Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang peubah variabel dengan pangkat tertingginya adalah *

         Blog Koma - Persamaan kuadrat (PK) adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi variabel/peubahnya adalah 2 .

Adapun bentuk umum persamaan kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 $
dengan $ a, \, b, \, c \in R \, $ dan $ a \neq 0 $

Keterangan : $ x \, $ disebut variabel atau peubah $ a \, $ adalah koefisien $ x^2 $ $ b \, $ adalah koefisien $ x $

$ c \, $ disebut konstanta

Contoh 1.

Berikut adalah contoh persamaan kuadrat : (i) . $ 2x^2 - 3x + 5 = 0 $ (ii) . $ x^2 - 6 = 0 $

(iii) . $ 3x^2 = 0 $

Dari bentuk persamaan kuadrat berikut, tentukan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c $ (i). $ 3x^2 + 5x^2 - 7 = 0 $ (ii) . $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ (iii) . $ mx^2 +(n+1)x +m-5 = 0 $

(iv) . $ 3x - x^2 + mx + 9 = 0 $

Penyelesaian : Bentuk umum persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $ (i). $ 3x^2 + 5x^2 - 7 = 0 \rightarrow a = 3, \, b = 5 , \, c = -7 $ (ii) . $ x^2 - 3x + 2 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -3 , \, c = 2 $ (iii) . $ mx^2 +(n+1)x +m-5 = 0 \rightarrow a = m, \, b = (n+1) $ $ c = (m-5) $ Untuk (iv) , kelompokkan dulu suku-suku yang sejenis : $ 3x - x^2 + mx + 9 = 0 \rightarrow -x^2 + (m+3)x + 9 $

sehingga diperoleh : $ a = -1, \, b = (m+3) , \, c = 9 $

Dari persamaan berikut, manakah yang merupakan persamaan kuadrat ? (i) . $ 2x - 3 = 0 $ (ii) . $ x - \frac{2}{x} + 3 = 0 $ (iii) . $ 2x^3 - 2x + 8 = 0 $ (iv) . $ x^2 - x + \frac{5}{x} + 1 = 0 $

(v) . $ (2x-1)(3-x) = 0 $

Penyelesaian : (i) . Bukan persamaan kuadrat karena pangkat tertingginya satu. (ii) . Kalikan $ x \, $ kedua ruas, diperoleh : $ x^2 - 2 + 3x = 0 $ sehingga (ii) adalah persamaan kuadrat. (iii) . termasuk persamaan kuadrat. (iv) . Kalikan $ x \, $ kedua ruas, diperoleh : $ x^3 - x^2 + 5 + x = 0 $ sehingga (iv) bukan persamaan kuadrat. (v) . Kalikan persamaan : $ (2x-1)(3-x) = 0 \rightarrow 6x - 2x^2 - 3 + x = 0 $

sehingga (v) termasuk persamaan kuadrat.

         Bentuk umum persamaan kuadrat ini sangat penting bagi kita untuk menguasainya, terutama untuk nilai masing-masing $a, \, b, \, $ dan $ c \, $. Persamaan kuadrat adalah salah satu materi dalam matematika yang biasanya selalu ditampilkan pada soal-soal baik itu Ujian Nasional maupun soal-soal Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri seperti SBMPTN, UM-UGM (UTUL), SIMAK UI, dan lainnya.

         Kalau menurut kami, persamaan kuadrat ini adalah salah satu materi yang bisa kita kuasai dengan mudah, asalkan teman-teman harus banyak latihan soal-soalnya. Semangat belajarnya teman-teman, pasti bisa.

Page 5 - PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

P. 5

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Persamaan kuadrat adalah salah satu persamaan matematika dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat atau PK adalah sebagai berikut:

ax2 +bx + c = 0

dengan x merupakan variabel, a, b merupakan koefisien, dan c merupakan konstanta. Nilai a tidak sama dengan nol.

Bentuk Grafik

Persamaan kuadrat jika digambarkan dalam bentuk koordinat kartesian (x,y) maka akan membentuk grafik parabolik. Oleh karena itu persamaan kuadrat juga sering disebut sebagai persamaan parabola.

Berikut contoh bentuk persamaan tersebut dalam bentuk grafik parabolik.

Pada persamaan kudrat umum nilai a, b, dan c sangat mempengaruhi pola parabolik yang dihasilkan.

Nilai a menentukan cekung atau cembungnya kurva parabola. Jika nilai dari a>0, maka parabola akan terbuka ke atas (cekung). Sebaliknya, jika a<0, maka parabola akan terbuka ke bawah (cembung).

Nilai b pada persamaan tersebut menentukan posisi puncak parabola. Dengan kata lain, menentukan nilai sumbu simetri kurva yang senilai denga x =-b/2a.

Nilai konstanta c pada grafik persamaan menentukan titik potong fungsi parabola dengan sumbu y. Berikut grafik parabolik dengan perubahan nilai konstanta c.

Akar-akar Persamaan Kuadrat (PK)

Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Macam-macam Akar PK

Macam akar PK dapat diketahui dengan mudah menggunakan rumus umum D = b2 – 4ac dari persamaan umum kuadratnya ax2+bx+c=0 .

Berikut macam-macam akar persamaan kuadrat.

1. Akar Real (D>0)

Jika nilai D>0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan akar-akar persamaan yang real namun memiliki akar-akar yang berlainan. Dengan kata lain x1 tidak sama dengan x2.

Contoh persamaan akar real (D>0)

Tentukan jenis akar persamaan dari persamaan x2 + 4x + 2 = 0 .

Penyelesaian:a = 1; b = 4; dan c = 2

D = b2 – 4ac

Jadi karena nilai D>0, maka akar nya adalah jenis akar real.

2.Akar real sama x1=x2 (D=0)

Merupakan jenis akar persamaan kuadratyang menghasilkan akar-akar bernilai sama (x1=x2).

Contoh akar real (D=0)

Baca juga:  Gambar Jaring-Jaring Kubus, Lengkap + Contohnya

Tentukan nilai akar-akar PK dari 2x2 + 4x + 2 = 0.

Penyelesaian:a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 – 4ac

Jadi karena nilai D=0, maka terbukti akar real dan kembar.

3. Akar Imajiner / Tidak Real (D<0)

Jika nilai D<0 , maka akar dari persamaan kuadrat akan berbentuk imajiner/ tidak real.

Contoh akar imajiner (D<0)/

Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 2x + 4 = 0 .

Penyelesaian:a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 – 4ac

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

Untuk mencari hasil akar-akar persamaan kuadrat, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan. Diantaranya yaitu faktorisasi, kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc.

Berikut penjelasan mengenai beberapa metode untuk mencari akar-akar persamaan.

1. Faktorisasi

Faktorisasi/ pemfaktoran adalah suatu metode dalam mencari akar-akar dengan mencari nilai yang jika dikalikan maka akan menghasilkan nilai lain.

Terdapat tiga bentuk persamaan kuadrat (PK) dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda, yaitu:

Berikut contoh soal mengenai penggunaan metode faktorisasi pada persamaan kuadrat.

Selesaikan persamaan kuadrat 5x2+13x+6=0 menggunakan metode faktorisasi.

Penyelesaian:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 05x(x + 2) + 3(x + 2) = 0(5x + 3)(x + 2) = 05x = -3 atau x = -2

Jadi, hasil dari penyelesaiannya adalah x = -3/5 atau x= -2

2. Kuadrat Sempurna

Bentuk kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan kuadrat yang menghasilkan bilangan rasional.

Hasil dari persamaan kuadrat sempurna umumnya menggunakan rumus sebagai berikut:

(x+p)2 = x2 + 2px + p2

Penyelesaian umum dari persamaan kuadarat sempurna ialah sebagai berikut:

(x+p)2 = x2 + 2px + p2
dengan pemisalan (x+p)2 = q , maka:
(x+p)2 = q x+p = ± q

x = -p ± q

Berikut contoh soal mengenai penggunaan metode persamaan sempurna.

Selesaikan persamaan x2 + 6x + 5 = 0 menggunakan metode persamaan kuadrat sempurna!

Penyelesaian:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Langkah selanjutnya yaitu tambahkan satu angka di ruas kanan dan kiri hingga dapat berubah ke bentuk kuadrat sempurna.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x+3)2 = 4(x+3) = √4x = 3 ± 2

Jadi, hasil akhirnya adalah x = -1 atau x = -5

Baca juga:  Rumus ABC: Pengertian, Soal dan Pembahasan

3. Rumus Kuadrat ABC

Rumus abc merupakan alternatif pilihan ketika persamaan kuadrat sudah tidak bisa diselesaikan dengan metode faktorisasi maupun kuadrat sempurna.

Berikut rumus formula abc pada persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0.

Berikut contoh penyelesaian soal persamaan kudrat menggunakan formula abc.

Selesaikan persamaan x2 + 4x – 12 = 0 menggunakan metode formula abc!

Penyelesaian:
x2 + 4x – 12 = 0
dengan a=1, b=4, c=-12

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika sebelumnya kita telah belajar bagaimana mengetahui akar-akar dari persamaan tersebut, maka sekarang kita akan belajar menyusun persamaan kuadratnya dari akar-akar yang telah diketahui sebelumnya.

Berikut beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyusun PK baru.

1. Menyusun persamaan jika telah diketahui akar-akarnya

Jika sebuah persamaan memiliki akar x1 dan x2, maka persamaan dari akar tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk

(x- x1)(x- x2)=0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat dimana akar-akarnya diantaranya -2 dan 3.

Penyelesaian:
x1 =-2 dan x2=3(x-(-2))(x-3)=0(x+2)(x+3)

x2-3x+2x-6=0

2. Menyusun persamaan kuadrat jika jumlah serta hasil kali akar diketahui

Jika akar-akar persamaan kuadratnya dengan jumlah dan kali x1 dan x2 telah diketahui, maka persamaan kuadratnya dapat diubah dalam bentuk sebagai berikut.

x2-( x1+ x2)x+(x1.x2)=0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar 3 dan 1/2.

Penyelesaian:
x1=3 dan x2= -1/2
x1+ x2=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2
x1.x2 = 3 (-1/2) = -3/2Sehingga, persamaan kuadratnya yaitu:

x2-( x1+ x2)x+(x1.x2)=0

Referensi: rumusrumus.com