Show
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan
Pengertian AritmatikaAritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap. Rumusan Barisan AritmatikaSuku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut : U1, U2, U3, ….Un Selisih (beda) dinyatakan dengan b
Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Keterangan : Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, … a = suku pertama → U1 = a b = selisih/beda
Bentuk Barisan Aritmatika
Contoh Barisan Aritmatika
Suku Tengah Barisan AritmatikaJika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil. Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan Un = a + b(n-1) Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun. U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n Contoh Barisan Aritmatika :Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, … Jawab:
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
Jawab :
Jadi 198 adalah suku ke- 40 Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : √ 54 Gambar Jaring jaring Balok Lengkap Dengan Contohnya Deret AritmatikaDeret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika. Bentuk umum deret aritmatika : a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b ) Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmatika dirumuskan dengan: Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un ) Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika. Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ). 3 +7 + 1l + 15 + 19 + … Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah : Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Sisipan pada Barisan AritmatikaApabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka: Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:
Keterangan:
Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Rumus Kuartil, Desil, Persentil LENGKAP Contoh Sisipan Barisan AritmatikaAntara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah … Penyelesaian: Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884
Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, … Jawab:
a). -550 b). -250 c). -75 d). -115 c). -250 Penyelesaian :
Jawaban : A 2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah ….. a). 105 b). 120 c). 150 d). 155 e). 165 Penyelesaian :
Jawaban : B
a). 2 b). 3 c). 8 d). 10 e). 12 Penyelesaian :
Jawaban : D
a). 7 b). 6 c). 9 d). 10 e). 18
Jawaban : C
a). 345 b). 44 c). 49 d). -40 e). -44 Penyelesaian :
Eliminasi a + 3b = 11 a + 7b = 23 -4b = -12 b = = 3 Substansi a + 3b = 11 a + 3 (3) = 11 a + 9 = 11 a = 11 – 9 = 2
Jawaban : B
a). 25 b). 26 c). 28 d). 31 e). 34 Penyelesaian :
Eliminasi :
Subtitusi :
Jawaban : A
a). 69 b). 73 c). 77 d). 81 e). 83 Penyelesaian :
eliminasi :
subtitusi :
Jawabannya : d).
a). Rp. 1.205.000 b). Rp. 1.255.000 c). Rp. 260.000.000 d). Rp. 1.530.000 Penyelesaian :
Jawabannya : d). 1.530.000
a). 625.000 unit b). 875.000 unit c). 1.125.000 unit d). 1.375.000 unit e). 1.625.000 unit Penyelesaian :
Jawaban : B
a). 24 b). 25 c). 26 d). 27 e). 28 Penyelesaian :
Jawaban : C Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Rumus Volume Tabung : Luas Permukaan, Tinggi, & Contoh Soal
a).2000 b).1950 c).1900 d).1875 e).1825 Penyelesaian :
Jawaban : D
a).Rp. 670.000 b).Rp. 340.000 c).Rp. 335.000 d).Rp. 220.000 e).Rp. 700.000 Penyelesaian :
Jawabannya : C
a).2 b).8 c).1 d).4 Penyelesaian :
Jawaban : D
a).-81 b).-52 c).-46 d).46 e).81 Penyelesaian :
Jawaban : E
a).4 b).8 c).12 d).14 e).16 Penyelesaian :
Jawaban : E Contoh 2.1
U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U3 – U2
Tentukan unsur ke 1, ke 3, dan ke 4 dari barisan itu. Penyelesaian:
Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:
Contoh 2.2 Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu. Penyelesaian: Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, diperoleh
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20. Contoh 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005? Penyelesaian: Misalkan: a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000. b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun. P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari. Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,- Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika. Contoh 2.4 Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +…. Penyelesaian: Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh karena itu dengan menggunakan rumus Sn =
Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975. Contoh 2.5 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100. Penyelesaian: Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99. Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertamatama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n dengan menggunakan rumus:
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875. Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Rumus Kerucut : Volume Luas Permukaan, Tinggi, Dan Gambar |