x 1 2 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School 5. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut. a. 3a – 5 = 4 b. x – 5 = 4x c. (1 + 2)x - 5 = 7 d. 3x + 1 = 2x 6. Usia bapak adalah tiga kali usia Arman. Apabila Ayah berusia 45 tahun, berapakah usia Arman? 7. Enam kali sebuah sebuah bilangan ditambah 5 hasilnya 17. Berapakah bilangan tersebut? 8. Sebuah bilangan berkurang 21 sama dengan empat kali bilangan tersebut. Berapakah bilang-an tersebut? 9. Harga dua barang berselisih Rp 510. Apabila barang pertama seharga Rp 710, berapakah harga barang kedua? Jelaskan jawabmu. 10. Apakah kedua pernyataan berikut adalah setara? Berikan alasannya. a. 4b + 5 = 3b dan 3b + 5 = 2b b. + 3 = 1 dan 5 + 3(x – 1 ) = x – 1 11. Sebuah persamaan non linear dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penyelesaian persamaan linear, seperti contoh berikut : + 3 = ( misal p = ) .( ) + 3 = 2.( ) p + 3 = 2 p ⇔ p = - 3 ⇔ p = - 2 Selesaikan persamaan berikut. - 5 = PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Pada kehidupan sehari-hari, kita sering menggunakan konsep pertidaksamaan misal tinggi minimal untuk memasuki akademi militer adalah 165 cm, kesalahan maksimul ukuran mur dan baut adalah 0.1%, dan sebagainya. Selain persamaan, banyak kalimat, pernyataan, peristiwa atau situasi sehari-hari (dalam bentuk verbal) yang dapat ditulis secara ringkas ke dalam bentuk aljabar yang berupa pertidaksamaan, misalnya No Pernyataan Bentuk Aljabar 1 Sebuah bilangan tidak lebih dari 8 8 ≥ x 2 Sebuah bilangan sekurang-kurang bernilai 3 X ≥ 3 3 Nilai enam kali sebuah bilangan tidak lebih dari 4 4 ≥ 6x 4 9 lebihnya dari lima kali sebuah bilangan adalah kurang dari 9 + 5x < y bilangan lainnya 5 Kuadrat sebuah bilangan bertambah 4 hasilnya tidak lebih X2+4≤9 dari 9 6 Temperatur sebuah benda tidak lebih dari 21 derajat Celcius T≤21 7 Jumlah 3 bilangan genap berturutan kurang dari 91 x + x + 2 + x + 4 < 91 8 158 dikurangi lima kali sebuah bilangan hasilnya kurang dari 158 – 5x < x + 21 bilangan tersebut ditambah 21 9 Jumlah usia dua anak tak kurang dari 21 tahun X + y ≥ 21 10 Hasil kali dua bilangan lebih dari 24 Xy > 24 H a l a m a n | 1 3Indahnya Keberagaman Bentuk aljabar yang memuat tanda atau simbol <, ≤, ≥, atau > disebut dengan pertidaksamaan, seperti contoh di atas. Simbol pertidaksamaan dibaca sebagai berikut : ‘<’ dibaca kurang dari, ‘≤’ dibaca kurang dari atau sama dengan, ‘≥’ dibaca lebih dari atau sama dengan, ‘>’ dibaca lebih dari. Apabila suku-suku dalam pertidaksamaan memuat satu variabel berpangkat 1, maka pertidak- samaan disebut dengan pertidaksamaan linear, misalnya pertidaksamaan pada nomor 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Sebuah pertidaksamaan linear dapat terdiri 1 variabel, 2 variabel, dan sebagainya. Contoh: Jenis Pertidaksamaan No Pertidaksamaan Penjelasan dan Jumlah Variabel 1 3x + 7 > 15 Pertidaksamaan linear Suku 3x memuat satu variabel satu variabel berpangkat 1 2 3B–R<22 Pertidaksamaan linear Suku 3B dan R memuat satu dua variabel variabel berpangkat 1 3 3Xy + y ≤ 4 Pertidaksamaan Suku 3Xy memuat dua variabel nonlinear dua variabel 4 3a2 – 8 ≤ y Pertidaksamaan Suku 3a2 memuat satu variabel nonlinear dua variabel berpangkat 2 5 4 Pertidaksamaan 4 — - c ≥ 7 — memuat satu variabel x nonlinear dua variabel Suku x berpangkat bukan 1 6 Pertidaksamaan Mmmmmm 2 memuat 1 Suku . 5 - 2 ≤ 8 nonlinear satu variabel bertanda a variable bertanda akar Pada bagian ini, kita akan membahas pertidaksamaan linear satu variabel (PTLSV). Kita dapat membentuk pertidaksamaan-pertidaksamaan yang setara atau ekivalen (dilambangkan dengan “⇔”) dengan cara berikut. 1. Kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi bilangan yang sama. 2. Kedua ruas persamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama 3. Kedua ruas persamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda pertidaksamaan dibalik Contoh: Selesaikan pertidaksamaan berikut. 1. -3a + 11 < 5 ⇔ -3a +11–11 < 5 –11 (kedua ruas dikurang 5) ⇔ -3a < - 6 ⇔ -3a/(-3) > - 6 / ( - 3) (kedua ruas dibagi –3) ⇔ a > 2 1 4 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School Pada contoh ini, a > 2 merupakan penyelesaian pertidaksamaan dari -3a + 11 < 5 karena semua nilai a yang lebih dari 2 jika dimasukkan dalam pertidaksamaan akan membuat pertidaksamaan menjadi benar. Misal, ambil a = 3, maka: -3(3) + 11 < 5 2 < 5 (benar) Penyelesaian tersebut dapat pula ditulis dalam bentuk himpunan penyelesaian (HP), yaitu HP = {a | a > 2} 2. -3x + 5 ≥ -2 + 4x ⇔ (-3x + 5)(-1) ≤ (-2 + 4x)(-1) (kedua ruas dikali -1) ⇔ 3x - 5 ≤ 2 – 4x ⇔ 3x - 5 + 4x ≤ 2 – 4x + 4x (kedua ruas ditambah 4x) ⇔ 7x - 5 ≤ 2 ⇔ 7x - 5 + 5 ≤ 2 + 5 (kedua ruas ditambah 5) ⇔ 7x ≤ 7 ⇔ 7x/7 ≤ 7/7 (kedua ruas dibagi 7) ⇔ x ≤ 1 Pada contoh ini, x ≤ 1 merupakan penyelesaian pertidaksamaan dari -3x + 5 ≥ -2 + 4x karena semua nilai x yang kurang dari atau sama dengan 1 jika dimasukkan dalam pertidaksamaan akan membuat pertidaksamaan menjadi benar. Misal : ambil x = 0, maka –3 (0) + 5 ≥ –2 + 4(0) 0 + 5 ≥ –2 +0 5 ≥ –2 (benar) Penyelesaian tersebut dapat pula ditulis dalam bentuk himpunan penyelesaian (HP), yaitu HP = {x | x > 1}. Apabila dicermati dari contoh di atas, cara cepat dalam menyederhanakan persamaan atau pertidaksamaan adalah ‘apabila sebuah suku dipindah dari ruas kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan, maka tanda dari suku tersebut berubah’. Latihan 1 1. Nyatakan yang berikut merupakan peristiwa yang berkaitan dengan pertidaksamaan atau bukan pertidaksamaan dan berikan alasannya a. Usia Iksan lebih tua dari usia Alfred b. Usia Irma lima tahun lebih muda dari usia Dalton c. Kecepatan kendaraan sebanding dengan tenaga dorong piston pada mesin d. Jumlah usia bapak dan anak adalah tidak lebih dari usia kakeknya e. Jarak dua desa tidak lebih dari 70 km f. Gaya tarik antar dua benda adalah sebanding dengan masa masing-masing benda g. Selisih berat badan Karim dan Robet adalah tidak kurang dari dua kali berat badan Tini h. Kecepatan kendaraan A adalah tidak secepat kecepatan kendaraan B i. Jumlah kuadrat dari dua bilangan Nyatakan situasi di atas dalam bentuk aljabar. Situasi mana yang merupakan pertidaksamaan linear. H a l a m a n | 1 5Indahnya Keberagaman 2. Nyatakan mana yang merupakan pertidaksamaan nonlinear, pertidaksamaan linear, dan pertidaksamaan linear satu variabel a. 2a – 3b > c 3 b. 4x – c < 9 c. 5 + 3√3 ≥ 17 d. ax - 5 > b e. (2 - x) < 5x 3 3. Manakah di antara pernyataan berikut yang setara dengan 3x - 5 < 9? Berikan alasan. a. -5 < 9 – 3x b. x + 5 < 7 c. 3b - 5 < 9 d. 3x < 4 e. x < 4/3 f. 12x - 20 < 37 g. 3x - 1 < 9/5 h. 2x - 5 < 9 – x i. 3x + 3 < 7 j. 3x +10 < 14 k. 3x - 5 > -9 l. 5 – 3x > -9 4. Tentukan bentuk setara dari 7 – 3a ≥ 4 + 4a apabila kedua ruas: a. ditambah 3a b. ditambah -4a c. dikurang -7 d. dikali 0.75 e. dibagi -4 f. ditambah x 5. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. a. 3a – 5 < 4 b. x – 5 ≥ 4x c. – y ≤ 6 d. ( 1 + √2 ) b – 5 > 7 e. 3x + 1 < 3x f. 7b – 1 > 5b 6. Usia bapak tidak lebih dari tiga kali usia Arman. Apabila Ayah berusia 45 tahun, berapakah usia Arman? Ada berapa jawab yang Anda dapat? Berikan alasan. 1 6 | H a l a m a nModul Matematika – PKBM Eagle School 7. Enam kali sebuah sebuah bilangan ditambah 5 hasilnya tidak kurang dari 17. a. Mungkinkah bilangan tersebut 4? Berikan alasan. b. Berapakah nilai terkecil dari bilangan tersebut? c. Berapakah nilai terbesar dari bilangan tersebut? Berikan alasan. 8. Sebuah bilangan berkurang 20 hasilnya tidak lebih dari empat kali bilangan tersebut. a. Mungkinkah bilangan –7? Berikan alasan. b. Berapakah nilai terkecil dari bilangan tersebut? c. Berapakah nilai terbesar dari bilangan tersebut? Berikan alasan. 9. Selisih harga dua barang A dan B sedikitnya Rp 500,00. Harga barang B adalah Rp 700,00 a. Berapakah harga barang A? ada berapa jawab yang Anda dapat? Jelaskan jawabmu. b. Berapa harga terendah barang A? 10. Apakah kedua pernyataan berikut adalah setara? Berikan alasannya. a. 4b + 5 > 3b dan 3b + 5 > 2b b. − + 5 ≥ − 4 dan 4 + ( x + 1 ) ≥ - 4 ( x + 1 )

H a l a m a n | 1 7