Distribusi Peluang Binomial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika. Distribusi Peluang Binomial sering juga disebut dengan Distribusi Untuk lebih mudah memahami Distribusi Peluang Binomial ini, ada baiknya kita sudah mengenal peluang untuk kejadian majemuk, silahkan disimak pada catatan Teori Peluang Kejadian Majemuk dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika. Pada SMA materi ini mulai diperkenalkan di kelas XII saat kurikulum 2013 mulai digunakan dan pada kurikulum merdeka dipelajari pada elemen Analisa Data dan Peluang tahap akhir fase F+ Capaian pembelajaran yang diharapkan adalah peserta didik memahami variabel diskrit acak dan fungsi peluang, dan menggunakannya dalam memodelkan data. Diharapkan peserta didik dapat menginterpretasi parameter distribusi data secara statistik (seragam, binomial dan normal), menghitung nilai harapan distribusi binomial dan normal, dan menggunakannya dalam penyelesaian masalah. HUBUNGAN STATISTIKA DENGAN PELUANGDalam bahasa sederhana kita dapat menyebutkan statistika adalah ilmu pengetahuan tentang data. Apabila dijabarkan, dapat kita tuliskan statistika adalah ilmu yang mempelajari semua hal tentang data, mulai pengumpulan, penyajian, analisis, sampai terbentuk suatu kesimpulan (pengambilan keputusan). Statistika juga masih dibagi kedalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia.
Pada matematika statistik disampaikan bahwa dalam alam semesta pada dasarnya terdapat $2$ aktivitas (percobaan).
Stokastik sangat mempengaruhi deterministik. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk dapat memprediksi suatu kejadian yang belum pasti dalam kehidupan sehari-hari. Atas dasar inilah konsep probabilitas atau teori peluang sangat dibutuhkan oleh dunia kerja atau dunia bisnis atau dunia rumah tangga sekalipun ruang lingkup yang diprediksi lebih sederhana. DISTRIBUSI PELUANG BINOMIALSebelum kita mengenal tentang distribusi peluang binomial, ada beberapa istilah yang harus kita ketahui yaitu variabel acak. Variabel adalah suatu yang dapat mengubah nilai atau suatu besaran yang hanya bisa mengambil nilai-nilai berbeda. Variabel acak (random variable) adalah diskripsi numerik dari hasil percobaan yang terjadi pada percobaan yang bersifat acaka. Variabel acak ada $2$, yaitu:
Pada percobaan pelemparan mata uang. Misal banyaknya muncul gambar dinyatakan $x$, maka $x = \text{variabel acak}$ Contoh berikutnya dari pelantunan tiga buah uang logam. Dari pelantunan tiga buah uang logam, dimana setiap uang logam berkemungkinan muncul angka $\text{(A)}$ atau gambar $\text{(G)}$. Kegiatan ini memiliki ruang sampel $S= \left\{ GGG, \right.$ $GGA,$ $GAG,$ $AGG,$ $GAA,$ $AGA,$ $AAG,$ $\left. AAA \right \}$, sehingga $n(S) = 8$. Misalkan $X$ adalah variabel yang menunjukkan banyaknya muncul angka, dapat kita peroleh:
Dari data di atas, data dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
Tabel distribusi peluang haruslah mempunyai nilai total $1$. Artinya jumlah distribusi peluang munculnya angka pada pelantunan tiga buah uang logam haruslah $1$. Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu: Penjabaran di atas adalah salah satu contoh dari fungsi $F(X)$ yang dikatakan fungsi distribusi peluang.
Contoh 2. Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini: Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$.
Data di atas dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu: Contoh 3. Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini: Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$.
Data di atas dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu: Fungsi di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana, yakni: Contoh 4. Banyak anggota ruang sampel pada pengambilan $3$ bola dari $10$ bola adalah. Misalkan $X$ adalah variabel yang menunjukkan banyaknya terambil bola putih, dapat kita peroleh:
Data di atas dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu: Fungsi di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana, yakni: DISTRIBUSI BINOMIAL (DISTRIBUSI BERNOULLI)Distribusi Binomial atau Distribusi Bernoulli (ditemukan oleh Jacob Bernoulli) adalah suatu distribusi yang terdiri atas dua hasil yang mungkin (dua kejadian saling berkomplemen), seperti "sukses dan gagal", "sakit dan sehat", "benar dan salah" dan sebagainya. Variabel acak $X$ adalah jumlah hasil sukses untuk $n$ kali percobaan dalam eksperimen binomial Jika $p$ adalah peluang sukses dan $q$ adalah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku: \begin{align} p + q = 1 \end{align} Peluang suskes dalam percobaan binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus peluang binomial yang sering juga disebut dengan Fungsi Distribusi Binomial. Fungsi Distribusi Binomial Dalam eksperimen binomial dengan $n$ kali percobaan dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak $r$ kali atau paling sedikit $r$ kali, dimana $r \leq n$, dengan menggunakan rumus: Contoh 5. Misalkan kejadian $\text{sukses} = S$ dan kejadian $\text{gagal} = G$, maka untuk $4$ kali percobaan diperoleh cacahan sebagai berikut: $\left\{ SSGG, \right.$ $SGSG,$ $SGGS,$ $GSGS,$ $GGSS,$ $\left. GSSG \right \}$ sehingga $X = 6\ \text{kejadian}$ Sebagai alternatif untuk mendapatkan banyak $X$ dapat kita hitung $2$ kali sukses dalam $4$ kali eksperimen Sebagai alternatif untuk mendapatkan banyak $X$ dapat kita hitung dengan permutasi ada unsur yang sama yaitu akan disusun $SS$ dan $GG$, maka banyak susunan yang terjadi adalah: Contoh 6. Pada eksperimen melantunkan sebuah dadu $5$ kali, $x$ adalah variabel yang menyatakan banyaknya kejadian sukses munculnya mata dadu $2$ atau mata dadu $6$. Tentukanakah: (a) Banyaknya kejadian $3$ kali sukses dalam eksperimen itu (b) Peluang kejadian $3$ kali sukses dalam eksperimen itu (a) Banyaknya kejadian $3$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen (b) Peluang kejadian $3$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen Untuk sebuah dadu kita peroleh $S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ maka $n(S)=6$. Misal $A=\left \{ 2,6 \right \}$ maka $n(A)=2$. Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, sehingga dapat kita misalkan peluang sukses adalah $p=\dfrac{1}{3}$ dan peluang gagal adalah $q=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. Jadi peluang sukses $3$ kali adalah: $ \begin{align} P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\ P \left( X=3 \right) & = \binom{5}{3} \cdot p^{3} \cdot q^{5-3} \\ P \left( X=3 \right) & = \dfrac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{3} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} \\ & = 10 \cdot \left( \dfrac{1}{27} \right) \cdot \left( \dfrac{4}{9} \right) = \dfrac{40}{243} \end{align}$ (c) Peluang kejadian $1$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen Untuk sebuah dadu kita peroleh $S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ maka $n(S)=6$. Misal $A=\left \{ 2,6 \right \}$ maka $n(A)=2$. Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, sehingga dapat kita misalkan $p=\dfrac{1}{3}$ dan $q=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. Jadi peluang $1$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen adalah: $ \begin{align} P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\ P \left( X=1 \right) & = \binom{5}{1} \cdot p^{1} \cdot q^{5-1} \\ P \left( X=1 \right) & = \dfrac{5!}{(5-1)! \cdot 1!} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{4} \\ & = 5 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right) \cdot \left( \dfrac{16}{81} \right) = \dfrac{80}{243} \end{align}$ Contoh 7. Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini: Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$. $A$ adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$, sehingga dapat kita misalkan peluang sukses adalah $p=\dfrac{1}{3}$ dan peluang gagal adalah $q=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. Jadi peluang $3$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen adalah: $ \begin{align} P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\ P \left( X=3 \right) & = \binom{5}{3} \cdot p^{3} \cdot q^{5-3} \\ P \left( X=3 \right) & = \dfrac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{3} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} \\ & = 10 \cdot \left( \dfrac{1}{27} \right) \cdot \left( \dfrac{4}{9} \right) = \dfrac{40}{243} \end{align}$ Contoh 8. Ruang sampel dari $4$ uang logam dapat kita tuliskan seperti berikut ini: $A$ adalah kejadian munculnya munculnya tiga "gambar" Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$, sehingga dapat kita misalkan peluang sukses adalah $p=\dfrac{1}{4}$ dan peluang gagal adalah $q=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$. Jadi peluang sukses $2$ kali dalam $5$ kali eksperimen adalah: $ \begin{align} P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\ P \left( X=2 \right) & = \binom{5}{2} \cdot p^{2} \cdot q^{5-2} \\ P \left( X=2 \right) & = \dfrac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} \\ & = 10 \cdot \left( \dfrac{1}{16} \right) \cdot \left( \dfrac{27}{64} \right) = \dfrac{135}{512} \end{align}$ Contoh 9. Untuk setiap nomor ada empat pilihan jawaban sehingga peluang benar setaip nomor adalah $P \left( B \right) = \dfrac{1}{4}$, sehingga dapat kita misalkan peluang benar adalah $p=\dfrac{1}{4}$ dan peluang salah adalah $q=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$. Jadi peluang benar $6$ nomor dari $10$ nomor adalah: $ \begin{align} P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\ P \left( X=6 \right) & = \binom{10}{6} \cdot p^{6} \cdot q^{10-6} \\ P \left( X=6 \right) & = \dfrac{10!}{(10-6)! \cdot 6!} \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{6} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^{4} \\ & = 210 \cdot \left( \dfrac{1}{4^{6}} \right) \cdot \left( \dfrac{3^{4}}{4^{6}} \right) \\ & = \dfrac{210 \cdot 3^{4}}{4^{10}} = 0,0162... \end{align}$ Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal Distribusi Peluang Binomial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
|