Berapa banyak faktor prima positif berbeda yang dimiliki bilangan bulat x

Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat. $a$ disebut sebagai faktor dari $b$, jika $a$ habis membagi $b$. Dengan kata lain, $b$ tidak bersisa (bersisa $0$) jika dibagi $a$. Sebagai contoh $2$ adalah faktor dari $12$, karena $2$ habis membagi $12$. Sedangkan $2$ bukan faktor dari $17$, karena $17$ bersisa $1$ jika dibagi $2$.

Seringkali, kita diminta menentukan banyaknya faktor positif suatu bilangan asli. Kita dapat menentukan faktor bilangan tersebut satu per satu, kemudian menghitung totalnya. Namun, cara ini tidak selalu efisien. Misalnya pada bilangan 2304.

Untuk menentukan banyak faktor positif, kita dapat memanfaatkan Aturan Perkalian (pada Kombinatorika). Sebagai contoh, kita akan menentukan banyak faktor positif dari $24$. Faktorisasi prima dari $24$ adalah $2^3 \cdot 3$. Bilangan ini mempunyai $8$ faktor positif, yaitu $1,2,3,4,6,8,12,24$.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}1 &= 2^0 \cdot 3^0 \\2 &= 2^1 \cdot 3^0 \\3 &= 2^0 \cdot 3^1 \\4 &= 2^2 \cdot 3^0 \\6 &= 2^1 \cdot 3^1 \\8 &= 2^3 \cdot 3^0 \\12 &= 2^2 \cdot 3^1 \\24 &= 2^3 \cdot 3^1\end{aligned}$$Setiap faktor di atas dapat ditulis sebagai $2^a \cdot 3^b$, di mana $a \in \{0,1,2,3\}$ dan $b \in \{0,1\}$. Terdapat $4$ pilihan untuk nilai $a$ dan $3$ pilihan untuk nilai $b$. Berdasarkan Aturan Perkalian, banyak faktor positif dari $24$ adalah $4 \cdot 3=12$.

Secara umum, kita dapat menggunakan teorema berikut untuk menghitung banyaknya faktor positif suatu bilangan asli lebiih dari $1$. Bilangan $1$ sendiri hanya mempunyai sebuah faktor, yaitu $1$.

Teorema

Misalkan $x$ adalah bilangan asli lebih dari $1$, dengan faktorisasi prima$$p_1^{\textcolor{red}{q_1}} p_2^{\textcolor{green}{q_2}} \ldots p_r^{\textcolor{blue}{q_r}}$$di mana $p_1,p_2, \ldots, p_r$ adalah bilangan prima berbeda dan $q_1,q_2,\ldots,q_r$ adalah bilangan asli.

Banyaknya faktor positif dari $x$ adalah$$(\textcolor{red}{q_1}+1)(\textcolor{green}{q_2}+1) \ldots (\textcolor{blue}{q_r}+1)$$

Lewati Bukti

Bukti

Misalkan $x$ adalah bilangan asli lebih dari $1$ dengan faktorisasi prima$$p_1^{q_1} p_2^{q_2} \ldots p_r^{q_r}$$Setiap faktor positif dari $x$ dapat ditulis sebagai$$p_1^{a_1} p_2^{a_2} \ldots p_r^{a_r}$$di mana$$\begin{aligned}a_1 \text{ dipilih dari }& \{0,1,2, \cdots ,q_1\} \\a_2 \text{ dipilih dari }& \{0,1,2, \cdots ,q_2\} \\&\vdots \\a_r \text{ dipilih dari }& \{0,1,2, \cdots ,q_r\}\end{aligned}$$

Terdapat $q_1+1$ pilihan untuk nilai $a_1$, $q_2+1$ pilihan untuk nilai $a_2$, $\ldots$, dan $q_r+1$ pilihan untuk nilai $a_r$. Berdasarkan aturan perkalian, banyak faktor positif dari $x$ adalah$$(q_1+1)(q_2+1) \ldots (q_r+1)$$Terbukti.

Berikutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 1

Tentukan banyaknya faktor positif dari $1800$.

Pembahasan

Pertama, kita perlu menuliskan faktorisasi prima dari $1800$, yaitu $2^{\textcolor{red}{3}} \cdot 3^{\textcolor{green}{2}} \cdot 5^{\textcolor{blue}{2}}$. Pangkat dari setiap faktor ditambah $1$, lalu kita kalikan. Itulah banyak faktor dari $1800$.

Jadi, banyak faktor positif dari $1800$ adalah $$(\textcolor{red}{3}+1)(\textcolor{green}{2}+1)(\textcolor{blue}{2}+1)=4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$$

Contoh 2

Tentukan banyaknya faktor positif dari $4200$.

Pembahasan

Faktorisasi prima dari $4200$ adalah $2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1$. Jadi, banyak faktor positif dari $4200$ adalah$$(3+1)(1+1)(2+1)(1+1)=4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 48$$

Contoh 3

Tentukan banyaknya faktor positif dari $6615$.

Pembahasan

Faktorisasi prima dari $6615$ adalah $3^3 \cdot 5 \cdot 7^2$. Jadi, banyak faktor positif dari $6615$ adalah$$(3+1)(1+1)(2+1)=4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$$

Semoga bermanfaat. Sebagai penutup, saya memberikan dua buah soal latihan. Berbeda dengan soal sebelumnya, kita membutuhkan analisa terlebih dahulu sebelum menerapkan Teorema di atas.

Soal Latihan 1

Tentukan banyaknya faktor positif dari $1008$ yang habis dibagi $4$.

Soal Latihan 2

Tentukan banyaknya faktor positif dari $1008$ yang habis dibagi $6$.