You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN DAN PERBUKUAN PUSAT KURIKULUM DAN PERBUKUANMatematika Dicky Susanto, dkk i SMA/SMK Kelas XHak Cipta pada Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia.Dilindungi Undang-Undang. Disclaimer: Buku ini disiapkan oleh Pemerintah dalam rangka pemenuhan kebutuhan buku pendidikan yang bermutu, murah, dan merata sesuai dengan amanat dalam UU No. 3 Tahun 2017. Buku ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi. Buku ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis atau melalui alamat surel [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas 32 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Page 2
Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi BabRepublik Indonesia, 2021 2Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPenulis: Dicky Susanto, dkkISBN: 978-602-244-526-5Barisan dan DeretPengalaman BelajarSetelah mempelajari bab ini, kalian diharapkandapat:1. mendeskripsikan perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri;2. menentukan suku ke-n dan beda dari barisan aritmetika;3. menentukan suku ke-n dan rasio dari barisan geometri;4. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan aritmetika dan barisan geometri;5. menentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri;6. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret aritmetika dan deret geometri;7. menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga;8. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret geometri tak hingga.Barisan dan deret sangat erat kaitannya dengan konsep pola bilangan yang telahkalian pelajari pada tingkat SMP. Penerapan barisan dan deret sangat mudah ditemuidalam kehidupan sehari-hari. Seperti yang ada di halaman bab pembuka, konsep barisan dan deret terkaitdengan menghitung susunan kursi dengan banyaknya kursi yang berbeda di tiapbarisnya. Kalian dapat menentukan banyak objek yang disusun dengan pola piramidadi mana objek tersebut dapat bertambah atau berkurang secara konstan. Kalian jugadapat menentukan panjang lintasan dari bola yang dipantulkan.Pertanyaan Pemantik1. Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmetika atau barisan geometri?2. Apa perbedaan barisan dan deret?3. Bagaimana menentukan suku ke-n dari suatu barisan?4. Bagaimana menentukan rumus Un dari suatu bilangan?5. Apakah perbedaan deret aritmetika atau deret geometri?6. Bagaimana menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret?7. Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga?Kata KunciBarisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, deret geometri, deretgeometri tak hinggaPeta Konsep34 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Mengingat Kembali• Pola bilangan adalah susunan bilangan yang membentuk pola tertentu.• Suku ke-1 dilambangkan dengan U1.• Suku ke-2 dilambangkan dengan U2.• Suku ke-3 dilambangkan dengan U3.• Suku ke-n dilambangkan dengan Un.Eksplorasi 2.1 Meja Segi Empat Ayo BereksplorasiAyo bandingkan banyak meja dan kursi pada kedua gambar di bawah ini. PadaGambar 2.1, terdapat satu meja berbentuk segiempat yang dilengkapi empat kursi.Jika dua meja disatukan, maka dapat dilengkapi dengan 6 kursi (Gambar 2.2)Gambar 2.1 Meja Segi Empat dengan Gambar 2.2 Dua Meja Segi Empat Disatukan Empat Kursi Ayo BerdiskusiJawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi bersama teman kelompokmu.1. Berapa orang yang dapat duduk di kursi dengan sejumlah meja yang disatukan? Ayo berkolaborasi dengan temanmu dalam mengisi tabel 2.1 untuk menjawab pertanyaan tersebut. Bab 2 | Barisan dan Deret 35Tabel 2.1 Banyak Meja dan Kursi Banyak meja 1 2 3 4 5 6 Banyak kursi 4 6 ... ... ... ...2. Jika terdapat 20 orang yang akan makan bersama dalam satu meja, maka berapa meja yang perlu disatukan? Bagaimana kalian mengetahuinya? Jelaskan jawabanmu.A. BarisanTabel 2.1 menampilkan pola bilangan: 4, 6, 8, 10, ….Jika diamati lebih teliti, pola bilangan di atas disusun berdasarkan aturan tertentu.Pola bilangan yang demikian disebut dengan barisan bilangan.Terdiri dari berapa suku barisan bilangan tersebut?• Suku ke-1 dilambangkan dengan U1= ...• Suku ke-2 dilambangkan dengan U2= ...• Suku ke-3 dilambangkan dengan U3= ...• Suku ke-4 dilambangkan dengan U4= ...• Suku ke-n dilambangkan dengan UnSehingga, barisan bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk umum, yaituU1,U2,U3,U4,…………,Un.1. Barisan Aritmatika• Selanjutnya, aturan apa yang ada pada barisan bilangan pada Tabel 2.1?• Operasi penghitungan apa yang ada di antara suku-suku pada barisan bilangan di atas? 4 6 8 10 ... ... ...• Berapakah beda atau selisih antara dua suku yang berdekatan? U2 – U1 = ... – ... = ... U3 – U2 = ... – ... = ... U4 – U3 = ... – ... = ...• Apakah beda atau selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama?36 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSuatu barisan dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan selalutetap atau konstan disebut BARISAN ARITMETIKA. Beda pada barisan aritmetikadilambangkan dengan b. Seperti yang telah diuraikan di atas, untuk mencari beda dapat dilakukan dengancara mengurangkan dua suku yang berurutan sehingga dapat dituliskan sebagaiberikut.b = U2 – U1b = U3 – U2b = U4 – U3 dan seterusnya. Jadi, beda pada barisan aritmetika dapat dinyatakan dengan b = Un – U(n–1)Eksplorasi 2.2 Gedung Pertunjukan SeniAyo BereksplorasiAyo cermati banyak kursi di tiap barispada gedung pertunjukkan seni yangtampak pada Gambar 2.3:Baris ke-1 = 20Baris ke-2 = 24Baris ke-3 = 28Baris ke-4 = 32Baris ke-5 = 36Berapakah jumlah kursi pada bariske-15? Gambar 2.3 Gedung Pertunjukan Seni Untuk menentukan banyak kursi pada baris ke-15, sebelumnya kalian amatiterlebih dahulu banyak kursi di tiap baris.• Berapa beda atau selisih banyak kursi pada tiap baris?• Baris ke-1 = 20• Baris ke-2 = 24 = 20+ ... (20 ditambah ... sebanyak ... kali)= 20 + (… × …)• Baris ke-3 = 28 = 20 + ... + ... (20 ditambah ... sebanyak ... kali)= 20 + (… × …) Bab 2 | Barisan dan Deret 37• Baris ke-4 = 32 = 20 + ... +... +... (20 ditambah ... sebanyak ... kali) = 20 + (… × …)• Baris ke-5 = 36 = 20 + ... + ... + ... +... (20 ditambah ... sebanyak ... kali) = 20 + (… × …)• Jadi, pada baris ke-15 = 20 ditambah … sebanyak …. kali = 20 + (… × …) = ...Baris ke-15 = 20 + (… × …) = ...Suku ke-n (Un) selisih/beda (b) (n-1)Suku pertama (a)Jadi, rumus umum menentukan suku ke-n pada barisan aritmetika adalah: Un = a + (n - 1) bKeterangan: a = suku pertama n = nomor suku b = bedaUn = suku ke-n Contoh:1. Diketahui suatu barisan aritmetika, suku ke-3 = 9, suku ke-6 = 18. Tentukan rumus suku ke-n. Alternatif penyelesaian:38 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XRumus suku ke-n : Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 3n2. Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-5, nominal uang yang ditabung Rp70.000,00 dan pada bulan ke-9 Rudi menabung sebesar Rp90.000,00. a. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan? b. Tentukan berapa rupiah uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya? Alternatif Penyelesaian: U5 = 70.000 a + (5 – 1)b = 70.000 a + 4b = 70.000 ... (persamaan 1) U9 = 90.000 a + (9 –1)b = 90.000 a + 8b = 90.000 ... (persamaan 2) Eliminasi Persamaan 1 dan 2 a + 8b = 90.000 a + 4b = 70.000 – 4b = 20.000 b = 5.000 b adalah beda atau selisih.Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah Rp5.000,00. Selanjutnya, menentukan uang yang ditabung Rudi pertama kali, yaitumenentukan suku pertama yang dilambangkan dengan a dengan bantuan nilai b(beda) yang telah diketahui.Gunakan persamaan 1, lalu substitusi nilai b (beda) yang telah diperoleh. Bab 2 | Barisan dan Deret 39a + 4b = 70.000 a + 4(5.000) = 70.000 a + 20.000 = 70.000 a = 70.000 – 20.000 a = 50.000 a adalah suku pertama. Jadi, uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya adalah sebesarRp50.000,00. Penjelasan di atas menggunakan Persamaan 1 untuk menentukan sukupertama. Bagaimana jika menggunakan Persamaan 2? Apakah hasilnya akan sama?Ayo MencobaLatihan 2.11. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.a. 8, 5, 2, -1, … c. -15, -11, -7, …b. 2, 3, 5, 8, d. …10, 8, 4, -2, …Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 1.• Apakah barisan di atas barisan aritmetika?• Jika iya, berapa beda dari barisan tersebut? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan di atas.• Jika tidak, maka aturan apa yang terdapat pada barisan bilangan tersebut?2. Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut: 5, –2, –9, –16, …Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 2.• Berapa beda pada barisan tersebut?• Un = a + (n – 1)bMaka, suku ke – 50 = U50 = ...40 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X3. Jika diketahui barisan aritmetika dengan sukuke - 3 dan suku i Hintke - 8 = –2. Tentukan suku pertama, beda, serta Tahap penyelesaianrumus suku ke - n dari barisan tersebut. soal nomor 3 dapat dilihat pada contoh2. Barisan Geometri soal 1 dan 2.Ayo BereksplorasiEksplorasi 2.3 Melipat kertasSiapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu ayo Gambar 2.4 Kertas Dilipat Satu Kalibereksplorasi melipat kertas beberapa kali. Jikakertas tersebut dilipat sebanyak 1 kali seperti padaGambar 2.4, maka kertas akan terbagi menjadi2 bagian sama besar. Lanjutkan melipat kertassebanyak beberapa kali, lalu tuliskan jumlahbagian sama besar yang terbentuk pada Tabel 2.2. Tabel 2.2 Jumlah Lipatan Kertas dan Bagian Sama Besar yang TerbentukJumlah melipat kertas 1 kali 2 kali 3 kali 4 kali 2 bagian ... bagian ... bagian ... bagianBanyaknya bagian samabesar yang terbentuk Ayo Berpikir KreatifTemukan cara melipat kertas yang berbeda. Bagaimana dengan jumlah bagiansama besar yang terbentuk? Apakah sama dengan yang ada pada tabel? Jelaskan.• Apakah banyaknya bagian yang sama besar pada lipatan kertas membentuk barisan bilangan?• Aturan apa yang terdapat pada barisan bilangan tersebut?• Operasi hitung apa yang ada di antara suku-suku pada barisan bilangan di atas? 2 4 8 ... ... ... ...• Ayo amati rasio antara dua suku yang berdekatan. Bab 2 | Barisan dan Deret 41• Apakah rasio antara dua suku yang berdekatan selalu sama? Suatu barisan dengan rasio antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstandisebut BARISAN GEOMETRI. Rasio pada barisan geometri dilambangkan denganr. Seperti yang telah diuraikan di atas, untuk mencari rasio dapat dengan membagidua suku yang berurutan. Dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut. dan SeterusnyaJadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan denganEksplorasi 2.4 Pembelahan BakteriAyo Bereksplorasi Bakteri merupakan makhluk hidup yang berkembang biak dengan cara membelah diri. Dalam waktu dua jam, satu sel bakteri membelah diri menjadi 3 bagian seperti pada Gambar 2.5. Ayo mencari jumlah bakteri setelah 20 jam, jika jumlah awal adalah 2 sel bakteri!Gambar 2.5 Pembelahan pada Bakteri42 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XUntuk menentukan jumlah sel bakteri setelah 20 jam, kalian harus melengkapipernyataan di bawah ini.• Suku pertama pada permasalahan di atas adalah ….• Tiap dua jam, membelah menjadi 3, maka rasio pada barisan di atas adalah ….Dalam 20 jam, terjadi pembelahan sebanyak 20 jam : 2 jam = … kali → n = 10.U… = … (2 dikali 3 sebanyak … kali) = 2 × 3… (2 dikali 3 sebanyak … kali) = 2 × 3…U1 = 2 (2 dikali 3 sebanyak … kali) = 2 × 3…U2 = 2 ×… (2 dikali 3 sebanyak … kali) = 2 × 3…U3 = 2 × … × …U4 = 2 × … × … × …U5 = 2 ×… ×… ×… × …U10 = 2 dikali 3 sebanyak … kaliU10 = 2 × 3…Suku ke-n (Un) (n-1) rasio (r)Suku pertama (a)Jadi, rumus umum menentukan suku ke-n pada barisan geometri adalah:Keterangan: a = suku pertama n = nomor suku r = rasioUn = suku ke-n Contoh:1. Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 4 dan suku ke-4 adalah 108. Tentukan rasio dari barisan tersebut. Alternatif penyelesaian: Bab 2 | Barisan dan Deret 43(substitusi nilai a) Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3.2. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan ukuran panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang adalah 81 cm, maka tentukan panjang tali pada potongan ketiga.Alternatif penyelesaian:Tali yang paling pendek : a = 16Tali yang paling panjang : U5 = 81 U3 = …Kalian harus menentukan rasio terlebih dahulu. (substitusi nilai a) i Hint Pada soal mengenai barisan geometri, dapat juga memanfaatkan konsep sifat bilangan eksponen. Jadi, panjang tali pada potongan ketiga adalah 36 cm.44 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XLatihan 2.21. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.a. , … , … c. 2, 2, 4, 12, …b. 25, 5, 1, … , … d. 3, 3, 3, 3, …Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 1.• Apakah barisan di atas merupakan barisan geometri atau aritmetika? Bagaimana kalian mengetahuinya? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan di atas.• Jika bukan keduanya, maka aturan apa yang ada pada barisan bilangan tersebut? Ayo diskusikan dengan teman kelompokmu.2. Tentukan suku ke-10 dari barisan 64, 32, 16, 8, …. Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2. • Berapa rasio pada barisan tersebut? • Maka, suku ke-10 = U10 = … … … … …3. Jika diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 = 80 dan suku ke-6 = 5.Tentukan tiga suku pertama dari barisan geometri tersebut. Ayo BerefleksiPada subbab 2.1, kalian telah belajar mengenai barisan aritmetika dangeometri.1. Apa perbedaan antara barisan aritmetika dan geometri?2. Bagaimana kalian mengetahui suatu barisan merupakan barisan aritmetika atau geometri? Ayo Berpikir KreatifBerikan contoh aplikasi barisan bilangan dalam kehidupan sehari-hari selaindari yang telah dibahas pada subbab 2.1. Bab 2 | Barisan dan Deret 45Ayo Berpikir KritisSeorang teman kalian mengatakan bahwa jika rasio pada barisan geometriberupa bilangan bulat/bilangan pecahan positif, maka barisan geometri tersebutterdiri dari bilangan bulat/pecahan positif. Dan apabila rasionya bilangan bulat/pecahan negatif, maka barisan geometri tersebut terdiri dari bilangan bulat/pecahan negatif. Setujukah kalian dengan pendapatnya? Jelaskan.B. DeretAyo Mengingat KembaliBarisan bilangan, terdiri atas barisan aritmetika dan barisan geometri.• Beda pada barisan aritmetika dinyatakan dengan .• Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan• Rasio pada barisan geometri dinyatakan dengan .• Suku ke-n barisan geometri dinyatakan denganEksplorasi 2.5: Jabat Tangan Ayo BereksplorasiAyo bereksplorasi dengan melakukan jabat tangandengan beberapa teman yang ada di kelompokmu.Ayo BerdiskusiSetelah itu, jawablah pertanyaan berikut dengan Gambar 2.6 Siswa SMA Salingberkolaborasi bersama anggota kelompok. Berjabat Tangan1. Jika ada 2 orang, berapa banyak jabat tangan yang terjadi? ………………..2. Jika ada 3 orang, berapa banyak jabat tangan yang terjadi? ………………..46 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X3. Jika ada 4 orang, berapa banyak jabat tangan yang terjadi? ………………..4. Berapa total siswa dalam kelompokmu, dan berapa banyak jabat tangan yang terjadi? Bagaimana kalian mengetahuinya? ……………….. Ayo Berpikir KritisApakah banyak jabat tangan di atas membentuk barisan? Jelaskan jawabanmu.Dari Eksplorasi 2.5, banyak jabat tangan yang terjadi dapat dinyatakan sebagaiberikut.Tabel 2.3 Banyak Jabat Tangan yang Terjadi di KelasBanyaknya orang yang hadir Banyak jabat tangan Uraian dari banyak jabat tangan Dua orang 1 1 Tiga orang 3 1+2 Empat orang .. 1+…+… Lima orang … 1+…+…+…• Apakah uraian dari jumlah jabat tangan merupakan bentuk penjumlahan dari barisan bilangan?Bentuk penjumlahan dari barisan bilangan akan membentuk deret bilangan.Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku penyusun barisan bilangan.Deret bilangan, terdiri dari deret aritmetika dan deret geometri.1. Deret Aritmetika ? Tahukah Kalian? Gambar 2.7 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorangCARL FRIEDRICH GAUSS matematikawan Jerman yang telah menunjukkan bakatnya sejak kecil. Ketika duduk di kelas 4 SD, guru Sumber: shorturl.at/auOW0 matematikanya memberikan soal berupa penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4+ … … … + 98 + 99 + 100 = … Tidak membutuhkan waktu yang lama, Gauss yang saat itu masih berusia 10 tahun langsung menjawab “5050”. Bab 2 | Barisan dan Deret 47Berikut cara Gauss menyelesaikan penjumlahan bilangan tersebut. 101 101 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 +100 101 101 Ia mengelompokkan suku-suku pada deret tersebut sehingga memiliki nilai yangsama ketika dijumlahkan.Sekarang, ayo cermati kembali deret bilangan di atas.1 + 2 + 3 + 4 +………… + 98 + 99 + 100 = …• Apakah bilangan pada deret di atas membentuk barisan?• Barisan apakah yang dibentuk dari suku-suku pada deret di atas? Deret aritmetika adalah suatu deret yang diperoleh dari menjumlahkan suku-suku pada barisan aritmetika.Dari barisan aritmetika: U1, U2, U3, U4, … … …, Un.Dapat dibentuk deret aritmetika: U1 + U2 + U3 + U4 + … … … + U10 Jumlah 4 suku pertama deret aritmetika: S₄ 48 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XJumlah 10 suku pertama deret aritmetika: S10 Jumlah 4 suku pertama deret aritmetika Jumlah 10 suku pertama deret aritmetika Dari kedua contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus Jumlah n suku pertama deret aritmetika: Penjumlahan deret aritmetika dibalik dari U1 menuju Un menjadi Un menuju U1 Karena, Un = a + (n – 1)b Bab 2 | Barisan dan Deret 49Rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah atau Keterangan: Sn = jumlah deret sebanyak n suku pertama a = suku pertama b = beda n = banyaknya sukuAyo MencobaDengan rumus di atas, ayo hitunglah berapa jumlah deret bilangan1 + 2 + 3 + 4+ … … … + 98 + 99 + 100 = …Apakah hasilnya sama dengan penghitungan Gauss?Contoh:Diketahui deret: 13 + 16 + 19 + 22 + ……Jumlah 30 suku pertama deret tersebut adalah ……Alternatif penyelesaian:Suku pertama atau a = 13 b=3 n = 30 2. Deret GeometriEksplorasi 2.6 Jumlah Pasien Terinfeksi Covid-19 Ayo BereksplorasiDi suatu kota tercatat peningkatan yang signifikan dari jumlah pasien yangterinfeksi Covid-19. Berikut data yang dihimpun dari Gugus Covid-19 kota tersebut.50 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XTabel 2.4 Jumlah Pasien Terinfeksi Covid-19 dalam Waktu 5 BulanBulan Januari Februari Maret April MeiJumlah pasien 2020 2020 2020 2020 2020 12 36 108 324 4Jawablah pertanyaan di bawah ini terkait data pada tabel 2.4.• Apakah jumlah pasien membentuk barisan bilangan?• Berapa beda atau rasio dari barisan di atas?• Terdiri dari berapa suku barisan tersebut? Ayo Bekerja SamaAyo cermati jumlah suku-suku deret geometri dengan melengkapi Tabel 2.5melalui data yang ada pada Tabel 2.4 bersama teman kelompokmu.Tabel 2.5 Proses Menemukan Kembali Rumus Jumlah Deret Geometri 1 2 3S2 : jumlah pasien S2 = 4 + 12 = …dua bulan pertamaS3 : jumlah pasien S3 = … + … + …tiga bulan pertama =…S4 : jumlah pasienempat bulan S4 = … + … + … +pertama …=…Dari kolom nomor 3 diperoleh: Bab 2 | Barisan dan Deret 51Sehingga, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret geometri adalah: , untuk r ≠1 dan r >1. , untuk r ≠1 dan r <1.Keterangan: Sn = jumlah deret sebanyak n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyaknya sukuContoh:Hasil produksi sebuah perusahaan sepeda pada tahun 2020 meningkat setiapbulannya dan membentuk barisan geometri. Produksi pada bulan Januari sebanyak120 unit. Pada bulan April, hasil produksi mencapai 3.240 unit. Berapakah total hasilproduksi sepeda hingga bulan Mei?Alternatif penyelesaian:Hasil produksi Januari: U1 = a = 120Hasil produksi April: U1 = 3.240Total hasil produksi hingga bulan Mei: S5Sebelum menentukan S5, harus dicari ratio (r) terlebih dahulu. (substitusi nilai a) 52 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XJadi, total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei adalah sebanyak 14.520 unit.Latihan 2.31. Tentukanlah jumlah bilangan kelipatan 4 di antara bilangan 10 hingga 100.Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 1.• Sebelum menentukan jumlah deret bilangan, i Hint kalian harus menentukan terlebih dahulu Untuk mengetahui jumlah Tuliskan terlebih dahulu bilangan banyaknya suku kelipatan 4 dari 10 hingga 100: pada deret tersebut, kalian harus• 12 + … + … + …. + …………….. + …. + …. mengetahui suku pertama, beda• Suku terakhir dari deret bilangan tersebut dan banyak suku adalah ………... terlebih dahulu.• Suku terakhir: Un=a+(n - 1)b• Selanjutnya, menentukan S5 dengan nilai n yang telah diketahui sebelumnya.• Jadi, jumlah bilangan kelipatan 4 di antara bilangan 10 hingga 100 adalah ……………2. Suku pertama dan rasio dari suatu deret geometri berturut-turut adalah 9 dan 3. Tentukan banyak suku jika diketahui jumlah deret bilangan tersebut adalah 9.837.Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawabsoal nomor 2.• Dari soal, diketahui:a = … r = … Sn = …• Dengan tiga informasi di atas, maka dapat ditentukan n = …3. Diketahui deret geometri berikut ini: Tentukan nilai Y. Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 3. • Dengan nilai a ,r dan Sn yang telah terdapat pada soal, kalian akan mendapatkan nilai n. • Setelah memperoleh nilai n, kalian dapat menentukan nilai Y. Bab 2 | Barisan dan Deret 533. Deret Geometri Tak HinggaEksplorasi 2.7 Panjang Lintasan Bola Ayo BereksplorasiBola tenis dilemparkan ke atas setinggi 1 Bolam. Bola tersebut akan terus memantul dilemparsampai akhirnya berhenti. Setelahdicermati, setiap kali bola memantul, Pantulantingginya menjadi kali dari tinggi pertamapantulan sebelumnya. Kira-kira berapapanjang lintasan bola dari awal memantul Pantulansampai berhenti? Ayo bereksplorasi keduadengan melakukan percobaan melemparbola bersama teman kelompokmu, lalu Pantulanjawablah pertanyaan di bawah ini. ke n-1 Pantulan ke-n bola diam Gambar 2.8 Lintasan Bola• Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret geometri? Bagaimana kalian mengetahuinya?• Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola memantul sampai akhirnya berhenti?Ayo Berpikir KreatifApakah panjang lintasan bola akan sama jika bola dijatuhkan dari ketinggiantertentu atau dilempar dari bawah? Jelaskan jawabanmu.Pada permasalahan diketahui rasio = .Maka total panjang lintasan dapat ditentukan dengan rumus jumlah deret geometriberikut: maka54 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X, dengan n = ∞ -1 < r < 1Deret geometri tak hingga konvergen dengan -1 < r < 1:Deret geometri tak hingga divergen dengan r < -1 atau r > 1: .Keterangan: a = suku pertama r = rasioS∞ = jumlah deret geometri tak hingga Ayo Berpikir KritisMengapa jumlah suku deret geometri tak hingga divergen hasilnya ±∞?Jelaskan jawabanmu! Ayo MencobaAyo berkolaborasi dengan teman kelompokmu, lalu hitunglah berapa totalpanjang lintasan bola tenis pada Eksplorasi 2.7? Bab 2 | Barisan dan Deret 55i Hint Dalam menghitung Panjang lintasan bola, terdapat dua deret tak hingga, yaitu: deret tak hingga ketika bola jatuh dan ketika bola memantul ke atas.Contoh:Tentukan jumlah deret tak hingga dari 81 + 27 + 9 + 3 + …..Alternatif penyelesaian:Deret tak hingga di atas merupakan deret tak hingga konvergen, karena r = masukdalam rentang-1 < r < 1, maka jumlah deret tak hingga adalah:Latihan 2.4 i Hint1. Suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah Dalam menyelesaikan soal x. Tentukan x yang memenuhi sehingga jumlah deret deret tak hingga, geometri tak hingga tersebut adalah 10. kalian harus selalu ingat syarat Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu rasio dari deret kalian dalam menjawab soal nomor 1. konvergen maupun divergen • Soal di atas hanya berisi informasi yaitu S∞ = 10. • Karena S∞ = 10 maka deret geometri tak hingga yang dimaksud pada soal adalah deret geometri tak hingga konvergen.• Hubungkan rumus jumlah deret geometri tak hingga dengan syarat rasio pada deret konvergen.56 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X2. Agar deret geometri 1 + (m - 1) + (m -1)2 + (m - 1)3 + .... merupakan deret konvergen, tentukan nilai m. Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2. • Tentukan terlebih dahulu rasio dari deret tersebut.3. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 4 + 12 + 36 + 108 + … Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 3. • Selidiki terlebih dahulu, deret geometri tak hingga tersebut merupakan deret konvergen atau divergen. • Tentukan S∞.Melalui subbab 2.2, kalian telah belajar mengenai deret aritmetika dan geometri. Ayo Berefleksi Apa perbedaan deret aritmetika dan geometri? Lalu apa perbedaan antara deret dan barisan? Jelaskan! Apa perbedaan deret geometri tak hingga konvergen dan divergen? Jelaskan Ayo Berpikir Kreatif Berikan contoh aplikasi deret bilangan dalam kehidupan sehari-hari selain dari yang telah dibahas. Berikan contoh aplikasi deret geometri tak hingga konvergen dan divergen selain dari yang telah dibahas pada subbab 2.2.3.Latihan 2.5Soal Pemahaman1. Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 28.500 dan suku ke-7 adalah 22.500. Tentukan nilai n agar suku ke-n = 0.2. Suku ketiga dan kelima barisan geometri berturut-turut adalah 20 dan 80. Tentukan suku ke-10 barisan tersebut.3. Hitunglah jumlah dari deret berikut. Bab 2 | Barisan dan Deret 574. 5. Soal Aplikasi6. Pertambahan penduduk di suatu desa setiap tahunnya membentuk barisan geometri. Pada tahun 2021, penduduk bertambah sebanyak 10 orang, lalu pada tahun 2023 sebanyak 90 orang. Berapa jumlah pertambahan penduduk pada tahun 2025?7. Pak Artus seorang peternak ayam. Ia mengumpulkan telur ayam sebanyak 30.000 butir selama 2 bulan. Banyak telur yang Pak Artus kumpulkan membentuk barisan aritmetika. Pada hari pertama ia mengumpulkan telus ayam sebanyak 50 butir. Berapa butir telur yang Pak Artus kumpulkan pada hari terakhir?8. Penambahan jumlah pasien yang terjangkit virus Covid-19 di suatu kota melonjak dua kali lipat di tiap minggunya. Berdasarkan data yang di rumah sakit, pada minggu pertama terdapat 24 orang yang dinyatakan positif. Pada minggu ketiga, tercatat 96 pasien positif Covid-19. Berapa total jumlah pasien pada bulan kedua?9. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga perlima kali tinggi sebelumnya, tentukan panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul.Soal Penalaran10. Keliling lima buah lingkaran membentuk barisan aritmetika. Jika luas lingkaran terbesar adalah 1.386 cm2 dan luas lingkaran terkecil adalah 154 cm2. Tentukan keliling lingkaran pada urutan ketiga.11. Sisipkan 5 bilangan di antara 3 dan 192 agar susunan bilangan tersebut membentuk barisan geometri.12. Sisi segitiga sama sisi panjangnya 20 cm. Di dalamnya terdapat segitiga sama sisi kedua dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi segitiga pertama. Hal yang sama untuk segitiga ketiga, keempat, kelima, dan keenam. Berapa total keliling semua segitiga?58 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XRefleksiDalam bab ini, kalian sudah belajar mengenai barisan dan deret.1. Apa itu barisan?2. Apa perbedaan barisan aritmetika dan barisan geometri?3. Apa itu deret?4. Apa perbedaan barisan dan deret?5. Apa perbedaan deret aritmetika dan deret geometri?6. Apa perbedaan deret geometri tak hingga konvergen dan divergen?Materi Pengayaan1. Buatlah suatu barisan geometri, dengan menentukan suku pertama, rasio, dan banyak suku pada tabel di bawah ini.Barisan geometri 1.Suku pertama ………….Rasio ………….Banyak suku ………….… , … , … , … , …. , ….2. Dari barisan yang telah kalian buat, ubahlah rasionya menjadi bilangan yang lebih besar, sajikan barisan geometri yang baru pada tabel di bawah ini.Barisan geometri 2.Suku pertama …………. Rasio …………. Banyak suku ………….… , … , … , … , …. , …. Ayo Berpikir KritisApa yang terjadi pada suku-suku pada barisan tersebut setelah diubahnilai rasionya? Jelaskan!3. Prediksilah, bagaimana suku-suku pada barisan tersebut jika rasionya diganti dengan dari rasio pada barisan geometri pertama. Bab 2 | Barisan dan Deret 594. Kalian dapat melihat perubahan dari Ayo Menggunakan Teknologi suku-suku pada barisan geometri serta tampilan grafiknya pada aplikasi Bentuk grafik pada barisan Geogebra melalui link berikut: dapat dilihat menggunakan https://www.geogebra.org/m/ aplikasi Geogebra. k8b2b2kn (sumber: Geogebra.org, penulis: Firmansyah)Uji Kompetensi1. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut:a. 4 + 2 + 1 + …b. 4 + 1 + (-2) + …2. Tentukan suku ke-9 barisan aritmetika, jika diketahui jumlah dari suku ke-2, suku ke-5, dan suku-20 adalah 54.3. Sebuah pipa dipotong menjadi 5 bagian. Panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan pipa terpendek sepanjang 4 cm, dan potongan pipa terpanjang adalah 324 cm, maka tentukan panjang pipa semula.4. Pada suatu ruang pertemuan, jumlah kursi pada baris tertentu lebih banyak 2 kursi dari baris sebelumnya. Perbandingan banyak kursi pada baris ke-5 dan baris ke-13 adalah 1 : 2. Baris terakhir terisi 50 kursi. Berapa total kursi pada ruang pertemuan tersebut?5. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga … …, jikadiketahui .60 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XKementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi BabRepublik Indonesia, 2021 3Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPenulis: Dicky Susanto, dkkISBN: 978-602-244-526-5Vektor danOperasinyaPengalaman BelajarSetelah mempelajari bab ini, kalian diharapkandapat:1. menyatakan vektor dalam berbagai representasi;2. menunjukkan beberapa jenis vektor;3. menyatakan vektor dalam komponen- komponen sistem koordinat;4. melakukan operasi vektor serta menginterpretasi hasilnya secara geometris dan fisik; serta5. menggunakan operasi vektor untuk menyelesaikan masalah kehidupan sehari- hari.Berapa jauh dan ke mana arahnya? Saat kalian berada di daerah wisata yang luas dan ingin mendatangi beberapaobjek wisata, kalian mungkin menemukan dua jenis petunjuk jalan seperti padaGambar 3.1 dan 3.2 berikut. Petunjuk mana yang memberikan kepastian lokasi? Mengapa?Gambar 3.1 Petunjuk Lokasi Kalian paham bahwa mengetahui jarak dan arah dengan Arah dari suatu lokasi ke lokasi lain merupakan hal yang sangat penting. Pesawat terbang memerlukan kepastianSumber: http://kebunrayadaerah. berapa jauh dan ke arah mana apabila berpindah dari krbogor.lipi.go.id/kebun-raya- suatu lokasi ke lokasi lain. Bukan itu saja, besar dan kuningan.html arah kecepatan juga berubah selama perjalanan. Padatnya lalu lintas udara dan angin juga memengaruhi gerak pesawat. Pemain bola dapat memperkirakan arah tendangannya dan kelajuan bola agar bola mencapai rekan setimnya atau masuk gawang. Olahraga permainan memerlukan jarak dan arah serta besar dan arah kecepatan. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar atau nilai dan arah. Contohnya adalah perpindahanGambar 3.2 Petunjuk Lokasi dan kecepatan. Besaran skalar hanya mempunyai besar dengan Arah dan Jarak atau nilai, tidak mempunyai arah. Contoh besaran skalar adalah massa melon 2,00 kg. Semua bilangan Sumber: gudanglampuku.comreal merupakan skalar, dapat bernilai nol atau positif atau negatif. Dalam bab ini, kalian akan belajar tentang terminologi dan notasi vektor. Kalianakan mempelajari hubungan antara vektor dengan sistem koordinat. Komponen-komponen vektor dinyatakan dalam pasangan terurut (x,y) dan (x,y,z). Kalian akanmenentukan kesamaan atau ekuivalensi dua vektor. Kalian akan belajar beberapajenis vektor. Dua atau lebih vektor dapat dijumlahkan dan dikurangkan sehinggasuatu vektor merupakan kombinasi linier dari dua atau lebih vektor. Vektor juga dapatdikalikan dengan suatu skalar.62 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPertanyaan Pemantik• Bagaimana merepresentasikan vektor?• Apakah vektor dapat dioperasikan seperti bilangan biasa?• Apa pentingnya peran vektor dalam kehidupan sehari-hari?Kata KunciRuas garis berarah, vektor lawan, vektor berkebalikan, vektor posisi, vektor nol,penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian skalar dengan vektor.Peta Konsep Ayo Mengingat KembaliUntuk mempelajari vektor kalian perlu mengulang kembali sistem koordinatKartesius yang merupakan tempat kedudukan titik-titik. Gambar 3.3 Sistem Koordinat Kartesius Bab 3 | Vektor dan Operasinya 63Sistem koordinat dapat berdimensi dua (dibentuk oleh dua sumbu yang salingtegak lurus) dan berdimensi tiga (dibentuk oleh tiga sumbu yang saling tegak lurussatu sama lain). Perpotongan sumbu-sumbu terjadi di titik O. Arah dapat dinyatakan dengankanan-kiri, atas-bawah dan depan-belakang. Sudut berkaitan dengan arah. Pada mataangin sudut 0° menunjukkan arah timur, sudut 90° menunjukkan arah utara, danarah timur laut sama dengan sudut 45°. Kalian akan mengulang sifat komutatif dan sifat asosiatif pada penjumlahanvektor. Kalian akan menerapkan aturan perkalian pada operasi perkalian skalardengan vektor.A. Terminologi, Notasi, dan Jenis VektorEksplorasi 3.1 Apa itu Vektor? Ayo BereksplorasiPeta di bawah menunjukkan prediksi kecepatan gerak lempeng bumi yang ditunjukkanoleh anak panah. Batas-batas lempeng ditandai dengan warna putih. Ukuran 5 cm/tahundiberikan oleh anak panah di bawah sebagai patokan. Lempeng bumi yang bergerakdapat bertemu dengan lempeng bumi lainnya. Pertemuan dua lempeng bumi dapatmenyebabkan terjadinya gempa bumi atau tsunami. Gambar 3.4 Prediksi Kecepatan Lempeng Bumi Sumber: https://spotlight.unavco.org/how-gps-works/gps-and-tectonics/gps-and-tectonics.html,64 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Bekerja SamaKalian perhatikan anak panah-anak panah dalam gambar dan kerjakan soal-soal dibawah ini.1. Lingkari satu lempeng bumi yang bergerak paling cepat.2. Lingkari satu lempeng bumi yang bergerak paling lambat.3. Apakah ada dua anak panah yang arahnya saling berlawanan?4. Lingkari tiga anak panah yang arah dan panjangnya sama.5. Apakah artinya jika dua anak panah mempunyai arah dan panjang yang sama?6. Pilih tiga anak panah pada lempeng-lempeng yang dilalui Indonesia, namakan anak panah pertama, kedua’ dan ketiga.Gunakan penggaris dan busur untuk menentukan panjang dan arah (sudut) anakpanah.Jadikan panjang 5 cm/tahun (5 cm/year) dalam gambar 3.4 sebagai patokansehingga hasil pengukuran perlu disesuaikan dengan patokan untuk mendapatkankecepatan gerak lempeng. Misalnya, patokan anak panah 5 cm/year mempunyaipanjang 0,6 cm. Salah satu anak panah panjangnya 0,3 cm maka kecepatan geraklempeng adalah . Angka disebut sebagai perbandinganpanjang.Tuliskan hasilnya ke dalam tabel.Cara mengukur sudut adalah sebagai berikut. Gambar 3.5 Cara Mengukur SudutTentukan garis horizontal yang berimpit dengan busur.Bacalah bilangan pada busur yang berimpit dengan arah anak panah. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 65Tabel 3.1 Besar dan Arah Kecepatan Lempeng Bumi Anak Arah (°) Panjang (cm) Perbandingan Kecepatan gerak Panah Panjang (cm/tahun)Pertama Kedua KetigaAyo BerdiskusiMenurut kalian, apa manfaat menggambarkan gerak lempeng dengan anak panahpada peta? Gerak lempeng bumi digambarkan dengan anak panah yang memudahkan parailmuwan untuk memprediksi pertemuan dua lempeng sehingga dapat mengantisipasibencana yang muncul. Panjang anak panah menunjukkan seberapa cepat lempengbergerak. Arah anak panah menunjukkan arah gerak. Anak panah merupakan ruasgaris berarah yang menyatakan vektor. Makin panjang ruas garisnya, makin besarnilai vektornya. Arah vektor ditunjukkan oleh arah panah. B a arah panjang A Gambar 3.6 Vektor dan NotasiNotasi vektor adalah sebagai berikut. dimana A adalah pangkal vektor atau titik pangkal, sedangkan B adalahujung vektor atau titik ujung.Panjang vektor ditulis sebagai . Vektor juga dapat dituliskan dengan menggunakan huruf bercetak tebal,sebagai AB. Penulisan vektor lainnya dengan menggunakan satu huruf yaitu a atau atauA atau . Dalam bab ini notasi vektor menggunakan huruf tebal, tetapi kalian dapatmembuatnya dengan menggunakan anak panah.66 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Berpikir KritisApakah bentuk-bentuk di bawah ini merupakan vektor? Mengapa? Ayo jelaskan!AA BA B B1. Panjang dan Arah VektorKalian perhatikan vektor CD dengan panjang 4 cm dan arahnya membentuk sudut45o dengan horizontal. Kalian dapat menyebutkan vektor CD dengan panjang 4 cmdan arah Timur Laut jika merujuk pada arah mata angin. Gambar 3.7 Besar dan Arah Vektor2. Vektor Negatif atau Vektor LawanAndi berjalan sejauh 100 m dengan arah 30°, kemudian Andi kembali ke posisisemula. Gambar 3.8 Vektor dan Vektor LawanVektor A atau menyatakan perpindahan Andi yang pertama.Vektor -A atau – menyatakan perpindahan Andi yang kedua.Vektor A dan -A sama panjang tetapi berlawanan arah.-A adalah vektor lawan dari A. Vektor negatif atau vektor lawan adalah vektor dengan besar sama, tetapi arah berlawanan dengan suatu vektor. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 67Vektor Nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol dan tidak punya arah tertentu atauvektor dengan titik pangkal dan ujung yang sama. Vektor nol dinyatakan dengantitik secara grafis. Jika Andi berjalan sejauh 100 m ke timur kemudian 100 m ke barat maka Andimengalami perpindahan 0. Ayo Berpikir Kritis Apakah vektor A merupakan vektor lawan dari B? Ayo Mencoba Gambarkan vektor lawan dari CD, yaitu vektor DC. Lihat vektor CD pada gambar 3.7. Ayo Berdiskusi Berapa sudut yang dibentuk antara vektor CD dengan vektor DC?3. Vektor Ekuivalen (Vektor yang Sama)Jika ada vektor lain dengan panjang 3 cm dan sudut 45°, maka dikatakan vektortersebut ekuivalen dengan vektor CD. Ketiga vektor, dalam gambar 3.9, sama atau ekuivalen walaupun ketiganyamempunyai titik awal yang berbeda, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.CD = EF = KLVektor CD ekuivalen dengan vektor EF dan vektor KL.68 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XGambar 3.9 Vektor-Vektor Ekuivalen Suatu vektor ekuivalen dengan vektor lain jika mempunyai besar dan arah yang sama dengan vektor lain tersebut. Pada peta lempeng bumi, coba kalian perhatikan vektor-vektor yang ekuivalenatau sama. Dapatkah kalian memberi contoh dua vektor ekuivalen dalam kehidupansehari-hari?Latihan 3.11. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan menuju arah timur. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya. Petunjuk menyelesaikan soal. Tuliskan nama arah setiap mata angin. Untuk menggambar panjang vektor pikirkan skala 1 cm mewakili berapa km/jam. Beri nama vektor tersebut berdasarkan titik awal (pangkal vektor) dan titik akhir (ujung vektor).2. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 45 km/jam dan menuju arah tenggara. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya. Petunjuk menyelesaikan soal. Tentukan arah tenggara pada mata angin. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 693. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan menuju arah barat daya. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya.4. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan arah gerak membentuk sudut 45°. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya.5. a. Gambarkan vektor kecepatan pesawat terbang dengan kelajuan 450 km/jam dan arah terbang membentuk sudut 120°. b. Gambarkan vektor negatif dari nomor a.Latihan 3.21. Tentukan nama, besar, dan arah dari setiap vektor di bawah ini. 400 N QR 800 N P 45º 25º 60º 200 N O2. Gambarkan vektor-vektor negatif dari vektor-vektor OP, OQ, dan OR. Gunakan skala untuk menggambar panjangnya.3. Perhatikan peta kota Bandung di bawah ini.70 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSumber: https://goo.gl/maps/hvGqjkmLSGBnADwL9 a. Tentukan satu titik di Universitas Padjadjaran dan satu titik di Lebak Siliwangi. b. Buat vektor dari kedua titik tersebut, tentukan besar dan arah vektornya. c. Buat vektor dengan nilai (besar) yang lebih besar daripada nomor a tetapi arah sama. d. Buat vektor dengan nilai (besar) yang lebih kecil daripada nomor a tetapi arah sama. e. Buat vektor yang ekuivalen dengan vektor pada nomor a. Ayo Berpikir Kritis 4. Pesawat kecil sedang mengisi bahan bakar dari pesawat besar di udara. Mengapa vektor kecepatan pesawat kecil harus ekuivalen atau sama dengan pesawat besar? Ayo Berpikir Kreatif5. Buatlah segitiga sama sisi dan bagilah menjadi beberapa segitiga kecil berukuran sama. Tentukan berapa banyak segitiga tersebut agar diperoleh 3 vektor ekuivalen. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 71Ayo Berefleksi 1. Apakah kalian dapat memberikan contoh-contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari? 2. Apakah kalian dapat menggambarkan vektor dan menyebutkan notasinya? 3. Dapatkah kalian menentukan vektor-vektor ekuivalen? 4. Dapatkah kalian membuat vektor negatif atau vektor lawan dari suatu vektor? Ayo Menggunakan Teknologi Kalian dapat menggunakan aplikasi GeoGebra untuk menggambar vektor dan belajar cara memanfaatkannya. https://www.geogebra.org/B. Vektor dan Sistem KoordinatPilot pesawat terbang melaporkan posisinya selama penerbangan dari satu titik ketitik lain di udara kepada petugas menara pengawas bandara. Pilot akan meminta izinjika ingin mengubah ketinggian atau dan arah penerbangan. Gambar 3.10 Posisi Pesawat Terbang dalam Sistem Koordinat KartesiusPosisi memerlukan kerangka acuan atau sistem koordinat. Sistem Koordinat Kartesius dicetuskan oleh Rene Descartes, ahli matematikaberkebangsaan Prancis. Descartes menemukannya ketika mengamati lalat merayapdi langit-langit rumahnya.72 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XEksplorasi 3.2 Menggambar Vektor pada Sistem Koordinat Ayo BereksplorasiUntuk menyelesaikan eksplorasi di bawah ini kalian memerlukan kertas berpetak.1. Mula-mula lalat berada di titik asal O dan merayap ke titik P(3, 4). Lalat bergerak lagi menuju titik Q(–2, –8) hingga berhenti di titik R(2, –5). Tentukan titik O terlebih dahulu. Gambarkan vektor perjalanan lalat dalam sistem koordinat Kartesius. Gunakan penggaris dan busur untuk menentukan panjang dan sudut.2. Lalat mula-mula berada pada titik (2, 3) kemudian bergerak 1 petak ke barat lanjut dengan 1 petak ke selatan. a. Tentukan titik asal terlebih dahulu, kemudian gambarkan vektornya. Tentukan panjang dan arah vektor. b. Pilih titik asal terlebih dahulu, kemudian gambarkan vektornya. Tentukan panjang dan arah vektor. Ayo Berdiskusi dan Berpikir Kreatif1. Apa perbedaan vektor dengan koordinat suatu titik?2. Apakah pemilihan titik asal pada sistem koordinat memengaruhi besar dan arah vektor? Lokasi suatu titik dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Kartesius. Padasistem koordinat dua dimensi, lokasi titik dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y)dan pada sistem koordinat tiga dimensi, lokasi titik dinyatakan dalam (x, y, z). Jika suatu pesawat berada pada suatu titik tertentu dan waktu tertentu, makadapat diketahui lokasi berikutnya jika diketahui vektor perpindahan pesawat. Teknologi, melalui beberapa aplikasi, menolong manusia untuk memilih alternatifrute perjalanan yang melibatkan arah dan jarak tempuh dengan sistem koordinat. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 73Gambar 3.11 Menentukan Rute dengan Aplikasi Sumber: https://waze.com Ayo Berdiskusi Dapatkah aplikasi perjalanan dibuat tanpa sistem koordinat Kartesius? Mengapa?1. Vektor Berdimensi Dua pada Sistem KoordinatPerhatikan sistem koordinat Kartesius di bawah ini. Gambar 3.12 Vektor Berdimensi Dua Koordinat titik O adalah (0, 0) dan Q adalah (x, y). Vektor satuan diperlukanuntuk menunjukkan bagaimana mencapai titik Q dari titik O. i adalah vektor satuan dalam arah-x (horizontal) dan j adalah vektor satuandalam arah-y (vertikal). Vektor satuan mempunyai besar 1 satuan. Arah horizontalnegatif dinyatakan dengan -i dan arah vertikal negatif dinyatakan dengan -j.Vektor OQ dinyatakan sebagai berikut.OQ = x i + y j74 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAda dua komponen yang membentuk vektor OQ,komponen horizontal dan komponen vertikal. Jika darititik O arah komponen horizontal adalah timur-barat,maka arah komponen vertikal adalah utara-selatan.Komponen-x merupakan proyeksi ortogonal vektorpada sumbu-x. Komponen-y merupakan proyeksiortogonal vektor pada sumbu-y. Vektor dengan dua komponen disebut sebagai Gambar 3.13 Panjang Vektorvektor berdimensi dua. Berdimensi Dua Panjang vektor sama dengan jarak antara titik pangkal dengan titik ujung. Jarakantara dua titik sama dengan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku.2. Komponen-Komponen Vektor AB = 6 i + 8 j Panjang vektor Gambar 3.14 Vektor AB dan Komponen-Komponennya3. Vektor-Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat Kartesius Dua mobil berbeda bergerak dengan kelajuan 10 m/detik dan dalam arah yangsama. Keduanya mempunyai vektor kecepatan yang sama walau berada pada posisiberbeda. Gambar 3.15 Dua Vektor Kecepatan Ekuivalen Kalian masih ingat bahwa dua vektor ekuivalen jika mempunyai besar dan arahsama, tidak bergantung pada letaknya. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 75Perhatikan dua vektor perpindahan dalam sistem koordinat di bawah ini. Gambar 3.16 Dua Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat Vektor u dan v ekuivalen, dinyatakan dengan 4 i + 3 j, walau keduanya mempunyaikoordinat titik pangkal dan koordinat titik ujung yang berbeda. Komponen horizontaldan komponen vertikal adalah 4 dan 3. Ayo Berdiskusi Mengapa vektor-vektor ekuivalen tidak bergantung pada letak mereka?4. Vektor Berdimensi Tiga pada Sistem Koordinat KartesiusVektor dengan tiga komponen, disebut sebagai vektor berdimensi tiga. Jika dari titik Oarah komponen horizontal adalah timur-barat, arah komponen vertikal adalah utara-selatan, maka arah satunya lagi adalah atas-bawah atau depan-belakang atau tegak lurusterhadap bidang xy. Sistem koordinat tiga dimensi dapat diperagakan dengan tiga jari. Ibu jarimenghadap ke kalian adalah sumbu-x, jari telunjuk mengarah ke kanan adalah sumbu-ydan jari tengah mengarah ke atas adalah sumbu-z. Gambar 3.17 Sistem Koordinat Gambar 3.18 Vektor Berdimensi Tiga dengan Jari-Jari OP = x i + y j + z k76 Matematika untuk SMA/SMK Kelas Xi adalah vektor satuan dalam arah-x (horizontal), j adalah vektor satuan dalamarah-y (vertikal) dan k adalah vektor satuan, yang tegak lurus terhadap bidang xy.Arah horizontal negatif dinyatakan dengan -i, arah vertikal negatif dinyatakan dengan-j dan arah negatif dalam z dinyatakan dengan -z.Panjang vektor diberikan sebagai berikut. Gambar 3.19 Panjang Vektor Berdimensi Tiga Vektor dapat saja berada dalam ruang berdimensi-n, tetapi kita hanya belajarvektor berdimensi dua dan vektor berdimensi tiga.5. Vektor Kolom dan Vektor BarisVektor yang dituliskan dalam bentuk kolom adalah vektor kolom. Vektor yangdituliskan dalam bentuk baris adalah vektor baris. Komponen-komponen vektorkolom dituliskan sebagai berikut.• (3 4) atau untuk vektor berdimensi dua• (2 1 3) atau untuk vektor berdimensi tigaVektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Kartesius berdimensi dua adalah:• vektor satuan dalam arah horizontal (1 0) atau• vektor satuan dalam arah vertikal (0 1) atauVektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Kartesius berdimensi tiga adalah:• vektor satuan dalam arah horizontal (1 0 0) atau• vektor satuan dalam arah vertikal (0 1 0) atau• vektor satuan dalam arah tegak lurus terhadap bidang xy (0 0 1) atau Bab 3 | Vektor dan Operasinya 776. Vektor Satuan dari Suatu VektorVektor satuan dapat saja diperluas pemahamannya.Kalian perhatikan vektor PQ yang berada padasistem koordinat Kartesius. Vektor satuan PQ adalah vektor PQ dibagidengan panjangnya.adalah panjang vektor. Gambar 3.20 Vektor PQVektor satuan menunjukkan arah vektor dalam suatu ruang.Contoh soal: Menentukan vektor satuan dari v.v = (3 6 4)7. Vektor PosisiVektor OA dan OB merupakan vektor posisi, karena dimulai dari titik asal O danberakhir di A dan B. Vektor posisi selalu dimulai dari titik O dan berakhir pada suatutitik lain. Vektor posisi OA dan OB adalah (–3 2) dan (7 5). Gambar 3.21 Vektor Posisi OA dan OB78 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XVektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik O yang merupakanpusat koordinat dan berujung di suatu titik dalam sistem koordinat.8. Vektor Berkebalikan (6 i + 8 j).Vektor AB = 6 i + 8 jPanjang vektorVektor berkebalikan dari AB adalahVektor berkebalikan adalah vektor yang panjangnya vektor tersebut. Tahukah Kalian?Vektor berkebalikan digunakan dalam mempelajari kisi-kisi dari kristal zatpadat.Latihan 3.31. Nyatakan kedua vektor posisi dalam vektor kolom dan vektor baris. Ayo Berpikir Kreatif2. Gambarkan vektor posisi yang diberikan oleh OP = 2i + 2j – 2k dan OQ = –i + 2j – k Petunjuk tentukan sumbu x, y, dan z. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 793. Tentukan vektor satuan dan vektor berkebalikan vektor-vektor dalam soal nomor 2.4. a. Nyatakan vektor-vektor di bawah ini sebagai vektor kolom atau vektor baris.Latihan 3.4 Ayo Berpikir Kritis1. Perhatikan gambar dari aplikasi flightradar24 yang menunjukkan 202.157 pesawat terbang di angkasa Bumi pada tanggal 29 Juni. Pesawat berukuran kecil maupun besar, juga pesawat komersial maupun bukan komersial. Sumber: https://www.independent.co.uk/travel/news-and-advice/flights-sky-map-worldwide-air-traffic-aviation- busiest-day-june-a8428451.html Apa peran vektor dan sistem koordinat dalam mengatur lalu lintas penerbangan?80 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X2. Nyatakan vektor satuan dari vektor perpindahan seseorang yang sedang naik gunung dengan bersepeda. Tentukan arahnya dalam sistem koordinat.3. Gunakan ubin di rumahmu sebagai sistem koordinat. Tentukan vektor perpindahan jika kalian berjalan dari suatu lokasi benda ke lokasi benda lainnya, misalnya dari lokasi lemari ke lokasi kursi. Ambillah posisi tengah untuk setiap lokasi.4. Menurut kalian, apakah vektor kecepatan dapat dinyatakan dalam sistem koordinat?1. Apakah kalian dapat menunjukkan komponen-komponen suatu vektor dan menentukan panjangnya?2. Bagaimana menyatakan komponen-komponen dalam vektor kolom dan vektor baris?3. Apa perbedaan vektor posisi, vektor kolom, dan vektor berkebalikan? Ayo Menggunakan Teknologi Kalian dapat menggunakan aplikasi GeoGebra atau yang lainnya untuk menggambarkan vektor pada sistem koordinat Kartesius. https://www.geogebra.org/ Bab 3 | Vektor dan Operasinya 81C. Operasi Vektor Jl. Gubernur Sarkawi1. Penjumlahan VektorEksplorasi 3.3 Menentukan Rute dalam Bentuk Penjumlahan Vektor Ayo BereksplorasiPerhatikan peta di bawah ini. Apakah ada rute langsung dari pompa bensin ke Bandara Syamsudin Noor, yangditandai dengan garis merah? Tentu saja tidak bisa. Coba tentukan satu rute yang paling sederhana, gambarkan setiap vektorperpindahannya dari satu lokasi ke lokasi yang lain.Ada berapa vektor yang digambarkan? Kalian akan punya rangkaian vektor yang tidak terputus dengan setiap ujungvektor bertemu dengan pangkal vektor berikutnya. SMPN 15 BanjarbaruBANJARMASIN Jl. Gubernur Sarkawi Jl. Sukamana Jl. Pelita 5 Jl. Lingkar Utara Jl. Kurnia SPBU Pertamina Jl. GolfPELABUHAN TRISAKTI Jl. Ahmad Yani BANJARBARU Bandara Syamsudin Noor PELAHARI SPBU Pertamina Gambar 3.22 Peta BanjarmasinPikirkan satu masalah lagi.Eksplorasi 3.4 Gerak Perahu Menyeberangi Sungai Ayo Bereksplorasi 82 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X |
Jika banyak fase adalah n bagaimana merepresentasikan banyak orang yang tertular pada fase tersebut
Pos Terkait
Copyright © 2024 apacode Inc.
