Pilihan 1. pada Show
1. Grafik suatu fungsi y=f(x) ditunjukkan pada gambar. Tentukan nilai terbesar dari fungsi ini 1 pada segmen [ sebuah; b]. sebuah 0 1 b x 1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2. https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2. 4. Fungsi y=f(x) ditetapkan pada segmen [ sebuah; b]. pada Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya y=f ´(x). Jelajahi untuk yang ekstrem 1 b fungsi y=f(x). Tolong tunjukkan jumlahnya dalam jawaban Anda. sebuah 0 1 x poin minimum. 1) 6; 2) 7; 3) 4; 5. Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi y \u003d -2x2 + 8x -7. 1) -2; 2) 7; 3) 1; 6. Temukan nilai terkecil dari suatu fungsi  1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">. 7. Temukan nilai terkecil dari suatu fungsi y=|2x+3| - . 1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - . https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> memiliki minimum pada intinya x = 1,5? 1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.pada 9. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=f(x) , 1x 0 1 1) 2,5; 2) 3; 3) -3; y=lg(100 – x2 ). 1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 . 11. Temukan nilai terkecil dari suatu fungsi y=2dosa-1. 1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - . Tes 14 Nilai terbesar (terkecil) dari fungsi. https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Grafik fungsi y=f(x) ditunjukkan pada gambar. Tentukan nilai terkecil dari fungsi ini 1 pada segmen [ sebuah; b]. sebuah b 0 1 x 1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
2. pada Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x). Berapa banyak poin maksimum yang dimiliki fungsi tersebut? 1 0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1. 3. Di titik manakah fungsinya? y \u003d 2x2 + 24x -25 mengambil nilai terkecil? https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> di segmen [-3;-1]. 1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5. https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> memiliki minimum pada intinya x = -2? ; 2) -6;; 4) 6.pada 9. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y=f(x) , yang grafiknya ditunjukkan pada gambar. 1x 0 1 1) -1,5; 2) -1; 3) -3; 10. Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi y=catatan11 (121 – x2 ). 1) 11;; 3) 1; 11. Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi y=2karena+3. 1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) . jawaban : Dan untuk mengatasinya, Anda membutuhkan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Tahun ajaran berikutnya berakhir, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya segera turun ke bisnis: Mari kita mulai dengan daerah. Daerah yang dimaksud pada syarat tersebut adalah terbatas tertutup himpunan titik pada bidang. Misalnya, sekumpulan titik yang dibatasi oleh segitiga, termasuk SELURUH segitiga (jika dari perbatasan“Poke out” minimal satu poin, maka area tersebut tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, ada juga bidang persegi panjang, bulat, dan bentuk yang sedikit lebih kompleks. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematis, definisi yang ketat diberikan batasan, isolasi, batasan, dll., tapi saya pikir semua orang menyadari konsep ini pada tingkat intuitif, dan lebih tidak diperlukan sekarang. Area datar secara standar dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai suatu peraturan, diberikan secara analitis - oleh beberapa persamaan (belum tentu linier); ketidaksetaraan lebih jarang. Omset verbal yang khas: "area tertutupdibatasi oleh garis". Bagian integral dari tugas yang sedang dipertimbangkan adalah konstruksi area pada gambar. Bagaimana cara melakukannya? Anda perlu menggambar semua garis yang terdaftar (dalam hal ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang diinginkan biasanya sedikit menetas, dan perbatasannya disorot dengan garis tebal: Area yang sama dapat diatur pertidaksamaan linier: , yang karena alasan tertentu lebih sering ditulis sebagai daftar pencacahan, dan bukan sistem. Karena batas adalah milik daerah, maka semua ketidaksetaraan, tentu saja, tidak ketat. Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan bahwa sumbunya lurus ke arah Anda dari titik asal koordinat. Pertimbangkan fungsi yang kontinu di setiap titik daerah. Grafik dari fungsi tersebut adalah permukaan, dan kebahagiaan kecilnya adalah bahwa untuk memecahkan masalah hari ini, kita tidak perlu tahu seperti apa permukaan ini sama sekali. Itu dapat terletak di atas, di bawah, melintasi pesawat - semua ini tidak penting. Dan berikut ini penting: menurut Teorema Weierstrass, kontinu di terbatas tertutup area, fungsi mencapai maksimum (dari "tertinggi") dan paling sedikit (dari "terendah") nilai yang akan ditemukan. Nilai-nilai ini tercapai atau di titik stasioner, milik daerahD , atau pada titik-titik yang terletak pada batas wilayah ini. Dari mana berikut algoritma solusi sederhana dan transparan: Contoh 1 Di area tertutup terbatas Keputusan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis sulit bagi saya untuk membuat model masalah yang interaktif, oleh karena itu saya akan segera memberikan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua poin "mencurigakan" yang ditemukan selama penelitian. Biasanya mereka diletakkan satu demi satu seperti yang ditemukan: Berdasarkan pembukaan, keputusan dapat dengan mudah dibagi menjadi dua poin: I) Mari kita cari titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang telah kami lakukan berulang kali dalam pelajaran. tentang ekstrem dari beberapa variabel: Ditemukan titik stasioner milik daerah: (tandai pada gambar), yang berarti bahwa kita harus menghitung nilai fungsi pada titik tertentu: - seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen, saya akan menyoroti hasil penting dalam huruf tebal. Di buku catatan, akan lebih mudah untuk melingkari mereka dengan pensil. Perhatikan kebahagiaan kedua kami - tidak ada gunanya memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrim. Mengapa? Bahkan jika pada titik fungsi mencapai, misalnya, minimum lokal, maka ini TIDAK BERARTI bahwa nilai yang dihasilkan akan menjadi minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) . Bagaimana jika titik stasioner BUKAN termasuk area? Hampir tidak ada! Perlu dicatat bahwa dan pergi ke paragraf berikutnya. II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah. Karena perbatasan terdiri dari sisi-sisi segitiga, akan lebih mudah untuk membagi penelitian menjadi 3 subparagraf. Tapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, pada awalnya lebih menguntungkan untuk mempertimbangkan segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat, dan pertama-tama, segmen yang terletak pada sumbu itu sendiri. Untuk menangkap seluruh urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhir "dalam satu napas": 1) Mari kita berurusan dengan sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, kami mengganti langsung ke fungsi: Atau, Anda dapat melakukannya seperti ini: Secara geometris, ini berarti bahwa bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"memotong" dari permukaan parabola "spasial", yang bagian atasnya langsung dicurigai. Mari kita cari tahu dimana dia: - nilai yang dihasilkan "memukul" di area tersebut, dan mungkin saja pada titik itu (tandai pada gambar) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh area. Bagaimanapun, mari kita lakukan perhitungan: "Calon" lainnya, tentu saja, adalah ujung segmen. Hitung nilai fungsi di titik Omong-omong, di sini, Anda dapat melakukan pemeriksaan mini lisan pada versi "dipreteli": 2) Untuk mempelajari sisi kanan segitiga, kami menggantinya ke dalam fungsi dan "menempatkan hal-hal di sana": Di sini kami segera melakukan pemeriksaan kasar, "membunyikan" ujung segmen yang sudah diproses: Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya: - nilai yang dihasilkan juga "memasuki ruang lingkup minat kita", yang berarti bahwa kita perlu menghitung apa fungsinya sama dengan titik yang muncul: Mari kita periksa ujung kedua segmen: Menggunakan fungsi 3) Semua orang mungkin tahu bagaimana menjelajahi sisi yang tersisa. Kami mengganti ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan: Garis berakhir – bertepatan dengan hasil subparagraf ke-2. Masih mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen: - ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari "ketertarikan" ini: Kami menandai titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai: Mari kita kendalikan perhitungan sesuai dengan versi "anggaran" , memesan. Dan langkah terakhir: HATI-HATI melihat semua angka "gemuk", saya sarankan bahkan pemula untuk membuat satu daftar: dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab tulis dengan gaya masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen: Untuk jaga-jaga, saya sekali lagi akan mengomentari arti geometris dari hasilnya: – di sini adalah titik permukaan tertinggi di wilayah tersebut; - di sini adalah titik terendah dari permukaan di daerah tersebut. Dalam masalah yang dianalisis, kami menemukan 7 poin "mencurigakan", tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, "set eksplorasi" minimum terdiri dari tiga titik. Ini terjadi ketika fungsi, misalnya, set pesawat terbang- cukup jelas bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsi dapat mencapai nilai maksimum / minimum hanya di simpul segitiga. Tetapi tidak ada contoh seperti itu sekali, dua kali - biasanya Anda harus berurusan dengan semacam permukaan orde ke-2. Jika Anda menyelesaikan tugas-tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda berputar, dan oleh karena itu saya telah menyiapkan contoh yang tidak biasa bagi Anda untuk membuatnya persegi :)) Contoh 2 Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi Contoh 3 Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup yang dibatasi. Berikan perhatian khusus pada urutan rasional dan teknik mempelajari perbatasan area, serta rantai pemeriksaan menengah, yang hampir sepenuhnya akan menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya, dalam Contoh 2 yang sama, ada setiap peluang untuk secara signifikan memperumit hidup Anda. Contoh perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran. Kami mensistematisasikan algoritme solusi, jika tidak, dengan ketekunan seekor laba-laba, entah bagaimana ia tersesat dalam utas panjang komentar dari contoh pertama: - Pada langkah pertama, kami membangun area, diinginkan untuk menaungi, dan menyorot perbatasan dengan garis tebal. Selama solusi, poin akan muncul yang perlu diletakkan pada gambar. – Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsi hanya di itu, yang termasuk daerah. Nilai yang diperoleh disorot dalam teks (misalnya, dilingkari dengan pensil). Jika titik stasioner BUKAN milik area, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kami menarik kesimpulan tertulis bahwa mereka tidak ada. Bagaimanapun, item ini tidak dapat dilewati! – Menjelajahi daerah perbatasan. Pertama, menguntungkan untuk menangani garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat (jika ada). Nilai fungsi yang dihitung pada titik "mencurigakan" juga disorot. Banyak yang telah dikatakan tentang teknik solusi di atas dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah ini - baca, baca ulang, selidiki! - Dari angka yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawaban. Terkadang fungsi mencapai nilai seperti itu di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua titik ini harus tercermin dalam jawabannya. Biarkan, misalnya, Contoh terakhir dikhususkan untuk ide-ide berguna lainnya yang akan berguna dalam praktik: Contoh 4 Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup Saya telah menyimpan rumusan penulis, di mana area diberikan sebagai ketidaksetaraan ganda. Kondisi ini dapat ditulis dalam sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk masalah ini: Saya mengingatkan Anda bahwa dengan non-linier kami menemukan ketidaksetaraan pada , dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari entri, maka tolong jangan tunda dan klarifikasi situasinya sekarang ;-) Keputusan, seperti biasa, dimulai dengan pembangunan area, yang merupakan semacam "satu-satunya": Hmm, terkadang Anda harus menggerogoti tidak hanya granit ilmu .... I) Temukan titik stasioner: Sistem impian idiot :) Titik stasioner termasuk ke dalam wilayah, yaitu terletak pada batasnya. Jadi, bukan apa-apa ... pelajaran yang menyenangkan berlalu - itulah artinya minum teh yang tepat =) II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x: 1) Jika , maka Temukan di mana puncak parabola adalah: - Hargai saat-saat seperti itu - "tekan" langsung ke intinya, dari mana semuanya sudah jelas. Tapi jangan lupa untuk memeriksa: Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen: 2) Kami akan berurusan dengan bagian bawah "satu-satunya" "dalam satu dudukan" - tanpa kerumitan apa pun kami menggantinya ke dalam fungsi, apalagi, kami hanya akan tertarik pada segmen: Kontrol: Sekarang ini sudah membawa beberapa kebangkitan untuk perjalanan monoton di trek knurled. Mari kita temukan poin-poin kritisnya: Kami memutuskan persamaan kuadrat apakah kamu ingat yang ini? ... Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan dalam pecahan desimal mudah dilakukan (yang, omong-omong, jarang terjadi), maka di sini kita menunggu pecahan biasa biasa. Kami menemukan akar "x" dan, menggunakan persamaan, menentukan koordinat "permainan" yang sesuai dari poin "kandidat": Periksa sendiri fungsinya. Sekarang kami dengan hati-hati mempelajari piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab: Inilah "kandidat", jadi "kandidat"! Untuk solusi mandiri: Contoh 5 Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi Entri dengan kurung kurawal berbunyi seperti ini: "satu set poin sedemikian rupa". Terkadang dalam contoh seperti itu mereka menggunakan Metode pengali Lagrange, tetapi kebutuhan nyata untuk menggunakannya tidak mungkin muncul. Jadi, misalnya, jika fungsi dengan area "de" yang sama diberikan, maka setelah substitusi ke dalamnya - dengan turunan tidak ada kesulitan; apalagi, semuanya disusun dalam "satu garis" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja, ada kasus yang lebih rumit, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana , misalnya, adalah persamaan lingkaran yang sama) sulit untuk melewati - betapa sulitnya untuk bertahan tanpa istirahat yang baik! Semua yang terbaik untuk lulus sesi dan sampai jumpa musim depan! Solusi dan jawaban: Contoh 2: Keputusan: menggambar area pada gambar: Dari segi praktis, yang paling menarik adalah penggunaan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi. Apa hubungannya? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan, seseorang harus memecahkan masalah pengoptimalan beberapa parameter. Dan ini adalah masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi. Perlu dicatat bahwa nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi biasanya dicari pada beberapa interval X , yang merupakan domain seluruh fungsi atau bagian dari domain. Interval X itu sendiri dapat berupa segmen garis, interval terbuka Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) . Navigasi halaman. Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.Mari kita membahas definisi utama secara singkat. Nilai terbesar dari fungsi Nilai terkecil dari fungsi y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima dalam interval yang dipertimbangkan dengan absis. Titik stasioner adalah nilai argumen di mana turunan dari fungsi tersebut hilang. Mengapa kita membutuhkan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi memiliki suatu ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di beberapa titik, maka titik ini stasioner. Jadi, fungsi sering mengambil nilai maksimum (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini. Juga, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana turunan pertama dari fungsi ini tidak ada, dan fungsi itu sendiri didefinisikan. Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: "Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadang-kadang batas-batas interval X bertepatan dengan batas-batas domain fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada tak hingga dan pada batas-batas domain definisi dapat mengambil nilai yang sangat besar dan sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut. Untuk kejelasan, kami memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar - dan banyak yang akan menjadi jelas. Di segmen Pada gambar pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik stasioner di dalam segmen [-6;6] . Perhatikan kasus yang ditunjukkan pada gambar kedua. Ubah segmen menjadi . Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan terbesar - pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval. Pada gambar No. 3, titik-titik batas segmen [-3; 2] adalah absis dari titik-titik yang bersesuaian dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil. Dalam rentang terbuka Pada gambar keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik-titik stasioner dalam interval terbuka (-6;6) . Pada interval , tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik tentang nilai terbesar. di tak terhingga Dalam contoh yang ditunjukkan pada gambar ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) pada titik stasioner dengan absis x=1 , dan nilai terkecil (min y ) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati y=3 . Pada interval, fungsi tidak mencapai nilai terkecil atau terbesar. Karena x=2 cenderung ke kanan, nilai fungsi cenderung minus tak terhingga (garis lurus x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absis cenderung plus tak terhingga, nilai fungsi mendekati y=3 . Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8. Algoritma untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada segmen.Kami menulis algoritma yang memungkinkan kami menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
Mari kita menganalisis algoritme saat memecahkan contoh untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen. Contoh. Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
Keputusan. Domain dari fungsi tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu . Kedua segmen termasuk dalam domain definisi. Kami menemukan turunan dari fungsi sehubungan dengan: Jelas, turunan dari fungsi ada di semua titik segmen dan [-4;-1] . Titik stasioner ditentukan dari persamaan . Satu-satunya akar real adalah x=2 . Titik stasioner ini jatuh ke segmen pertama. Untuk kasus pertama, kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1 , x=2 dan x=4 : Jadi, nilai terbesar dari fungsi Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner): Keputusan. Mari kita mulai dengan ruang lingkup fungsi. Trinomial kuadrat penyebut pecahan tidak boleh hilang: Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua interval dari kondisi masalah termasuk dalam domain fungsi. Mari kita bedakan fungsinya: Jelas, turunan ada di seluruh domain fungsi. Mari kita cari titik stasioner. Turunan menghilang di . Titik stasioner ini berada dalam interval (-3;1] dan (-3;2) . Dan sekarang Anda dapat membandingkan hasil yang diperoleh pada setiap titik dengan grafik fungsi. Garis putus-putus biru menunjukkan asimtot. Ini dapat diakhiri dengan mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut. Algoritme yang dibahas dalam artikel ini memungkinkan Anda mendapatkan hasil dengan tindakan minimum. Namun, akan berguna untuk terlebih dahulu menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi dan hanya setelah itu menarik kesimpulan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval apa pun. Ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan pembenaran hasil yang ketat. Dalam banyak masalah, diperlukan untuk menghitung nilai maksimum atau minimum dari fungsi kuadrat. Maksimum atau minimum dapat ditemukan jika fungsi aslinya ditulis dalam bentuk standar: atau melalui koordinat titik parabola: f (x) = a (x h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Selain itu, maksimum atau minimum dari setiap fungsi kuadrat dapat dihitung menggunakan operasi matematika. LangkahFungsi kuadrat ditulis dalam bentuk standar
Tulis fungsi dalam bentuk standar. Fungsi kuadrat adalah fungsi yang persamaannya memuat variabel x 2 (\gaya tampilan x^(2)). Persamaan mungkin atau mungkin tidak termasuk variabel x (\gaya tampilan x). Jika persamaan mencakup variabel dengan eksponen lebih besar dari 2, itu tidak menggambarkan fungsi kuadrat. Jika perlu, bawa suku-suku sejenis dan atur ulang untuk menuliskan fungsi dalam bentuk standar. Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Cabang-cabang parabola menunjuk ke atas atau ke bawah. Jika koefisien a (\gaya tampilan a) dengan variabel x 2 (\gaya tampilan x^(2)) a (\gaya tampilan a) Hitung -b/2a. Berarti b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) adalah koordinatnya x (\gaya tampilan x) bagian atas parabola. Jika fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk standar a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), gunakan koefisien untuk x (\gaya tampilan x) dan x 2 (\gaya tampilan x^(2)) dengan cara berikut: Terkadang dalam soal B15 ada fungsi "buruk" yang sulit dicari turunannya. Sebelumnya, ini hanya untuk pemeriksaan, tetapi sekarang tugas ini sangat umum sehingga tidak dapat diabaikan lagi saat mempersiapkan ujian ini. Dalam hal ini, trik lain berfungsi, salah satunya adalah - nada datar.
Dengan kata lain, untuk fungsi naik, semakin besar x, semakin besar f(x). Untuk fungsi menurun, kebalikannya benar: semakin banyak x , the lebih kecil f(x). Misalnya, logaritma meningkat secara monoton jika basis a > 1 dan menurun secara monoton jika 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) Akar kuadrat aritmatika (dan tidak hanya kuadrat) meningkat secara monoton di seluruh domain definisi: Fungsi eksponensial berperilaku mirip dengan logaritma: meningkat untuk a > 1 dan menurun untuk 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0: f (x) = a x (a > 0) Akhirnya, derajat dengan eksponen negatif. Anda dapat menuliskannya sebagai pecahan. Mereka memiliki titik istirahat di mana monoton rusak. Semua fungsi ini tidak pernah ditemukan dalam bentuk murninya. Polinomial, pecahan, dan omong kosong lainnya ditambahkan ke dalamnya, karena itu menjadi sulit untuk menghitung turunannya. Apa yang terjadi dalam kasus ini - sekarang kami akan menganalisis. Koordinat titik parabolaPaling sering, argumen fungsi diganti dengan trinomial persegi dalam bentuk y = ax 2 + bx + c . Grafiknya adalah parabola standar, di mana kita tertarik pada:
Yang paling menarik adalah puncak parabola, yang absisnya dihitung dengan rumus: Jadi, kami telah menemukan titik ekstrem dari fungsi kuadrat. Tetapi jika fungsi aslinya monoton, untuk itu titik x 0 juga akan menjadi titik ekstrem. Jadi, kami merumuskan aturan utama:
Dari alasan di atas, masih belum jelas poin apa yang kita dapatkan: maksimum atau minimum. Namun, tugas-tugas itu dirancang khusus sehingga tidak masalah. Nilai sendiri:
Dengan demikian, solusi dari masalah tersebut sangat disederhanakan dan direduksi menjadi hanya dua langkah:
Sepintas, algoritme ini dan pembenarannya mungkin tampak rumit. Saya sengaja tidak memposting skema solusi "telanjang", karena penerapan aturan seperti itu tanpa berpikir penuh dengan kesalahan. Pertimbangkan tugas nyata dari ujian percobaan dalam matematika - di sinilah teknik ini paling umum. Pada saat yang sama, kami akan memastikan bahwa dengan cara ini banyak masalah B15 menjadi hampir verbal. Di bawah akar adalah fungsi kuadrat y \u003d x 2 + 6x + 13. Grafik fungsi ini adalah parabola dengan cabang ke atas, karena koefisien a \u003d 1\u003e 0. Puncak parabola: x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3 Karena cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, pada titik x 0 \u003d −3, fungsi y \u003d x 2 + 6x + 13 mengambil nilai terkecil. Akar meningkat secara monoton, jadi x 0 adalah titik minimum dari seluruh fungsi. Kita punya:
Di bawah logaritma ada lagi fungsi kuadrat: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiknya adalah parabola dengan cabang ke atas, karena a = 1 > 0. Puncak parabola: x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1 Jadi, pada titik x 0 = 1, fungsi kuadrat mengambil nilai terkecil. Tetapi fungsi y = log 2 x monoton, jadi: y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3 Eksponen adalah fungsi kuadrat y = 1 4x x 2 . Mari kita tulis ulang dalam bentuk normal: y = x 2 4x + 1. Jelas, grafik fungsi ini adalah parabola, bercabang ke bawah (a = 1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума: x 0 = b /(2a ) = (−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = 2 Fungsi aslinya adalah eksponensial, monoton, sehingga nilai terbesar akan ditemukan di titik x 0 = 2: Pembaca yang penuh perhatian pasti akan memperhatikan bahwa kami tidak menuliskan area nilai akar dan logaritma yang diizinkan. Tapi ini tidak wajib: di dalamnya ada fungsi yang nilainya selalu positif. Konsekuensi dari ruang lingkup fungsiTerkadang, untuk menyelesaikan soal B15, tidak cukup hanya dengan mencari titik puncak parabola. Nilai yang diinginkan mungkin berbohong di akhir segmen, tetapi tidak pada titik ekstrem. Jika tugas tidak menentukan segmen sama sekali, lihat kisaran toleransi fungsi asli. Yaitu: Perhatikan lagi: nol mungkin berada di bawah akar, tetapi tidak pernah dalam logaritma atau penyebut pecahan. Mari kita lihat cara kerjanya dengan contoh spesifik:
Di bawah akar sekali lagi ada fungsi kuadrat: y \u003d 3 - 2x - x 2. Grafiknya parabola, tetapi bercabang ke bawah karena a = 1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует. Kami menulis area nilai yang diizinkan (ODZ): 3 2x x 2 0 x 2 + 2x 3 0 (x + 3)(x 1) 0 x [−3; satu] Sekarang cari titik puncak parabola: x 0 = b /(2a ) = (−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = 1 Titik x 0 = 1 milik segmen ODZ - dan ini bagus. Sekarang kami mempertimbangkan nilai fungsi pada titik x 0, serta di ujung ODZ: y(−3) = y(1) = 0 Jadi, kami mendapat angka 2 dan 0. Kami diminta untuk menemukan yang terbesar - ini adalah angka 2.
Di dalam logaritma ada fungsi kuadrat y \u003d 6x - x 2 - 5. Ini adalah parabola dengan cabang ke bawah, tetapi tidak mungkin ada angka negatif dalam logaritma, jadi kami menulis ODZ: 6x x 2 5 > 0 x 2 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5) Harap dicatat: ketidaksetaraannya ketat, jadi ujungnya bukan milik ODZ. Dengan cara ini, logaritma berbeda dari akarnya, di mana ujung segmen cukup cocok untuk kita. Mencari titik puncak parabola: x 0 = b /(2a ) = 6/(2 (−1)) = 6/(−2) = 3 Bagian atas parabola pas sepanjang ODZ: x 0 = 3 (1; 5). Tetapi karena ujung segmen tidak menarik bagi kami, kami menganggap nilai fungsi hanya pada titik x 0: y min = y (3) = log 0,5 (6 3 3 2 5) = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 |
Daerah hasil terkecil dari fungsi f(x 2x2 8x 17 adalah)
Pos Terkait
Copyright © 2024 apacode Inc.
