Contoh KEJADIAN saling lepas dan saling bebas

martha yunanda Ilmu, peluang

Dalam materi pembahasan peluang sering menjadi kebingungan antara kejadian saling lepas dan saling bebas. Jika dibaca sekilas, maka ini sepertinya sama. Memang secara garis besar ini sama karena melibatkan dua atau lebih kejadian. Tetapi, pada penerapannya, antara kejadian saling lepas dan saling bebas terdapat beberapa perbedaan. Coba disimak penjelasan berikut ini,

Kejadian Saling lepas adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi satu sama lainnya. Contoh kejadian saling lepas ini dalam kehidupan sehari hari seperti tidur dan makan. 2 kejadian tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan dan tidak saling mempengaruhi (dalam artian waktu kejadian).

Secara matematis, kejadian saling lepas ini bisa dirumuskan sebagai berikut,

P(A∪B) = P(A)+P(B) 

Lawan dari kejadian saling lepas ini adalah kejadian tidak saling lepas. Rumus untuk kejadian tak saling lepas ini adalah

P(A∪B) = P(A)+P(B)- P(A∩B)

Dimana A dan B adalah kejadian pertama dan kejadian kedua. Sederhananya antara kejadian pertama dan kejadian kedua tidak ada hubungan sama sekali. Biasanya pada soal soal matematika ini ditandai dengan kata hubung ATAU antara pernyataan kejadian pertama dan pernyataan kejadian ke-dua. LEPAS!

Kejadian saling bebas adalah dua kejadian dimana ada hubungan antara kejadian pertama dan kedua. Dalam kata lain, kejadian ini bisa terjadi dalam waktu bersamaan. Contohnya dalam kehidupan sehari hari menonton TV dan makan. Kita bisa melakukan hal tersebut dalam suatu waktu. Itulah arti dari kejadian saling bebas.

Secara matematis, menghitung kejadian saling bebas digunakan rumus,

P(A∩B) = P(A).P(B).

Terdapat tambahan bagian rumus yaitu  P(A∩B), ini merupakan peluang dimana kejadian A dan B terjadi bersamaan. Pada soal matematika biasanya akan menggunakan kata hubung DAN antara kejadian pertama dan kejadian kedua.

Peluang — Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Saling Terpisah

Lihat juga: bilangan, permutasi dan kombinasi

Dua kejadian dikatakan saling bebas (independen) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain.

Contoh:

• Ketika melempar koin dua kali, hasil dari lemparan pertama tidak mempengaruhi hasil dari lemparan kedua.
• Ketika mengambil dua kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), kejadian 'mendapatkan raja (K)' pada kartu pertama dan kejadian 'mendapatkan kartu hitam' pada kartu kedua adalah tidak saling bebas. Peluang pada kartu kedua berubah setelah kartu yang pertama diambil. Kedua kejadian di atas akan menjadi saling bebas jika setelah mengambil kartu yang pertama, kartu tersebut dikembalikan ke set semula (sehingga set kartu itu lengkap kembali, 52 kartu).

Untuk dua kejadian saling bebas, A dan B, peluang untuk keduanya terjadi, P(A∩B), adalah hasil perkalian antara peluang dari masing-masing kejadian. ∩ adalah simbol matematika untuk "dan" atau "irisan".

Misalnya, ketika melempar koin dua kali, peluang mendapat 'kepala' (K) pada lemparan pertama lalu mendapat 'ekor' (E) pada lemparan kedua adalah

Dua kejadian dikatakan saling terpisah jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Contoh

• Ketika melempar sekeping koin, kejadian 'mendapat kepala' dan kejadian 'mendapat ekor' adalah saling terpisah, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
• Ketika melempar sebuah dadu bermata 6, kejadian 'mendapat 1' dan kejadian 'mendapat 4' adalah saling terpisah, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Tetapi kejadian 'mendapat 3' dan kejadian 'mendapat bilangan ganjil' adalah tidak saling terpisah, sebab keduanya bisa terjadi secara bersamaan. (yaitu ketika mendapatkan 3, yang juga berarti mendapat bilangan ganjil).

Untuk dua kejadian saling terpisah, A dan B, peluang salah satu terjadi, P(A∪B), adalah jumlah dari peluang masing-masing kejadian. ∪ adalah symbol matematika untuk "gabungan".

Untuk kejadian yang tidak saling terpisah peluang terjadinya salah satu atau keduanya adalah

dimana P(A∩B) adalah peluang kejadian A dan kejadian B terjadi secara bersamaan.

Misalnya, ketika mengambil kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), peluang mendapat kartu merah (M) atau raja (K) adalah

Sebuah kartu bisa merah, raja, atau keduanya (yaitu raja merah). Jadi kita harus mengurangi peluang kartu itu adalah raja merah, karena peluang itu sudah termasuk ketika kita menghitung peluang untuk kartu merah dan peluang untuk kartu raja.

By Jimmy Sie

Lihat juga: bilangan, permutasi dan kombinasi

Home / Ilmu / peluang

Dalam bahan pembahasan peluang sering menjadi kebingungan antara insiden saling lepas dan saling bebas. Jika dibaca sekilas, maka ini tampaknya sama. Memang secara garis besar ini sama sebab melibatkan dua atau lebih kejadian. Tetapi, pada penerapannya, antara insiden saling lepas dan saling bebas terdapat beberapa perbedaan. Coba disimak klarifikasi berikut ini,

Kejadian Saling lepas ialah dua insiden yang tidak saling menghipnotis satu sama lainnya. Contoh insiden saling lepas ini dalam kehidupan sehari hari menyerupai tidur dan makan. 2 insiden tersebut tidak sanggup terjadi secara bersamaan dan tidak saling menghipnotis (dalam artian waktu kejadian).

Secara matematis, insiden saling lepas ini sanggup dirumuskan sebagai berikut,

P(A∪B) = P(A)+P(B) 

Lawan dari insiden saling lepas ini ialah insiden tidak saling lepas. Rumus untuk insiden tak saling lepas ini adalah

P(A∪B) = P(A)+P(B)- P(A∩B)

Dimana A dan B ialah insiden pertama dan insiden kedua. Sederhananya antara insiden pertama dan insiden kedua tidak ada kekerabatan sama sekali. Biasanya pada soal soal matematika ini ditandai dengan kata hubung ATAU antara pernyataan insiden pertama dan pernyataan insiden ke-dua. LEPAS!

Kejadian saling bebas ialah dua insiden dimana ada kekerabatan antara insiden pertama dan kedua. Dalam kata lain, insiden ini sanggup terjadi dalam waktu bersamaan. Contohnya dalam kehidupan sehari hari menonton TV dan makan. Kita sanggup melaksanakan hal tersebut dalam suatu waktu. Itulah arti dari insiden saling bebas.

Secara matematis, menghitung insiden saling bebas dipakai rumus,

P(A∩B) = P(A).P(B).

Terdapat pelengkap kepingan rumus yaitu  P(A∩B), ini merupakan peluang dimana insiden A dan B terjadi bersamaan. Pada soal matematika biasanya akan memakai kata hubung DAN antara insiden pertama dan insiden kedua.
Sumber http://www.marthamatika.com

Sebelum membahas peluang kejadian tidak saling lepas dan peluang kejadian saling lepas akan dibahas terlebih dahulu konsep dasar dari peluang.

Konsep Dasar Peluang

1. Ruang sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan
2. Titik sampel merupakan anggota yang ada pada ruang sampel
3. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

Jika n(S) merupakan banyaknya titik sampel pada ruang sampel S suatu percobaan, dan n(A) merupakan banyaknya kejadian pada suatu percobaan, maka peluang kejadian A adalah

Keterangan

P(A) = Peluang kejadian A

n(A) = Banyaknya kejadian A

n(S) = Banyaknya titik sampel pada ruang sampel

Contoh 1

Dari pelemparan sebuah dadu, hitungah peluang munculnya mata dadu genap.

Pembahasan

Ruang sampel pelemparan sebuah dadu adalah

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga diperoleh banyaknya titik sampel adalah n(S) = 6

Himpunan kejadian munculnya mata dadu genap adalah

A = {2, 4, 6} sehingga diperoleh banyaknya kejadian A adalah n(A) = 3

Maka peluang munculnya mata dadu genap adalah

Contoh 2

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan, hitunglah peluang munculnya mata dadu

a. Berjumlah kurang dari 10

b. Berjumlah lebih dari atau sama dengan 6

Pembahasan

Langkah pertama akan dibuat ruang sampel dari dua buah dadu dengan tabel berikut

Dari tabel diatas diperoleh n(S) = 36

A={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3)}

n(A) = 30

Jadi peluang munculnya mata dadu berjumlah kurang dari 10 adalah

b. Misal B adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu berjumlah lebih dari atau sama dengan 6

B = {(1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

n(B) = 26

Maka peluang munculnya mata dadu berjumlah lebih dari atau sama dengan 6 adalah

Contoh 3

Sebuah kartu diambil dari setumpuk kartu remi. Berapakan peluang terambilnya kartu Queen ?

Pembahasan

Banyak kartu remi 52 dan banyak kartu queen 4, maka

n(S) = 52 dan n(A) = 4

Sehingga peluang terambilnya kartu queen adalah

Peluang Kompelemen Suatu Kejadian

Peluang komplemen suatu kejadian adalah peluang dari suatu kejadian yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Komplemen dari kejadian A adalah himpunan dari seluruh kejadian yang bukan A. Komplemen dari suatu kejadian  dapat ditulis dengan A'. 

Peluang dari komplemen suatu kejadian dituliskan sebagai berikut

P(A') = 1 - P(A)

Contoh 4

Pada pelemparan sebuah dadu, hitunglah peluang untuk tidak mendapatkan mata dadu 5

Pembahasan

Peluang munculnya mata dadu 5 adalah

Peluang untuk tidak mendapatkan mada dadu 5 adalah

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang munculnya suatu kejadian dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. 

Rumus frekuensi harapan suatu kejadian adalah sebagai berikut

Keterangan

Fh = Frekuensi harakan

P(A) = Peluang kejadian A

n = Banyak percobaan

Contoh 5

Jika dilakukan pelemparan sebuah koin sebanyak 30 kali. Hitunglah frekuensi harapan munculnya muka angka.

Pembahasan

Ruang sampel pelemparan sebuah koin adalah S = {A,G} sehingga n(S) = 2

Himpunan kejadian muncul muka angka adalah B = {A} sehingga n(B) = 1

Maka peluang munculnya muka angka adalah

Frekuensi harapan muncul angka dari 30 kali pelemparan adalah

Jadi harapan munculnya angka dari 30 kali pelemparan sebuah koin adalah 15 kali.

Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

Dua kejadian dikatakan tidak saling lepas jika dua kejadian tersebut memiliki irisan atau dengan kata lain dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan.

Berdasarkan teori himpunan 

Jadi rumus peluang kejadian tidak saling lepas adalah

Keterangan

P(A) = Peluang kejadian A

P(B) = Peluang Kejadian B

 = Peluang kejadian tidak saling lepas

 = Peluang irisan kejadian A dan B

Contoh 6

Sebuah dadu dilempar satu kali, hitunglah peluang munculnya mata dadu genap dan mata dadu yang habis dibagi 3.

Pembahasan

S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6

A = himpunan mata dadu genap

    = {2,4,6}

n(A) = 3

B = Himpunan mata dadu habis dibagi 3

    = {3,6}

n(B) = 2

 = {6} sehingga diperoleh  = 1

maka peluang munculnya mata dadu genap dan mata dadu habis dibagi 3 adalah

Contoh 7

Dari pengocokan setumpuk kartu remi, hitunglah peluang terambilnya kartu warna hitam dan kartu As.

Pembahasan

Kartu remi warna hitam adalah kartu Spade/Sekop (S) dan Club/Keriting (C)

Kartu Remi wana merah adalah kartu Diamond/Wajik (D) dan Heart/Hati (H)

Banyak kartu remi adalah 52 maka n(S) = 52

Misal himpunan A merupakan himpunan kartu remi warna hitam, maka himpunan A adalah

A = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C. JC, QC, KC, AC}

n(A) = 26

Himpunan B merupakan himpunan kartu Ace/AS (A), maka himpunan B adalah

B = {AS, AD, AC, AH}

n(B) = 4

 = {AS, AC} sehingga n() = 2

maka peluang terambilnya kartu warna hitam dan kartu As adalah

Contoh 8 (Soal UN IPS 2017)

Peluang munculnya mata dadu ganjil atau kelipatan 3 pada pelemparan sebuah dadu adalah ....

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

Pembahasan

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6

Misal A adalah himpunan mata dadu ganjil dan B adalah himpunan mata dadu kelipatan 3, maka

A = {1, 3, 5} sehingga n(A) = 3

B = {3, 6} sehingga n(B) = 2

Perhatikan bahwa himpunan A dan B beririsan, maka kejadian ini merupakan kejadian tidak saling lepas.

 = {3} sehinga n() = 1

Jadi peluang munculnya mata dadu ganjil atau kelipatan 3 adalah

Kunci Jawaban C

Peluang Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian dikatakan saling lepas jika irisan dari kedua himpunan itu adalah himpunan kosong/tidak memiliki irisan atau dengan kata lain dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Berdasarkan teori himpunan diperoleh

Jadi rumus peluang kejadian saling lepas adalah

Keterangan

P(A) = Peluang kejadian A

P(B) = Peluang Kejadian B

 = Peluang kejadian saling lepas

Contoh 10

Pada sebuah keranjang terdapat 3 bola biru, 2 bola hijau dan 5 bola merah. Jika dilakukan pengambilan sebuah bola secara acak, hitunglah peluang terambilnya bola warna biru atau merah.

Pembahasan

Misal A adalah bola biru dan B bola merah, maka

Contoh 11 (Soal UN tahun 2018)

Dari 36 siswa di sebuah kelas, 20 siswa suka olahraga renang, 15 siswa suka olahraga basket, dan 6 siswa tidak suka suka kedua-duanya. Bila dipilih seorang siswa secara acak, peluang siswa yang terpilih suka kedua jenis olahraga tersebut adalah ….

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

Pembahasan

Ingat kembali konsep himpunan. Misal A adalah siswa suka renang dan B siswa suka olahraga basket, dan jika  adalah banyak siswa yang tidak suka keduanya maka diketahui

n(S) = 36

 = 6

n(A) = 20

n(B) = 15

maka 

 +  = 36

 + 6 = 36

 = 30

Sehingga diperoleh

 = 

30 = 20 + 15 - 

 = 35 - 30 = 5

Jadi Peluang siswa yang terpilih suka keduanya adalah

Kunci Jawaban B