Apa maksud berpadanan dalam fungsi invers

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

id

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya.

Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang? Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya?

Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama untuk mencari differensial atau turunannya. Karena hal ini, orang berusaha mencari cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers. Hal ini akan memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers.

Di samping itu, selain mempermudah juga akan mempercepat dalam menentukan turunannya. Berangkat dari sini maka kami menyusun makalah ini untuk mengetahui bagaimana cara mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara yang lebih cepat dan efisien.

1

5.asimtot.com [email protected] Mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan.3 Tujuan 1. 2 . 3. Mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak.id 1. 3. Mengapa jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼.wordpress.co. Agar mahasiswa mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak. Bagaiman cara mencari turunan fungsi balikan? 5. maka tidak berlaku teorema fungsi balikan. maka tidak berlaku teorema fungsi balikan. 5. maka tidak berlaku teorema fungsi balikan? 1. Agar mahasiswa mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan. Agar mahasiswa mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼. Bagaimana cara menentukan suatu fungsi balikan? 3.4 Manfaat 1. Agar mahasiswa mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. Apa yang dimaksud dengan fungsi balikan? 2. 2.2 Rumusan Masalah 1. Apakah setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan? 4. Agar mahasiswa mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan. 4. 1. 4. Mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. Mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼. 2. Mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.

𝑦 kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers 𝑓 −1 menghasilkan output 𝑥. Sehingga sering dinyatakan sebagai "sebuah fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers". 3 . maka invers fungsi 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐴. Kemudian. fungsi yang tidak mempunyai invers itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai 𝑋-nya. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. dan kodomainnya adalah himpunan 𝑌. yaitu: Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Sebuah fungsi 𝑓 dan inversnya 𝑓 −1 . Jika 𝑓(𝑥) = 𝑦. 𝑓 adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan 𝑋.asimtot. jika ada kebalikan dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓 −1 dengan domain 𝑌 dan kodomain 𝑋.com [email protected] Fungsi yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif. maka 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥 Tidak semua fungsi mempunyai invers.co.1 Fungsi Balikan Jika 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. dengan aturan.id BAB II PEMBAHASAN 2. A B B A Gambar 1.wordpress. Tetapi. Jika sebuah input 𝑥 dimasukkan ke dalam fungsi 𝑓 menghasilkan sebuah output 𝑦.

wordpress. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦. Jadi.com [email protected] Langkah 3 : Gantilah 𝑦 dengan 𝑥.id 2. kita tentukan terlebih dahulu 𝑓 −1 (𝑦).2 Cara Menentukan Fungsi Balikan Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk 𝑓 −1 (𝑥) untuk melakukan itu. Contoh soal Carilah invers dari 𝑦 = − 𝑥−3 1 4 . Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan 𝑥 dan 𝑦. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan 𝑥 dan 𝑦 pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis 𝑦 = 𝑥.asimtot. grafik 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) adalah gambar cermin grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Langkah 2 : Gunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 𝑦. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 𝑓 −1 (𝑥) 1. 2. kemudian kita menukarkan 𝑥 dan 𝑦 dalam rumus yang dihasilkan. 3.co.

𝑓 −1 𝑥 = − 𝑥 + 3 1 1 2. jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2 ) monoton datar. 𝑦 = − 𝑥−3 𝑥 − 3 = − 𝑦 1 1 1 𝑥 = − 𝑦 + 3 Langkah 2 : menggunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 𝑦 𝑓 −1 𝑦 = − 𝑦 + 3 Langkah 3 : mengganti 𝑦 dengan 𝑥.id Jawab : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.3 Keberadaan Fungsi Balikan Teorema Jika 𝑓 monoton murni pada daerah asalnya.asimtot. jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2 ) monoton tak turun. jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 ) monoton turun. jika untuk 𝑥1 ≠ 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2 ) Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati. maka 𝑓 memiliki balikan. 𝑥2 ∈ 𝑅.wordpress. dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. 5 .com [email protected] fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan:      monoton naik. Untuk semua 𝑥1 . jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2 ) monoton tak naik. Fungsi monoton Misalkan 𝑓(𝑥) terdefinisi pada suatu himpunan 𝑅.co.

Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Bukti untuk onto Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Bukti untuk 𝒇 satu-satu. 𝑥2 pada daerah asalnya. Bukti teorema Jika f monoton murni pada daerah asalnya.id Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika 𝑥1 ≠ 𝑥2 maka berlaku 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2 ) untuk setiap 𝑥1 .wordpress. Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers.com [email protected] Perhatikan pengertian fungsi naik. 𝑥2 pada daerah asalnya. maka f memiliki balikan Kita ambil 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Jika 𝑓 monoton murni maka 𝑓 satu-satu dan onto Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. Monoton naik jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 . Diketahui 𝑓 monoton naik ⟷ 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 ) Dengan kata lain : 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2 ) Terbukti 𝑓 satu-satu. Monoton turun jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 .asimtot. 6 . untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka berlaku 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 ) untuk setiap 𝑥1 .co. Kami mencoba untuk membuktikannya. Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

𝑓 adalah Onto.asimtot. Jawab : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Maka 𝑥1 ≠ 𝑐 ≠ 𝑥2 lim𝑥→ 𝑥 1 𝑓 𝑥 = lim𝑥→ 𝑥 2 𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑐) Menurut teorema apit 𝑓 𝑐 < 𝑏 < 𝑓 𝑐 maka haruslah 𝑓 𝑐 = 𝑏 ∴ ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 ∋ 𝑓 𝑐 = 𝑏 ∴ 𝑏 ∈ 𝑓(𝐴) Kontradiksi bahwa 𝑏 ∉ 𝑓 𝐴 Jadi.co. Untuk 𝑓(𝑥) = 2𝑥 7 − 𝑥 5 + 12𝑥. sehingga 𝑓 memiliki balikan di sana.wordpress. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu 𝑓′(𝑥) = 14𝑥 6 − 5𝑥 4 + 12 Dimana nilai 𝑓 ′ 𝑥 selalu lebih besar nol untuk setiap 𝑥.com [email protected] yang ekuivalen dengan 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝑓(𝐴) Untuk 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 sudah sangat jelas. 𝑓 ′ 𝑥 = 14𝑥 6 − 5𝑥 4 + 12 > 0 untuk semua 𝑥 Jadi 𝑓 naik pada seluruh garis real. ∋ 𝑓 𝑥1 < 𝑏 < 𝑓 𝑥2 Untuk lim𝑥→ 𝑥 1 𝑥 = 𝑐 = lim𝑥→ 𝑥 2 𝑥 .id Onto artinya 𝑓 𝐴 = 𝐵. Sekarang akan dibuktikan untuk 𝐵 ⊆ 𝑓(𝐴) Andaikan ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∉ 𝑓 𝐴 Maka ∃ 𝑥1 . 𝑥2 ∈ 𝐴. Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk 𝑓 −1 7 . Contoh soal Perlihatkan bahwa 𝑓 memiliki balikan.

Perhatikan gambar disamping! Kita anggap.id 2.4 Turunan Fungsi Balikan Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya. Garis singgung fungsi 𝑓 𝑥 di 𝑎 adalah turunan pertama 𝑓 𝑥 di 𝑎 yaitu 𝑓′(𝑎) Garis singgung fungsi 𝑔(𝑥) di 𝑏 adalah turunan pertama 𝑔(𝑥) di 𝑏 yaitu 𝑔′ (𝑏) Gambar 2. 8 . Teorema Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼.co.asimtot. Yaitu. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. Dengan melakukan substitusi kita dapatkan 𝑓 −1 𝑓 𝑥 = 𝑥. jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. jika 𝑓 𝑥 = 𝑦. maka 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥.wordpress. Turunan 𝑓 invers Menurut definisi invers. Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. 𝑓 −1 𝑥 = 𝑔(𝑥).com [email protected] Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) Untuk lebih mudah memahami teorema.

𝑠] → 𝑅. dan 𝑓: [𝑝. 𝑞] ⊆ 𝑅. (𝑓 ′ (𝑥)) = 1 (𝑓 −1 )′ 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥) 1 Yang ekuivalen dengan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) Bukti resmi teorema Interval [𝑝. 𝑞] → 𝑅 . well define.wordpress. 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏. 𝑠] = 𝑓([𝑝. 𝑞]. Fungsi 𝑔 terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 lebih lanjut. 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏. 𝑞]) dan 𝑔: 𝑟.id Kita perhatikan untuk 𝑓 −1 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 = 𝑥 Kita lakukan diferensiasi. fungsi monoton murni dan kontinu pada [𝑝. Demikian halnya jika 𝑦 = 𝑓(𝑔 𝑦 ) dan 𝑏 = 𝑓(𝑔 𝑏 ) maka berdasarkan definisi fungsi 𝐻 diperoleh 𝐻 𝑦 = 𝑦 − 𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) 9 . 𝑔′ 𝑏 = 1 𝑓 ′ (𝑎) = 1 𝑓 ′ 𝑔 𝑏 invers fungsi 𝑓 yang monoton murni dan Ambil sembarang 𝑦 ∈ [𝑟. Fungsi 𝑓 terdiferensial di titik 𝑎 ∈ [𝑝. 𝑠] → 𝑅 dengan 𝐻 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑔 𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔 𝑏 Diketahui 𝑔 monoton murni. selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟. [𝑟. 𝑞] dan 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0. selanjutnya didefinisikan fungsi 𝐻 ∶ [𝑟.co.asimtot.com [email protected] maka 𝑔(𝑦) ≠ 𝑔 𝑏 . dengan kata lain 𝐻 ∶ [𝑟. 𝑠 → 𝑅 kontinu. Diperoleh : 𝑓 −1 𝑓 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 1 (𝑓 −1 )′ 𝑓 𝑥 .

artinya untuk setiap bilangan 𝛿 > 0 terdapat bilangan 𝜂 > 0 sehingga untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟. Selanjutnya dibuktikan bahwa 𝑦 →𝑏 lim 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎) Diberikan bilangan 𝜀 > 0 dan jika 𝑓 terdiferensial di 𝑎 = 𝑔(𝑏). 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏.co. 𝑠] Oleh karena itu untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟. berlaku 𝑔′ 𝑏 = lim 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) 1 1 1 = lim = = ′ 𝑦→𝑏 𝑦 →𝑏 𝐻(𝑦) 𝑦 − 𝑏 lim 𝐻(𝑦) 𝑓 (𝑎) 𝑦 →𝑏 10 . 𝑏] dengan sifat 0 < | 𝑥 – 𝑎| < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) − 𝑓 ′ (𝑎) < 𝜀 𝑥 − 𝑎 Diketahui 𝑔 kontinu di titik 𝑏 = 𝑓 ′ (𝑎). 𝑠] dengan 0 < | 𝑦 – 𝑏| < 𝜂 . 𝑔 injektif dan 𝑎 = 𝑔(𝑏). maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎. maka 𝐻(𝑦) ≠ 0. maka diperoleh. jika 0 < | 𝑦 – 𝑏| < 𝜂 maka 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) = 𝑔 𝑦 − 𝑎 < 𝛿 untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟. untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟. sehingga diperoleh = 1 𝐻(𝑦 ) Dapat disimpulkan.com [email protected] Jadi lim𝑦 →𝑏 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎) 𝑦 −𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) Perhatikan bahwa karena 𝑦 ≠ 𝑏 maka 𝐻 𝑦 = 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) 𝑦−𝑏 ≠ 0 . dengan kata lain 𝑔 injektif dan surjektif. 𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏.id Mudah dipahami bahwa untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑟. maka 𝑔 bijektif. 𝑠] dengan 0 < | 𝑦 – 𝑏| < 𝜂 berakibat 𝐻 𝑦 − 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑔 𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔 𝑏 − 𝑓 ′ (𝑎) < 𝜀 Untuk sebarang 𝜀 > 0.asimtot. maka berlaku 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) < 𝛿 Karena 𝑔 fungsi invers dari 𝑓.wordpress.

Mungkin kita akan kebingungan dengan langkah-langkah yang ada tersebut. Yang mungkin akan lebih mudah kita pahami.id Terbukti 𝑔′ 𝑏 = 1 1 = ′ 𝑓 ′ (𝑎) 𝑓 𝑔 𝑏 Ketika kita membuktikan seperti itu. Bukti mudahnya menurut kelompok kami Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼. Sehingga kelompok kami menyajikan bukti menurut kelompok kami sendiri.com [email protected] Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼.wordpress.co. kita peroleh 𝑓 −1 Karena 𝑓 −1 𝑓 𝑥 ′ 𝑓 𝑎 = lim 𝑓 −1 𝑓 𝑥 − 𝑓 −1 𝑓 𝑎 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) = 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) = 𝑥 dan 𝑓 −1 𝑓 𝑎 Maka kita bisa menuliskan 𝑓 −1 ′ 𝑓 𝑎 = lim 11 . Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) Menurut definisi limit 𝑓 ′ 𝑎 = lim Akan dibuktikan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑥 − 𝑎 Dengan definisi limit.

id Karena f kontinu dan monoton murni. maka kita bisa menuliskan 𝑓 −1 ′ 𝑓 𝑎 = 1 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) lim 𝑥 − 𝑎 𝑥→𝑎 = 𝑓 ′ 1 𝑎 𝑓 −1 Dengan ini kita mendapatkan 𝑓 −1 Dimana 𝑓 𝑥 = 𝑦 . ′ 𝑦 = 𝑓 ′ Contoh soal Carilah 𝑓 −1 ′ (2) jika diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 Jawab : Kita akan mencari nilai 𝑥 yang berpadanan dengan 𝑦 = 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥 + 1 2 = 𝑥 + 1 4 = 𝑥 + 1 𝑥 = 3 Kemudian kita cari 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 ′ 𝑥 = 2 𝑓 ′ 3 = 2 𝑓 ′ 3 = 4 12 1 1 𝑥+1 1 3+1 .com [email protected] diperoleh ′ 𝑓 𝑎 ′ 𝑓 𝑥 = 1 𝑓 ′ 𝑥 1 𝑥 𝑓 −1 Terbukti. sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) ≠ 0. Sehingga kita boleh melanjutkan proses.co. sehingga 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎 .

Artinya. Apabila 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 maka fungsi invers 𝑔 tidak terdiferensial di 𝑏 = 𝑓 𝑎 . 2. ∞ 𝑅𝑓 = [0.com [email protected] Kita selesaikan dengan menggunakan teorema (𝑓 −1 )′ 2 = (𝑓 −1 )′ 2 = 1 𝑓 ′ (3) 1 1 4 (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) (𝑓 −1 )′ 2 = 4 Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita turunkan? 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 2 + 1 𝑓 −1 ′ 𝑥 = 2𝑥 (𝑓 −1 )′ 2 = 4 Hasilnya sama. ∞ 𝐷𝑓 = 0. maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi 𝑔 untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi 𝑓 terdiferensial di titik 𝑎 = 𝑔(𝑏) dan diperoleh 𝑔′ 𝑏 = 1 𝑓 ′ 𝑎 ↔ 1 = 𝑔′ 𝑏 .5 Mengapa 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 ? Syarat 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 sangatlah penting .wordpress. 𝑓 ′ 𝑎 = 0 𝐷𝑓 = −1.co. jika 𝑔 terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 dan jika 𝑓 invers fungsi 𝑔. ∞) 𝑅𝑓 = [−1.asimtot. ∞) Terjadi kontradiksi. oleh karena itu 𝑔 tak terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 . Lebih jelas terlihat jika kita masukkan 𝑓 ′ 𝑎 = 0 ke dalam 𝑔′ 𝑏 = Diperoleh 𝑔′ 𝑏 = 0 1 1 𝑓 ′ 𝑎 13 .

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 . sehinggga dapat disimpulkan bahwa 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 3 .co. 𝑓 ′ 𝑎 = 0 Terjadi kontradiksi. Dengan demikian 1 = 𝑔′ 𝑏 . diperoleh 𝑏 = 𝑓(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′ (𝑎) = 0.asimtot.id Contoh Diberikan fungsi bernilai real 𝑓 yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 .wordpress. ∀𝑥 ∈ 𝑅 tidak terdiferensial di 0 1 14 . dan 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 = ′ 𝑥 3 3 −2 Ambil titik = 0 . ∀𝑥 ∈ 𝑅 .com [email protected] Diperoleh 𝑓 −1 1 3 ∀𝑥 ∈ 𝑅 2 −1 ′ 𝑥 = 𝑥 .

com [email protected] Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Karena disitu terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼.co. Yaitu fungsi tersebut harus kontinu dan fungsi tersebut monoton murni. Sehinga perlu adanya ketelitian. 3.1 Kesimpulan Suatu fungsi dapat diperbanyak. 2. Langkah 2 : Gunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 𝑦. 15 .2 Saran Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.id BAB III PENUTUP 3. Langkah 3 : Gantilah 𝑦 dengan 𝑥. Karena kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal dengan suatu teorema.asimtot. Salah satunya dengan cra membalikkannya (inversnya). Yaitu : Teorema Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼. Dengan banyaknya fungsi-fungsi yang kita punya. Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu : 1. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat. 3. Kita mempunyai teorema. Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema.wordpress. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Tetapi kita juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Dengan adanya teorema turunan fungsi balikan. Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Padahal soal itu tidak memenuhi syarat di teorema tersebut.