Diketahui fungsi y sin 2x 1 0 tentukan nilai Amplitudo dari fungsi tersebut

Sebelum membahas mengenai fungsi Trigonometri, yuk kita kenalan dulu dengan trigonometri.

Trigonometri merupakan suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi.

Dan ternyata, si trigonometri ini memiliki fungsi sederhana. Fungsi trigonometri sederhana terdiri atas fungsi sinus, fungsi cosinus serta fungsi tangen.

Pada setiap fungsi tersebut bisa diuraikan dengan memakai grafik fungsi trigonometri. Berikut informasi selengkapnya.

Periode Fungsi Trigonometri

Fungsi f dengan wilayah R disebut sebagai periodik jika terdapat bilangan p ≠ 0.Sedemikian, sehingga f(x + p) = f (x), dengan

Bilangan positif p terkecil yang memenuhi f (x + p) = f (x) disebut sebagai periode dasar fungsi f.

Apabila fungsi f periodik dengan periode dasar p, maka periode-periode yang berasal dari fungsi f merupakan n x di mana n merupakan bilangan asli.

Apabial f dan g merupakan fungsi yang periodik dengan periode p, maka f + g serta fg juga periodik dengan periode p.

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur a dengan menggunakan kelipatan 2π (satu putran penuh) akan didapatkan titik p(a) yang sama, sehingga secara umum akan berlaku:

• sin ( a + k + 2π) = sin a dengan k ∈ B atau
• sin ( a + k + 360°) = sin a° dengan k ∈ B atau
• cos ( a + k x 2π) = dengan k ∈ B atau
• cos (a + k x 360°) = dengan k ∈ B

Dengan begitu, fungsi dari sinus f(x) = sin x atau f (x) = sin° dan fungsi kosinus f (x) = cos x atau f (x) = cos x° merupakan fungsi periodik dengan periode dasar 2π atau 360°.

2. Periode fungsi tangen

Dalam penambahan panjang busur a dengan kelipatan π  (setengah putaran penuh) akan didapatkan titik p( a + k x p)  yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut, sehingga bentuknya secara umum adalah tan ( a + k x π) = tan a dengan k ∈ B atau tan (a + k x 1806◦) = tan a° dengan k ∈ B.

Dengan begitu, tangen f(x) atau f (x) = tan° merupakan fungsi periodik dengan periode π atau 180°.

Dengan td merupakan tidak didefinisikan. Untuk memudahkan pemahaman kalian, maka perhatikan segitiga di bawah ini:

Dari konsep segitiga di atas, maka kita dapatkan nilai setiap sudut 30°, 45°, dan 60°. Untuk sudut 0° dan 90° maka akan kita dapatkan dengan menggunakan cara sebagai berikut:

Kita peroleh:

• sin a = y/r
• cos a = x/ r
• tan a = y/ x

Apabila titik dari P(x, y) bergerak mendekati sumbu X positif, maka akhirnya akan berimpit dengan sumbu X, sehingga x = r, y = 0, x = r, y = 0, serta a° = 0°, sehingga;

• sin a = 0/r = 0
• cos a = r/ r = 1
• tan a = 0/r = 0

Apabila titik P(x, y) bergerak mendekati X positif, maka akhirnya akan berimpit dengan sumbu X, x = r, y = 0, x = r, y = 0, serta a° = 0°, sehingga;

• sin 0° = 0/r = 0
• cos 0° = r/ r = 1
• tan 0° = 0/r = 0

Jika titik P(x,y), P(x,y) bergerak mendekati sumbu Y positif, maka akhirnya berimpit dengan sumbu Y, sehingga;

x = 0, y = r, serta a° = 90°, sehingga;

• sin 90° = 0/r = 0
• cos 0° = r/ r = 1
• tan 0° = r/0 = tidak didefinisikan

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y), P(x,y) dalam fungsi trigonometri mempunyai hubungan:

• –r ≤ x ≤ r dan -r ≤ y ≤ r
• -1 ≤ x/ r ≤ 1 dan -1 ≤ y/ r ≤ 1
• -1 ≤ cos a ≤ 1 dan -1 ≤ sin a ≤ 1

Berdasarkan uraian di atas, maka bisa dikemukakan jika:

Nilai maksimum serta minimum fungsi sinus

• Fungsi sinus y = f(x) = sin x mempunyai nilai maksimum ymaks = 1 yang dicapai untuk x = 1/2π + k x 2π dengan k ∈ B serta nilai minimum ymin = -1 yang dicapai untuk x = 3/2π + k x 2π dengan k ∈ B.
• Fungsi kosinus y = f(x) = cos x  memiliki nilai maksimum ymaks = 1 yang dicapai untuk x = k x 360° dengan k ∈ B dan nilai minimum ymin = -1 yang dicapai untuk x = 180 + k x 360° dengan k ∈ B.

Secara umum bisa dikemukakan jika:

1. Apabila fungsi sinus y = f(x) = a sin( bx + c) + d, maka nilai maksimumnya ymaks = |a| + d dan nilai minimumnya adalah ymin = -|a| + d.
2. Apabila fungsi cosinus y = f(x) = a sin( bx + c) + d, maka nilai maksimumnya ymaks = |a| + d dan nilai minimumnya adalah ymin = -|a| + d.

Apabila y = f(x) merupakan fungsi periodik dengan nilai maksimum ymaks dan minimum ymin, maka amplitudonya ialah sebagai berikut:

1. Grafik fungsi baku f (x) = sin x; f(x) = cos x; dan f (x) = tan x 

Sinus

Kosinus

Tangen

2. Grafik fungsi f (x) = a sin x; f(x) = a cos x; dan f (x) = a tan x 

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat pada masing-masing titik pada grafik baku dengan bilangan a, sementara untuk absisnya tetap. Periode grafik tetap 2π untuk kosinus serta sinus. Sementara untuk periode tangen π.

Sinus

Misalnya a = 2, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

Kosinus

Misalnya a = 2, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

Tangen

Misalnya a = 2, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

3. Grafik fungsi f (x) = a sin kx; f(x) = a cos kx; dan f (x) = a tan kx 

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan ordinat pada setiap titik di grafik baku dengan bilangan a, sementara periode grafik sinus dan kosinus menjadi:

2π/ |k|

Dan tangen

π/ |k|

Sinus

Misalnya  a = 1 dan k = 2, maka grafiknya adalah:

Kosinus

Misalnya a = 1 dan k = 2, maka grafiknya adalah:

Tangen

Misalnya a = 1 dan k = 3, maka grafiknya adalah:

** fungsi y = tan x digambarkan dengan garis putus-putus
** fungsi y = tan 3x digambarkan dengan garis penuh.

4. Grafik fungsi f (x) = a sin (kx ± b); f(x) = a cos (kx ± b); dan f (x) = a tan (kx ± b).

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat pada masing-masing titik pada grafik baku dengan bilangan a, sementara absisnya digeser sejauh:

b/ k

Apabila b positif, absis digeser kekiri. Serta apabila b negatif, absis digeser kekanan. Sementara untuk periode grafik sinus dan kosinus menjadi:

2π/ |k|

Dan tangen

π/ |k|

Sinus

Misalnya a = 1, k  = 1, dan b = + 30° , maka grafiknya akan menjadi:

Kosinus

Misalnya a = 1, k  = 1, dan b = + 30° , maka grafiknya akan menjadi:

5. Grafik fungsi f (x) = a sin (kx ± b) ± c; f (x) = a cos (kx ± b) ± c; dan f (x) = a tan (kx ± b) ± c.

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat pada masing-masing titik pada grafik baku dengan bilangan a, sementara absisnya digeser sejauh:

b/ k

Apabila b positif, absis digeser kekiri. Serta apabila b negatif, absis digeser kekanan. Koordinat diperoleh dengan menggeser titik koordinat grafik baku ke atas apabila c positif serta ke bawah apabila c negatif.

Sementara untuk periode grafik sinus dan kosinus menjadi:

2π/ |k|

Dan tangen

π/ |k|

Misalnya a = 1, k = 1, b = 0, serta c = 1 , maka grafik untuk sinusnya menjadi:

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan

Soal 1.

Fungsi  y = 10 sin x – 4. Tentukanlah nilai maksimum, minimum, serta amplitudo fungsi tersebut.

Jawab:

y = 10 sin x – 4 y = |10| + (-4) = 6 y = 1 |10| + (-4) = -10 – 4 = -14

Amplitudo = 1/2 (y – y) = 1/2 (6 – (-14)) = 10

Soal 2.

Tentukan nilai maksimum dan juga nilai minimum fungsi f(x) = 8 sin( x + 3π/ 2) cos x!

Jawab:

Gunakan:

2 sin a cos β  = sin (a + β) + sin ( a – β)

f (x) = 8 sin( x + 3π/ 2) cos x f(x) = 4 x 2 sin ( x + 3π/ 2) cos

f(x) = (sin( x + 3π/ 2 – x))

f(x) = 4(sin( 2x + 3π/ 2) + sin (π/ 2)) = 4(sin( 2x + 3π/ 2) -1)

f (x) = 4 sin (2x + 3π/ 2) -4

Sehingga:

• Untuk sin ( 2x + 3π/ 2)  = 1, maka fmaks = 4(1) – 4 = 0
• Untuk sin ( 2x + 3π/ 2)  = -1, maka fmin = 4(-1) – 4 = -8

Soal 3.

Bagilah sudut lancip a menjadi 2 bagian, sehingga akan mendapatkan hasil perkalian kosinus-kosinusnya mencapai nilai maksimum.

Htiunglah nilai maksimum tersebut.

Jawab:

Misalkan 2 bagian sudut merupakan x serta α-x, maka f(x)=cos⁡x cos⁡(α-x). Berdasarkan rumus trigonometri sehingga;

2 cos a cos β = cos (a + β) + cos (a – β), maka;

f (x) = 1/2 (cos(x + (a – x)) + cos(a – (a – x)))

f (x) = 1/2 (cos a + cos(2x – a))

f (x) akan bernilai maksimum apabila cos (2x – a)  = 1, sehingga;

fmaks = 1/2 (cos(a) + cos(2x – a)) = 1/2 (cos(a) + 1)

Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan mengenai limit matematika. Semoga ulasan di atas mengenai limit matematika dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.

Referensi: Yuksinau