Jika suatu benda bergerak rotasi dan tidak ada torsi luar yang bekerja padanya maka berlaku

Seperti yang telah Anda pelajari tentang materi dinamika partikel, di mana suatu benda sebagai obyek pembahasan dianggap sebagai suatu titik materi mengalami gerak translasi (dapat bergerak lurus atau melengkung) jika resultan gaya eksternal yang bekerja pada benda tersebut tidak nol ( 0 F ). Untuk menyelesaikan masalah dinamika partikel, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya untuk benda bebas dan kemudian menggunakan Hukum II Newton ( ma F ). Dalam Sub-bab ini Anda akan mempelajari materi dinamika rotasi benda tegar. Benda tegar adalah suatu benda dimana partikelpartikel penyusunnya berjarak tetap antara partikel satu dengan yang lainnya. Benda tegar sebagai objek pembahasan, ukurannya tidak diabaikan (tidak dianggap sebagai satu titik pusat materi), di mana resultan gaya eksternal dapat menyebabkan benda bergerak translasi dan juga rotasi (berputar terhadap suatu poros tertentu). Gerak rotasi balok tali katrol disebabkan oleh adanya torsi, yaitu tingkat kecenderungan sebuah gaya untuk memutar suatu benda tegar terhadap suatu titik poros.

Untuk menyelesaikan masalah dinamika rotasi benda tegar, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya benda bebas, kemudian menggunakan ma F untuk benda yang bergerak translasi dan menggunakan I untuk benda yang bergerak rotasi, dengan I (kg.m 2 ) besaran momen inersia dan percepatan sudut.

Dalam materi dinamika partikel, Anda telah mempelajari dan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik untuk menyelesaikan masalah gerak translasi dan ternyata dapat terelesaikan dengan lebih mudah dan cepat dibanding dengan menggunakan analisa dinamika partikel ma F . Hal demikian juga berlaku pada pemecahan masalah gerak rotasi tertentu seperti gerak menggelinding (gabungan translasi dan rotasi) benda tegar yang menuruni atau mendaki suatu permukaan bidang miring, dimana penggunaan hukum kekekalan energi mekanik lebih mudah dan cepat dibanding menggunakan analisa dinamika rotasi yang menggunakan persamaan ma F dan I .

Sebelum materi dinamika rotasi, Anda telah mempelajari hukum kekekalan momentum linier. Dalam Sub-bab ini Anda akan diperkenalkan dengan materi hukum kekekalan momentum sudut. Contoh aplikasi hukum ini ditemui pada pada atlit penari es yang melaukan peningkatan laju putarannya dengan cara menarik kedua lengannya dari terentang ke merapat badannya.

Dalam membahas materi tentang gerak rotasi Anda harus terlebih dahulu mempelajari besaran fisis gerak rotasi yaitu pergeseran sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran pergeseran sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut selalu dinyatakan dalam bentuk vektor, masing-masing dilambangkan dengan dan , . Arah pergeseran sudut adalah positif bila gerak rotasi (melingkar atau berputar) berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan arah vektornya (seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.1) sejajar dengan sumbu rotasi (sumbu putar) yaitu arah maju sekrup putar kanan.

Gambar 3.1 (a) arah tegak lurus bidang (b) arah sejajar dengan sumbu putar Kecepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan pergeseran sudut dengan waktu tempuh dengan arah kecepatan sudut searah dengan pergeseran sudut atau searah dengan sumbu putar yaitu:

Sedangkan percepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan kecepatan sudut dengan waktu tempuh yang dinyatakan sebagai: Besaran skalar dalam persamaan (3.4) didefinisikan sebagai bersaran momen inersia I, untuk benda tegar yang tersusun dari banyak partikel dengan masing-masing massa m 1 , m 2 , m 3 , ..., m N dan berjarak tegak lurus terhadap titik poros masing-masing r 1 , r 2 , r 3 , ..., r N maka momen inersia sistem partikel tersebut adalah:

Bila suatu benda tegar seperti pada Gambar 3.4 berputar terhadap sumbu yang tegak lurus bidang gambar melalui titik O, dengan memandang bahwa benda tegar tersebut tersusun dari jumlahan elemen kecil massa m i , maka momen inersia dalam persamaan (3.5) dapat ditulis sebagai berikut:

Hasil kali sebuah gaya dengan lengannya dinamakan torsi, sin rF F x r dengan sudut antara lengan gaya dengan garis kerja gaya dan arah torsi searah sekrup diputar kanan. Contoh soal 3.3. Tiga benda kecil massanya masing-masing 0,1 kg, 0,2 kg dan 0,3 kg, diletakkan berturut-turut pada titik A (0,0) m, B (4,0) m dan C (2,3) m seperti pada Gambar dan dihubungkan dengan batang tegar yang massanya diabaikan. Berapakah momen inersia sistem ini bila diputar terhadap sumbu X ?

Penyelesaian: Ketiga benda terletak secara diskrit, maka momen inersia:

Mengingat benda A dan B terletak sepanjang sumbu rotasi, maka r A dan r B sama dengan nol, sehingga I = m C 2 C r = (0,3 kg) (3m) 2 = 2,7 kg m 2 .

Tabel 3.1. Momen inersia benda-benda yang sering dikenal

Untuk memecahkan persoalan dinamika rotasi, apabila di dalamnya terdapat bagian sistem yang bergerak translasi maka pemecahannya dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut: Tugas 2. Seorang siswa mengamati seorang pekerja bangunan yang sedang mengangkat benda balok 40 kg ke atas lantai 2 setinggi 3 m dari lantai dasar dengan menggunakan "krane" /sistem katrol. Jika radius katrol 25 cm dan benda sampai di lantai 2 dalam waktu 3 sekon, hitung percepatan sudut katrol dan tegangan tali. Percepatan benda bergerak ke atas 1 m/s.

Anda telah mencoba mengimplementasikan pemecahan masalah dinamika rotasi dengan menggunakan hukum II Newton ma F dan I . Perlu Anda ingat pula bahwa masalah dinamika translasi dapat juga diselesaikan secara mudah dan cepat dengan hukum kekekalan energi mekanik, demikian juga secara analogi masalah dinamika rotasi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik. Pada bagian ini kita akan mempelajari cara pemecahan masalah dinamika rotasi berupa gerak menggelinding dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik.

Gerak menggelinding adalah suatu gerak dari benda tegar yang melakukan gerak translasi sekaligus melakukan gerak rotasi. Benda tegar yang melakukan gerak menggelinding maka selama gerakan berlaku hukum kekekalan energi mekanik, yang diformulasikan sebagai berikut:

Energi kinetik translasi dihitung berdasarkan asumsi bahwa benda adalah suatu partikel yang kelajuan liniernya sama dengan kelajuan pusat massa sedangkan energi kinetik rotasi dihitung berdasarkan asumsi bahwa benda tegar berotasi terhadap poros yang melewati pusat massa.

Sekarang Anda implementasikan pada masalah gerak menggelinding dari silinder pejal pada lintasan miring dengan dua cara sekaligus berikut ini:

Pada gerak rotasi, benda mempunyai besaran yang dinamakan momentum sudut yang analog pada gerak translasi yang terdapat besaran momentum linier. Momentum sudut, L, merupakan besaran vektor dengan besar berupa hasil kali momen inersia, I, dengan kecepatan sudut , yang diformulasikan sebagai berikut:

Bila momen gaya eksternal resultan yang bekerja pada suatu benda tegar sama dengan nol, maka momentum sudut total sistem tetap. Prinsip ini dikenal sebagai prinsip kekekalan momentum sudut. Tinjau suatu benda tegar berotasi mengelilingi sumbu z yang tetap, momentum sudut benda tersebut adalah I L Z dengan I adalah momen inersia benda, sedangkan adalah kecepatan sudutnya. Bila tak ada momen gaya eksternal yang bekerja, maka L Z tetap, sehingga bila I berubah maka harus berubah agar efek perubahannya saling meniadakan. Kekekalan momentum sudut akan berbentuk:

dengan I o dan o adalah momen inersia benda dan kecepatan sudut mula-mula. Prinsip ini sering dipakai oleh penari balet atau peloncat indah untuk dapat berputar lebih cepat, yaitu dengan mengatur rentangan tangan maupun kakinya.

Contoh soal 3.5. Roda pertama berputar pada as (sumbu) dengan kecepatan sudut 810 putaran/menit. Roda kedua mula-mula diam, momen inersianya 2 kali momen inersia roda pertama. Bila roda ke dua tiba-tiba digabungkan sesumbu dengan roda pertama, seperti ditunjukkan pada Gambar. a. berapakah kecepatan sudut dari gabungan ke dua roda? b. berapakah besarnya tenaga kinetik yang hilang?

a. Karena digabungkan sesumbu, kedua roda bergerak dengan kecepatan sudut yang sama, dan pada gerak rotasi gabungan tersebut tidak ada momen gaya luar yang bekerja, sehingga berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Momentum sudut awal = momentum sudut akhir Misal kecepatan sudut roda pertama mula-mula dan kecepatan sudut gabungan kedua roda adalah ' , maka

Karena frekuensi putaran roda pertama 810 putaran/menit, maka kecepatan sudut gabungan kedua roda tersebut adalah ' = 2 . Contoh soal 3.6 Sebuah benda kecil bermassa m diikatkan diujung tali. Tali diputar hingga bergerak melingkar pada bidang horizontal dengan jari-jari r 1 dan laju v 1 . Kemudian tali ditarik ke bawah sehingga lingkarannya menjadi r 2 (dengan r 2 < r 1 ). Nyatakan laju v 2 dan laju putaran 2 terhadap harga mula-mula v 1 dan 1 ! Penyelesaian : Pada saat tangan menarik tali ke bawah, gaya penariknya (F) berimpit dengan sumbu putar massa m, sehingga gaya ini tidak menyebabkan momen gaya. Karenanya pada kasus ini berlaku hukum kekekalan momentum sudut

Dalam subbab ini Anda akan dipelajari kesetimbangan benda tegar. Kesetimbangan ada dua yaitu kesetimbangan statis (benda dalam keadaan tetap diam) dan kesetimbangan kinetis (benda dalam keadaan bergerak lurus beraturan). Benda dalam keadaan kesetimbangan apabila padanya berlaku 0 F (tidak bergerak translasi) dan 0 (tidak berotasi). Berikutnya dalam subbab ini apabila tidak dinyatakan, yang dimaksud kesetimbangan adalah kestimbangan statis (benda tetap diam) dan supaya mempermudah dalam menyelesaikan masalah kestimbangan, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya benda bebas dan menghitung torsi terhadap suatu poros oleh setiap gaya dari diagram gaya benda bebas tersebut.

Dalam system yang tersusun dari partikel, benda dianggap sebagai satu titik materi. Semua gaya eksternal yang bekerja pada system tersebut dianggap bekerja pada titik materi tersebut sehingga gaya tersebut hanya menyebabkan gerak translasi dan tidak menyebabkan gerak rotasi. Oleh karena itu kesetimbangan yang berlaku pada sistem partikel hanyalah kesetimbangan translasi. Untuk memahami masalah kesetimbangan sistem partikel, silahkan pelajari studi kasus kesetimbangan berikut: Benda dengan berat 400 N digantung pada keadaan diam oleh tali-tali seperti pada Gambar 3.5. Tentukan besar tegangan-tegangan pada kedua tali penahannya. Dengan mensubstitusi nilai T 2 dari persamaan (1) ke persamaan (2) kita dapat nilai tegangan tali T 2 = 320 N dan dengan mensubstitusi ke persamaan (1) diperoleh nilai tegangan tali T 1 = 240 N.

Titik berat dari suatu benda tegar adalah titik tunggal yang dilewati oleh resultan dari semua gaya berat dari partikel penyusun benda tegar tersebut. Titik berat disebut juga dengan pusat gravitasi.

Letak titik berat dari suatu benda secara kuantitatif dapat ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut. Tinjau benda tegar tak beraturan terletak pada bidang XY seperti Gambar 3.5. Benda tersusun oleh sejumlah besar partikel dengan berat masing-masing w 1 , w 2 , w 3 , berada pada koordinat (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), (x 3 ,y 3 ). Tiap partikel menyumbang torsi terhadap titik O sebagai poros yaitu w 1 x 1 , w 2 x 2 , w 3 x 3 . Torsi dari berat total benda W dengan absis X G adalah WX G , di mana torsi ini sama dengan jumlah torsi dari masing-masing partikel 6 . 5 10 . Tentukan titik pusat massa dari selembar seng dengan bentuk sebarang dengan cara melakukan penyeimbangan dengan benang dan digantungkan sehingga posisi setimbang. Lakukan pada dua titik ikat benang berbeda posisi pada seng tersebut. Titik pusat massa ditentukan dengan melakukan perpotongan perpanjangan garis yang segaris dengan benang tersebut.