Salah satu akar persamaan 2x3 − 5x2 − 9x 18 0 adalah 3 Jumlah dua akar yang lain adalah

Soal dan Pembahasan Suku Banyak (Polinomial)

$1.$ Salah satu akar persamaan $2x^3 - 5x^2 - 9x + 18 = 0$ adalah 3. Jumlah dua akar yang lain adalah . . . . $A.\ 3$ $B.\ 11$ $C.\ -\dfrac12$ $D.\ 2\dfrac12$ $E.\ 3$

[Suku Banyak Ebtanas 1995 Matematika IPA]

$x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac ba$ $3 + x_2 + x_3 = -\left(-\dfrac52\right)$ $3 + x_2 + x_3 = \dfrac52$ $x_2 + x_3 = \dfrac52 - 3 = -\dfrac12$

jawab: C.

$2.$ Suatu suku banyak $f(x)$ jika dibagi $(x - 1)$ sisanya $6$ dan dibagi $(x + 3)$ sisanya $-2$. Bila $f(x)$ dibagi $(x^2 + 2x - 3)$ sisanya adalah . . . . $A.\ 4x + 2$ $B.\ 2x + 4$ $C.\ -2x + 8$ $D.\ \dfrac12x + 5\dfrac12$ $E.\ -\dfrac12x - 6\dfrac12$

[Suku Banyak Ebtanas 1996 Matematika IPA]

Misalkan: $hasil\ bagi = H(x)$ $pembagi = x^2 + 2x - 3$ $sisa = ax + b$ $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$ $f(x) = (x^2 + 2x - 3).H(x) + ax + b$ Dibagi $(x - 1)$ sisa $6$: $f(1) = (1^2 + 2.1 - 3).H(x) + a.1 + b = 6$ $a + b = 6$ . . . . (*) Dibagi $(x + 3)$ sisa $-2$: $f(-3) = ((-3)^2 + 2.(-3) - 3).H(x)$$ + a.(-3) + b = -2$ $-3a + b = -2$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a + b = 6$ $-3a + b = -2$ ----------------------------- $-$ $4a = 8$ $a = 2$ $b = 4$ $sisa = ax + b = 2x + 4$

jawab: B.

$3.$ Suku banyak $P(x)$ dibagi oleh $(x^2 - 9)$ sisanya $(5x - 13)$ dan jika dibagi oleh $(x + 1)$ sisanya $-10$. Sisa pembagian suku banyak oleh $(x^2 - 2x - 3)$ adalah . . . . $A.\ 3x - 7$ $B.\ -3x + 11$ $C.\ 4\dfrac12x - 14\dfrac12$ $D.\ -4x - 6$ $E.\ 19x - 29$

[Suku Banyak Ebtanas 1999 Matematika IPA]

Misalkan: $Hasil\ bagi = H(x)$ $Pembagi = (x^2 - 2x - 3)$ $Sisa = ax + b$ $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ Dibagi oleh $x^2 - 9$ bersisa $5x - 13$, berarti: $P(-3) = 5.(-3) - 13 = -28$ $P(3) = 5.3 - 13 = 2$ Dibagi oleh $x + 1$ bersisa $-10$, berarti: $P(-1) = -10$ $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ $P(x) = (x^2 - 2x - 3).H(x) + ax + b$ $P(-1) = ((-1)^2 - 2.(-1) - 3).H(x)$$ + a.(-1) + b = -10$ $-a + b = -10$ . . . . (*) $P(3) = (3^2 - 2.3 - 3).H(x) + a.3 + b = 2$ $3a + b = 2$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $-a + b = -10$ $3a + b = 2$ ---------------------------- $-$ $4a = 12$ $a = 3$ $b = -7$ $sisa = ax + b = 3x - 7$

jawab: A.

$4.$ Akar-akar persamaan $px^3 - 14x^2 + 17x - 6 = 0$ adalah $x_1,\ x_2,\ dan\ x_3$. Untuk $x_1 = 3$, maka $x_1x_2x_2 =$ . . . . $A.\ -6$ $B.\ -\dfrac{14}{3}$ $C.\ -2$ $D.\ \dfrac{14}{3}$ $E.\ 2$

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$px^3 - 14x^2 + 17x - 6 = 0$ Karena $x_1 = 3$ adalah salah satu akarnya, maka: $p.3^3 - 14.3^2 + 17.3 - 6 = 0$ $27p - 126 + 51 - 6 = 0$ $27p = 81$ $p = 3$ $3x^3 - 14x^2 + 17x - 6 = 0$ $x_1x_2x_3 = -\dfrac da = -\dfrac{-6}{3} = 2$

jawab: E.

$5.$ Suku banyak $P(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + k$ habis dibagi $(x - 2)$. Sisa pembagian $P(x)$ oleh $x^2 + 2x + 2$ adalah . . . . $A.\ 20x + 4$ $B.\ 20x - 6$ $C.\ 32x + 24$ $D.\ 8x + 24$ $E.\ -32x - 16$

[Suku Banyak Ebtanas 2000 Matematika IPA]

$P(x)$ habis dibagi $(x - 2)$, maka: $P(2) = 0$ $3.2^3 - 4.2^2 - 6.2 + k = 0$ $24 - 16 - 12 + k = 0$ $k = 4$ $P(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + 4$ Lakukan pembagian biasa !

$6.$ Akar-akar persamaan $x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0$ adalah $x_1,\ x_2,\ dan\ x_3$. Nilai $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 =$ . . . . $A.\ 2$ $B.\ 14$ $C.\ 15$ $D.\ 17$ $E.\ 18$

[Suku Banyak Ebtanas 2000 Matematika IPA]

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - $$2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$ $= \left(-\dfrac ba\right)^2 - 2.\dfrac ca$ $= \left(-\dfrac{-4}{1}\right)^2 - 2.\dfrac 11$ $= 16 - 2$ $= 14$

jawab: B.

$7.$ Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x + 1)$ sisanya $= -2$ dan dibagi $(x - 3)$ sisa $7$. Suku banyak $g(x)$ dibagi $(x + 1)$ sisa $3$ dan dibagi $(x - 3)$ sisa $2$. Diketahui $h(x) = f(x).g(x)$, jika $h(x)$ dibagi $(x^2 - 2x - 3)$, sisanya adalah . . . . $A.\ S(x) = 3x - 1$ $B.\ S(x) = 4x - 1$ $C.\ S(x) = 5x - 1$ $D.\ S(x) = 6x - 1$ $E.\ S(x) = 7x + 2$

[Suku Banyak Ebtanas 2001 Matematika IPA]

Misalkan sisa pembagian $h(x) = ax + b$ $h(-1) = -a + b = (-2).3$ $-a + b = -6$ . . . . (*) $h(3) = 3a + b = 7.2$ $3a + b = 14$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $-a + b = -6$ $3a + b = 14$ ------------------------------ $-$ $4a = 20$ $a = 5$ $b = -1$ $sisa = S(x) = 5x - 1$

jawab: C.

$8.$ Suku banyak $(2x^3 + 7x^2 + ax - 3)$ mempunyai faktor $(2x - 1)$. Faktor-faktor linear yang lain adalah . . . . $A.\ (x - 3)\ dan\ (x + 1)$ $B.\ (x + 3)\ dan\ (x + 1)$ $C.\ (x + 3)\ dan\ (x - 1)$ $D.\ (x - 3)\ dan\ (x - 1)$ $E.\ (x + 2)\ dan\ (x - 6)$

[Suku Banyak Ebtanas 2001 Matematika IPA]

$P(x) = 2x^3 + 7x^2 + ax - 3$ Karena $2x - 1$ merupakan faktor dari $P(x)$, maka $P(\dfrac12) = 0$. $2.\left(\dfrac12\right)^3 + 7.\left(\dfrac12\right)^2 + a.\dfrac12 - 3 = 0$ $2.\dfrac18 + 7.\dfrac14 + \dfrac12a - 3 = 0$ $\dfrac14 + \dfrac74 + \dfrac12a - 3 = 0$ $\dfrac12a = 1$ $a = 2$ $P(x) = 2x^3 + 7x^2 + 2x - 3$ Bagi $P(x)$ dengan $(2x - 1)$ menggunakan pembagian sintetik (metode Horner).

jawab: B.

$9.$ Suku banyak $(2x^3 + ax^2 - bx + 3)$ dibagi $(x^2 - 4)$ bersisa $(x + 23)$. Nilai $a + b =$ . . . . $A.\ -1$ $B.\ -2$ $C.\ 2$ $D.\ 9$ $E.\ 12$

[Suku Banyak Ebtanas 2002 Matematika IPA]

$P(x) = (x^2 - 4).H(x) + x + 23$ $P(x) = (x + 2)(x - 2).H(x) + x + 23$ $P(-2) = -2 + 23 = 21$ $P(2) = 2 + 23 = 25$ $P(x) = (2x^3 + ax^2 - bx + 3)$ $P(-2) = 2.(-2)^3 + a.(-2)^2 - b.(-2) + 3$ $-16 + 4a + 2b + 3 = 21$ $4a + 2b = 34$ $2a + b = 17$ . . . . (*) $P(2) = 2.(2)^3 + a.(2)^2 - b.(2) + 3$ $16 + 4a - 2b + 3 = 25$ $4a - 2b = 6$ $2a - b = 3$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $2a + b = 17$ $2a - b = 3$ ------------------------- $-$ $4a = 20$ $a = 5$ $b = 7$ $a + b = 5 + 7 = 12$

jawab: E.

$10.$ Diketahui $x^2 - 3x - 4$ merupakan faktor dari suku banyak $x^4 - 4x^3 - 7x^2 + ax + b$. Nilai $a + b =$ . . . . $A.\ -46$ $B.\ -42$ $C.\ -2$ $D.\ 2$ $E.\ 46$

[Suku Banyak Ebtanas 2003 Matematika IPA]

$x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$ Karena $x^2 - 3x - 4$ merupakan faktor, maka $(x + 1)$ dan $(x - 4)$ adalah faktor. $P(x) = x^4 - 4x^3 - 7x^2 + ax + b$ $P(-1)= (-1)^4 - 4.(-1)^3 - 7.(-1)^2$$ + a.(-1) + b = 0$ $1 + 4 - 7 - a + b = 0$ $a - b = -2$ . . . . (*) $P(4) = 4^4 - 4.4^3 - 7.4^2 + 4a + b = 0$ $4a + b = 112$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a - b = -2$ $4a + b = 112$ ---------------------------- $-$ $5a = 110$ $a = 22$ $b = 24$ $a + b = 22 + 24 = 46$

jawab: E.

$11.$ Suku banyak $x^4 - 3x^3 - 5x^2 + x - 6$ dibagi oleh $x^2 - x - 2$, sisanya sama dengan . . . . $A.\ 16x + 8$ $B.\ 16x - 8$ $C.\ -8x + 16$ $D.\ -8x - 16$ $E.\ -8x - 24$

[Suku Banyak UAN 2004 Matematika IPA]

Lakukan pembagian biasa !

$12.$ Suku banyak $P(x) = x^3 - 2x + 3$ dibagi oleh $x^2 - 2x - 3$, sisanya adalah . . . . $A.\ 4\dfrac12x - 2\dfrac12$ $B.\ 9x - 5$ $C.\ 5x + 3$ $D.\ 11x - 9$ $E.\ 5x + 9$

[Suku Banyak UN 2005 Matematika IPA]

Lakukan pembagian biasa !

$13.$ Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x + 1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x - 3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $2x^2 - x - 3$ sisanya adalah . . . . $A.\ -2x + 8$ $B.\ -2x + 12$ $C.\ -x + 4$ $D.\ -5x + 5$ $E.\ -5x + 15$

[Suku Banyak UN 2007 Matematika IPA]

$f(x) = (2x^2 - x - 3).H(x) + ax + b$ $f(x) = (x + 1)(2x - 3).H(x) + ax + b$ $f(-1) = -a + b = 10$ . . . . (*) $f\left(\dfrac32\right) = \dfrac32a + b = 5$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $-a + b = 10$ $\dfrac32a + b = 5$ -------------------------------- $-$ $-\dfrac52a = 5$ $a = -2$ $b = 8$ $sisa = ax + b = -2x + 8$

jawab: A.

$14.$ Salah satu faktor suku banyak $P(x) = x^4 - 15x^2 - 10x + n$ adalah $(x + 2)$. Faktor lainnya adalah . . . . $A.\ x - 4$ $B.\ x + 4$ $C.\ x + 6$ $D.\ x - 6$ $E.\ x - 8$

[Suku Banyak UN 2008 Matematika IPA]

Karena $x + 2$ adalah salah satu faktor, maka: $P(-2) = 0$ $(-2)^4 - 15.(-2)^2 - 10.(-2) + n = 0$ $16 - 60 + 20 + n = 0$ $n = 24$ $P(x) = x^4 - 15x^2 - 10x + 24$ Bagi dengan $(x + 2)$ menggunakan metode pembagian sintetik (metode Horner).

jawab: A.

$15.$ Suku banyak $f(x)$ jika dibagi $(x - 1)$ bersisa $4$ dan bila dibagi $(x + 3)$ bersisa $-5$. Suku banyak $g(x)$ jika dibagi $(x - 1)$ bersisa $2$ dan bila dibagi $(x + 3)$ bersisa $4$. Jika $h(x) = f(x).g(x)$, maka sisa pembagian $h(x)$ oleh $(x^2 + 2x - 3)$ adalah . . . . $A.\ 6x + 2$ $B.\ x + 7$ $C.\ 7x + 1$ $D.\ -7x + 15$ $E.\ 15x - 7$

[Suku Banyak UN 2009 Matematika IPA]

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$ Misalkan sisa pembagian $h(x)$ adalah $px + q$. Dibagi $(x - 1)$: $p.1 + q = 4.2$ $p + q = 8$ . . . . (*) Dibagi $(x + 3)$: $p.(-3) + q = (-5).4$ $-3p + q = -20$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $p + q = 8$ $-3p + q = -20$ ---------------------------- $-$ $4p = 28$ $p = 7$ $q = 1$ $sisa = ax + b = 7x + 1$

jawab: C.

$16.$ Suku banyak $2x^3 + ax^2 + bx + 2$ dibagi $(x + 1)$ sisanya $6$, dan dibagi $(x - 2)$ sisanya $24$. Nilai $2a - b =$ . . . . $A.\ 0$ $B.\ 2$ $C.\ 3$ $D.\ 6$ $E.\ 9$

[Suku Banyak UN 2010 Matematika IPA]

$P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2$ Dibagi $(x + 1)$ sisa $6$: $P(-1) = 6$ $2.(-1)^3 + a.(-1)^2 + b.(-1) + 2 = 6$ $a - b = 6$ . . . . (*) Dibagi $(x - 2)$ sisa $24$: $P(2) = 24$ $2.2^3 + a.2^2 + b.2 + 2 = 24$ $4a + 2b = 6$ $2a + b = 3$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a - b = 6$ $2a + b = 3$ ------------------------- $-$ $3a = 9$ $a = 3$ $b = -3$ $2a - b = 2.3 - (-3) = 9$

jawab: E.

$17.$ Suatu suku banyak berderajat $3$ jika dibagi $x^2 - 3x + 2$ bersisa $4x - 6$ dan jika dibagi $x^2 - x - 6$ bersisa $8x - 10$. Suku banyak tersebut adalah . . . . $A.\ x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ $B.\ x^3 - 3x^2 + 2x - 4$ $C.\ x^3 + 2x^2 - 3x - 7$ $D.\ 2x^3 + 2x^2 - 8x + 7$ $E.\ 2x^3 + 4x^2 - 10x + 9$

[Suku Banyak UN 2012 Matematika IPA]

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ Misalkan: $P(x) = (x - 1)(x - 2).H(x) + 4x - 6$ $P(1) = 4.1 - 6 = -2$ $P(2) = 4.2 - 6 = 2$ $P(x) = (x + 2)(x - 3).I(x) + 8x - 10$ $P(-2) = 8.(-2) - 10 = -26$ $P(3) = 8.3 - 10 = 14$ Jika kita misalkan $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, kita akan mendapatkan empat persamaan dengan empat variabel. Untuk menghemat waktu, kita bisa menguji $x = -2,\ 1,\ 2,\ 3$ ke opsi yang ada. Opsi yang sesuai adalah opsi A.

jawab: A.

$18.$ Diketahui $(x + 2)$ adalah faktor dari suku banyak $f(x) = 2x^3 - ax^2 - 11x + 6$. Hasil bagi $f(x)$ dibagi $(2x + 3)$ adalah . . . . $A.\ x^2 - 3x + 1$ $B.\ x^2 - 3x - 1$ $C.\ 2x^2 - 6x - 2$ $D.\ 2x^2 + 6x - 2$ $E.\ 2x^2 - 6x + 2$

[Suku Banyak UN 2016 Matematika IPA]

Karena $(x + 2)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka: $f(-2) = 0$ $2.(-2)^3 - a.(-2)^2 - 11.(-2) + 6 = 0$ $-16 - 4a + 22 + 6 = 0$ $12 = 4a$ $a = 3$ $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ Bagi $f(x)$ dengan $(2x + 3)$, gunakan pembagian biasa atau pembagian sintetik (metode Horner) ! Di sini digunakan pembagian biasa.

$19.$ Diketahui $(x - 2)$ dan $(x + 1)$ adalah faktor-faktor persamaan suku banyak $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$. Jika $x_1,\ x_2,\ dan\ x_3$ adalah akar-akar persamaan tersebut dengan $x_1 < x_2 < x_3$, nilai $2x_1 - x_2 + x_3$ adalah . . . . $A.\ -2$ $B.\ 1$ $C.\ 2$ $D.\ 5$ $E.\ 9$

[Suku Banyak UN 2016 Matematika IPA]

$2^3 + a.2^2 + b.2 + 10 = 0$ $4a + 2b = -18$ $2a + b = -9$ . . . . (*) $(-1)^3 + a.(-1)^2 + b.(-1) + 10 = 0$ $a - b = -9$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $2a + b = -9$ $a - b = -9$ ------------------------ $-$ $3a = -18$ $a = -6$ $b = 3$ Suku banyak menjadi: $x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 0$ $x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac BA$ $-1 + 2 + x_3 = -\dfrac {-6}{1}$ $x_3 = 5$ Dengan demikian: $x_1 = -1$ $x_2 = 2$ $x_3 = 5$ $2x_1 - x_2 + x_3 = 2.(-1) - 2 + 5 = 1$

jawab: B.

$20.$ Jika $v(x)$ dibagi oleh $x^2 - x$ dan $x^2 + x$ masing-masing bersisa $5x + 1$ dan $3x + 1$ maka, jika $v(x)$ dibagi $x^2 - 1$ bersisa . . . . $A.\ -4x + 2$ $B.\ 4x + 2$ $C.\ 2x + 4$ $D.\ 2x - 4$ $E.\ tidak\ dapat\ ditentukan$

[Suku Banyak Skalu 1978 Matematika IPA]

$v(x) = (x^2 - 1).H(x) + ax + b$ $v(x) = (x - 1)(x + 1).H(x) + ax + b$ $x^2 - x = x(x - 1)$. Dibagi $x^2 - x$ sisa $5x + 1$, berarti jika dibagi oleh $x - 1$ akan bersisa $5.1 + 1 = 6$. $v(1) = (1 - 1)(1 + 1).H(x) + a.1 + b = 6$ $a + b = 6$ . . . . (*) $x^2 + x = x(x + 1)$ Dibagi $x^2 + x$ bersisa $3x + 1$, berarti jika dibagi $x + 1$ akan bersisa $3.(-1) + 1 = -2$. $v(-1) = (-1 - 1)(-1 + 1).H(x)$$ + a.(-1) + b = -2$ $-a + b = -2$ . . . . (*) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a + b = 6$ $-a + b = -2$ ------------------------ $+$ $2b = 4$ $b = 2$ $a = 4$ $sisa = ax + b = 4x + 2$

jawab: B.

$21.$ Jika $x - y + 1$ merupakan sebuah faktor dari suku banyak $ax^2 + bxy + cy^2 + 5x - 2y + 3$ maka harga $a,\ b,\ dan\ c$ adalah . . . . $A.\ 2,\ -1,\ 1$ $B.\ 2,\ -1,\ -1$ $C.\ -2,\ 1,\ 1$ $D.\ -2,\ -1,\ 1$ $E.\ 2,\ 1,\ -1$ [Proyek Perintis I 1982 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$x - y + 1 = 0$ $y = x + 1$ Substitusikan $y = x + 1$ ke dalam persamaan suku banyak ! $ax^2 + bx(x + 1) + c(x + 1)^2 + 5x -$$ 2(x + 1) + 3 = 0$ $ax^2 + bx(x + 1) + c(x^2 + 2x + 1) + 5x -$$ 2(x + 1) + 3 = 0$ $ax^2 + bx^2 + bx + cx^2 + 2cx + c + 5x - $$2x - 2 + 3 = 0$ $(a + b + c)x^2 + (b + 2c + 3)x + c + 1 = 0$ $c + 1 = 0$ $c = -1$ $b + 2c + 3 = 0$ $b + 2.(-1) + 3 = 0$ $b = -1$ $a + b + c = 0$ $a - 1 - 1 = 0$ $a = 2$

jawab: B.

$22.$ Banyak akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^4 - 15x^2 + 5x + 6 = 0$ adalah . . . . $A.\ 0$ $B.\ 1$ $C.\ 2$ $D.\ 3$ $E.\ 4$ [Soal Ebtanas 1990 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

Akar-akar rasional bulat yang mungkin adalah faktor dari $6$, yaitu: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$. Dengan metode try and error, $x - 1$ adalah salah satu faktor.

jawab: C.

$23.$ Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Jika suku banyak $3x^{2n + 1} - x^{2n} + 5x - 4$ dibagi $x + 1$ maka sisa pembagiannya sama dengan . . . . $A.\ -13$ $B.\ -12$ $C.\ 10$ $D.\ 13$ $E.\ 15$

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = 3x^{2n + 1} - x^{2n} + 5x - 4$ $f(-1) = 3.(-1)^{2n + 1} - (-1)^{2n} + 5.(-1) - 4$ $-1$ dipangkat ganjil $= -1$, $-1$ dipangkat genap $= 1$. $2n + 1$ akan selalu bernilai ganjil dan $2n$ akan selalu bernilai genap. $f(-1) = 3.(-1) - 1 - 5 - 4 = -13$

jawab: A.

$24.$ Suku banyak $f(x)$ habis dibagi $x + 3$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 - 9$ maka sisa pembagiannya adalah . . . . $A.\ \dfrac16(x + 3)f(3)$ $B.\ -\dfrac16(x + 3)f(3)$ $C.\ \dfrac16(x - 3)f(3)$ $D.\ -\dfrac16(x + 3)f(-3)$ $E.\ \dfrac16(x - 3)f(-3)$

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x^2 - 9).H(x) + ax + b$ $f(x) = (x + 3)(x - 3).H(x) + ax + b$ $f(-3) = 0$ ← habis $-3a + b = 0$ . . . . (*) $f(3) = 3a + b$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $-3a + b = 0$ $3a + b = f(3)$ ------------------------- $+$ $2b = f(3)$ $b = \dfrac12f(3)$ ← masukkan ke pers (*) $-3a + \dfrac12f(3) = 0$ $3a = \dfrac12f(3)$ $a = \dfrac16f(3)$ $\begin{align} sisa &= ax + b\\ &= \dfrac16f(3)x + \dfrac12f(3)\\ &= \dfrac16(x + 3)f(3)\\ \end{align}$

jawab: A.

$25.$ Misal $f(x)$ adalah suatu suku banyak yang jika dibagi $x^3 + 27$ maka sisa pembagiannya adalah $x^2 - 2x + 7$. Jika $f(x)$ dibagi $x^2 - 3x + 9$ maka sisa pembagiannya adalah . . . . $A.\ x - 2$ $B.\ -x + 2$ $C.\ -x + 16$ $D.\ -5x + 16$ $E.\ x + 16$

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x^3 + 27).H(x) + x^2 - 2x + 7$ $f(x) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9).H(x) + x^2 -$$ 2x + 7$ $f(x)$ dibagi $x^2 - 3x + 9$ sisa pembagian adalah $(x^2 - 2x + 7) : (x^2 - 3x + 9)$

$26.$ Jika suku banyak $p(x) = x^4 + 4x^3 + 6ax^2 + 4bx + c$ dibagi $x^3 + 3x^2 + 9x + 3$ bersisa $cx + b$, maka $b =$ . . . . $A.\ 2$ $B.\ 3$ $C.\ 5$ $D.\ 6$ $E.\ 8$ [Soal SBMPTN 2013 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

Lakukan pembagian biasa !

jawab: C.

$27.$ Jika $x^4 + ax^3 + (b - 14)x^2 + 28x - 15 = $$f(x)(x - 1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x - 1$, maka nilai $b$ adalah . . . . $A.\ -4$ $B.\ -2$ $C.\ 0$ $D.\ 2$ $E.\ 4$ [Soal SBMPTN 2013 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$x^4 + ax^3 + (b - 14)x^2 + 28x - 15 = $$f(x)(x - 1)$ $1^4 + a1^3 + (b - 14)1^2 + 28.1 - 15 =$$ f(1)(1 - 1)$ $1 + a + b - 14 + 28 - 15 = 0$ $a + b = 0$ $a = -b$ . . . . (*) Turunkan: $4x^3 + 3ax^2 + 2(b - 14)x + 28 = $$f'(x)(x - 1) + f(x)$ $4.1^3 + 3a.1^2 + 2(b - 14).1 + 28 =$$ f'(1)(1 - 1) + f(1)$ $f(x)$ habis dibagi $x - 1$, berarti $f(1) = 0$ $4 + 3a + 2b - 28 + 28 = 0$ $3a + 2b + 4 = 0$ . . . . (**) Substitusi pers (*) ke pers (**) $3.(-b) + 2b + 4 = 0$ $b = 4$

jawab: E.

$28.$ Diketahui $P$ dan $Q$ suatu polinomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^2 - 1$ bersisa $3x + 5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x - 1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x - 1$ bersisa . . . . $A.\ 8$ $B.\ 6$ $C.\ 4$ $D.\ 2$ $E.\ 1$ [Soal SBMPTN 2014 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(x)Q(x)$ dibagi $x - 1\ sisa\ 3x + 5$ $P(1)Q(1) = 3.1 + 5 = 8$ $Q(x)$ dibagi $x - 1\ bersisa\ 4$ $Q(1) = 4$ $P(1).4 = 8$ $P(1) = \dfrac84 = 2$

jawab: D.

$29.$ Diketahui $P$ dan $Q$ suatu polinomial. Jika $P(x)$ berturut-turut memberikan sisa $-1$ dan $5$ apabila dibagi $x - 1$ dan dibagi $x + 2$, dan $Q(x)$ berturut-turut memberikan sisa $1$ dan $-2$ apabila dibagi $x + 2$ dan dibagi $x - 1$, maka $P(Q(x))$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa . . . . $A.\ 2x - 3$ $B.\ 2x + 3$ $C.\ 3x + 2$ $D.\ -3x + 2$ $E.\ 3x - 2$ [Soal SBMPTN 2014 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(1) = -1$ $P(-2) = 5$ $Q(1) = -2$ $Q(-2) = 1$ $P(Q(x)) = (x^2 + x - 2).H(x) + ax + b$ $P(Q(x)) = (x + 2)(x - 1).H(x) + ax + b$ $P(Q(1)) = (1 + 2)(1 - 1).H(1) + a.1 + b$ Karena $Q(1) = -2$ dan $P(-2) = 5$ $P(-2) = a + b = 5$ . . . . (*) $P(Q(-2)) = (-2 + 2)(-2 - 1).H(-2) +$$ a.(-2) + b$ Karena $Q(-2) = 1$ dan $P(1) = -1$ $P(1) = -2a + b = -1$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a + b = 5$ $-2a + b = -1$ ------------------------- (-) $3a = 6$ $a = 2$ $b = 3$ $sisa = 2x + 3$

jawab: B.

$30.$ Suku banyak $p(x) = (x - a)^5 + (x - b)^4 + (x - 3)$ habis dibagi oleh $x^2 - (a + b)x + ab.$ Jika $a \ne b$, $a \ne 4$, maka $b =$ . . . . $A.\ \dfrac{3a + 3 - a^2}{a - 4}$ $B.\ \dfrac{a^2 - a - 1}{a - 4}$ $C.\ \dfrac{a^2 + 4 - a}{4 - a}$ $D.\ \dfrac{3a + 3 - a^2}{4 - a}$ $E.\ \dfrac{3a - 3 - a^2}{4 - a}$ [Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b)$ $p(a) = 0$ $(a - a)^5 + (a - b)^4 + (a - 3) = 0$ $(a - b)^4 + (a - 3) = 0$ $(b - a)^4 = 3 - a$ . . . . (*) $P(b) = 0$ $(b - a)^5 + (b - b)^4 + (b - 3) = 0$ $(b - a)^5 + (b - 3) = 0$ $(b - a)^5 = 3 - b$ . . . . (**) $\dfrac{(b - a)^5}{(b - a)^4} = \dfrac{3 - b}{3 - a}$ $b - a = \dfrac{3 - b}{3 - a}$ $(b - a)(3 - a) = 3 - b$ $3b - ab - 3a + a^2 = 3 - b$ $4b - ab = 3 + 3a - a^2$ $b(4 - a) = 3 + 3a - a^2$ $b = \dfrac{3 + 3a - a^2}{4 - a}$

jawab: D.

$31.$ Sisa pembagian $x^{2014} - Ax^{2015} + Bx^3 - 1$ oleh $x^2 - 1$ adalah $-x + B$. Nilai $2A + B$ adalah . . . . $A.\ 1$ $B.\ 2$ $C.\ 3$ $D.\ 4$ $E.\ 5$ [Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(x) = (x^2 - 1).H(x) - x + B$ $P(1) = -1 + B$ $P(-1) = 1 + B$ $P(x) = x^{2014} - Ax^{2015} + Bx^3 - 1$ $P(1) = 1^{2014} - A.1^{2015} + B.1^3 - 1$ $P(1) = -A + B$ $-A + B = -1 + B$ $A = 1$ $P(-1) = (-1)^{2014} - A.(-1)^{2015} + B.(-1)^3 - 1$ $P(-1) = A - B$ $A - B = 1 + B$ $A - 2B = 1$ $1 - 2B = 1$ $2B = 0$ $B = 0$ $2A + B = 2.1 + 0 = 2$

jawab: B.

$32.$ Fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi dengan sifat $f(-x) = f(x)$ dan $g(-x) = g(x)$. Jika sisa pembagian $(x - 1)f(x)$ oleh $x^2 - 2x - 3$ adalah $x + 3$ dan sisa pembagian $(x + 2)g(x)$ oleh $x^2 + 2x - 3$ adalah $x + 5$, maka sisa pembagian $xf(x)g(x)$ oleh $x^2 + 4x + 3$ adalah . . . . $A.\ -10x - 8$ $B.\ -8x - 6$ $C.\ -6x - 4$ $D.\ -5x - 3$ $E.\ -4x - 2$ [Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$(x - 1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).H(x) + x + 3$ $(x - 1)f(x) = (x + 1)(x - 3).H(x) + x + 3$ $(-1 - 1)f(-1) = (-1 + 1)(-1 - 3).H(-1) - 1 + 3$ $(-2)f(-1) = 2$ $f(-1) = -1$ $(3 - 1)f(3) = (3 + 1)(3 - 3).H(3) + 3 + 3$ $2f(3) = 6$ $f(3) = 3$ karena $f(-x) = f(x)$, maka: $f(-3) = 3$ $(x + 2)g(x) = (x^2 + 2x - 3).I(x) + x + 5$ $(x + 2)g(x) = (x + 3)(x - 1).I(x) + x + 5$ $(-3 + 2)g(-3) = (-3 + 3)(-3 - 1).I(-3) - 3 + 5$ $(-1)g(-3) = 2$ $g(-3) = -2$ $(1 + 2)g(1) = (1 + 3)(1 - 1).I(1) + 1 + 5$ $3g(1) = 6$ $g(1) = 2$ karena $g(-x) = g(x)$, maka: $g(-1) = 2$ $xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).J(x) + px + q$ $xf(x)g(x) = (x + 3)(x + 1).J(x) + px + q$ $(-3).f(-3).g(-3) = -3p + q$ $(-3).3.(-2) = -3p + q$ $-3p + q = 18$ . . . . (*) $(-1).f(-1).g(-1) = -p + q$ $(-1).(-1).2 = -p + q$ $-p + q = 2$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $-3p + q = 18$ $-p + q = 2$ -------------------------- $-$ $-2p = 16$ $p = -8$ $q = -6$ $sisa = -8x - 6$

jawab: B.

$33.$ Jika diketahui sisa pembagian $xf(x)$ oleh $(x^2 + 4x - 12)$ adalah $ax + b$, sisa pembagian $(x - 1)g(x)$ oleh $(x^2 + x - 6)$ adalah $x + 3$ dan sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $(x^2 - 8x + 12)$ adalah $7x - 3$, maka $4a^2 + 4ab + b^2 =$ . . . . $A.\ \dfrac{4}{25}$ $B.\ \dfrac{6}{25}$ $C.\ \dfrac{8}{25}$ $D.\ \dfrac{10}{25}$ $E.\ \dfrac{11}{25}$ [Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$xf(x) = (x^2 + 4x - 12).H(x) + ax + b$ $xf(x) = (x + 6)(x - 2).H(x) + ax + b$ $2f(2) = 2a + b$ . . . . (*) $(x - 1)g(x) = (x^2 + x - 6).I(x) + x + 3$ $(x - 1)g(x) = (x + 3)(x - 2).I(x) + x + 3$ $(2 - 1)g(2) = 2 + 3$ $g(2) = 5$ . . . . (**) $f(x)g(x) = (x^2 - 8x + 12).J(x) + 7x - 13$ $f(x)g(x) = (x - 2)(x - 6).J(x) + 7x - 13$ $f(2)g(2) = 7.2 - 13$ $f(2)g(2) = 1$ $2f(2)g(2) = 2$ . . . . (***) Masukkan pers (*) dan (**) ke pers (***) $(2a + b)5 = 2$ $(2a + b) = \dfrac{2}{5}$ $(2a + b)^2 = \dfrac{4}{25}$ $4a^2 + 4ab + b^2 = \dfrac{4}{25}$

jawab: A.

$34.$ Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^3 - 3x + 5$ adalah $3x^2 - 2$, dan sisa pembagian $x^2 + f^2(x)$ oleh $x^3 - 3x + 5$ adalah $ax^2 + bx + c$, maka $a + b + c =$ . . . . $A.\ -35$ $B.\ -30$ $C.\ -25$ $D.\ -20$ $E.\ -15$ [Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x^3 - 3x + 5).H(x) + 3x^2 - 2$ $x^2 + f^2(x) = x^2 + [(x^3 - 3x + 5).H(x) + 3x^2 - 2]^2$ $= x^2 + \underbrace{(x^3 - 3x + 5)^2.H^2(x)}_{habis\ dibagi\ x^3 - 3x + 5} + $$\underbrace{2.(x^3 - 3x + 5).H(x).(3x^2 - 2)}_{habis\ dibagi\ x^3 - 3x + 5} + (3x^2 - 2)^2$ $= x^2 + 9x^4 - 12x^2 + 4$ $= 9x^4 - 11x^2 + 4$ Bagi dengan $x^3 - 3x + 5$ dengan menggunaakan pembagian biasa.

jawab: C.

$35.$ Sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2 - 4)$ adalah $(ax + b)$. Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x - 2)$ adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x + 2)$ adalah $-5$, maka nilai $4a + b$ adalah . . . . $A.\ -4$ $B.\ -2$ $C.\ 2$ $D.\ 4$ $E.\ 7$ [Soal SBMPTN 2017 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$p(x) = (x^2 - 4).H(x) + ax + b$ $p(x) = (x + 2)(x - 2).H(x) + ax + b$ $p(2) = 2a + b = 3$ $2a + b = 3$ . . . . (*) $p(-2) = -2a + b = -5$ $-2a + b = -5$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $2a + b = 3$ $-2a + b = -5$ ------------------------ $+$ $2b = -2$ $b = -1$ $a = 2$ $4a + b = 4.2 - 1 = 7$

jawab: E.

$36.$ Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa $ax + b$ dan dibagi $x^2 - 4x + 3$ bersisa $2bx + a - 1$. Jika $f(-2) = 7$, maka $a^2 + b^2 =$ . . . . $A.\ 12$ $B.\ 10$ $C.\ 9$ $D.\ 8$ $E.\ 5$ [Soal SIMAK UI 2018 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x^2 + x - 2).H(x) + ax + b$ $f(x) = (x + 2)(x - 1).H(x) + ax + b$ $f(-2) = -2a + b = 7$ $-2a + b = 7$ . . . . (*) $f(1) = a + b$ . . . . (**) $f(x) = (x^2 - 4x + 3).I(x) + 2bx + a - 1$ $f(x) = (x - 3)(x - 1).I(x) + 2bx + a - 1$ $f(1) = 2b + a - 1$ . . . . (***) dari persamaan (**) dan (***) $a + b = 2b + a - 1$ $b = 1$ Masukkan $b = 1$ ke persamaan (*) $-2a + 1 = 7$ $a = -3$ $a^2 + b^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10$

jawab: B.

$37.$ Sisa pembagian $p(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ oleh $x + 3$ adalah $2$. Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x + 1$ dan $x - 1$, maka $A + 2B - 3C =$ . . . . $A.\ 10$ $B.\ 11$ $C.\ 12$ $D.\ 13$ $E.\ 14$ [Soal SBMPTN 2018 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$p(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ $p(-3) = (-3)^3 + A(-3)^2 + B.(-3) + C = 2$ $9A - 3B + C = 29$ . . . . (1) $p(-1) = (-1)^3 + A(-1)^2 + B.(-1) + C = 0$ $A - B + C = 1$ . . . . (2) $p(1) = (1)^3 + A(1)^2 + B.(1) + C = 0$ $A + B + C = -1$ . . . . (3) Eliminasi persamaan (2) dan (3) $A - B + C = 1$ $A + B + C = -1$ -------------------------- $-$ $-2B = 2$ $B = -1$ Dengan mensubstitusikan nilai $B = -1$ ke persamaan (2), didapat: $A + C = 0$ . . . . (4) Dengan mensubstitusikan nilai $B = -1$ ke persamaan (1), didapat: $9A + C = 26$ . . . . (5) Eliminasi persamaan (4) dan (5) $9A + C = 26$ $A + C = 0$ ---------------------- $-$ $8A = 26$ $A = \dfrac{13}{4}$ $C = -\dfrac{13}{4}$ $A + 2B - 3C = \dfrac{13}{4} - 2 - 3\left(-\dfrac{13}{4}\right)$ $= \dfrac{13}{4} - 2 + \dfrac{39}{4}$ $= \dfrac{52}{4} - \dfrac84$ $= \dfrac{44}{4}$ $= 11$

jawab: B.

$38.$ Sisa pembagian $p(x) = x^3 + ax^2 + 4x + 2b + 1$ oleh $x^2 + 4$ adalah $b - 3a$. Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x + 1$, maka $a^2 + b =$ . . . . $A.\ 1$ $B.\ 3$ $C.\ 5$ $D.\ 7$ $E.\ 9$ [Soal SBMPTN 2018 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$p(-1) = (-1)^3 + a.(-1)^2 + 4.(-1) + 2b + 1 = 0$ $a + 2b = 4$ . . . . (*) Bagi $p(x) = x^3 + ax^2 + 4x + 2b + 1$ dengan $x^2 + 4$ dengan pembagian biasa !

jawab: C.

$39.$ Diketahui suku banyak $P(x) = x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2 + k$ habis dibagi $x - 2$. Jika $P(x)$ dibagi $x - 1$ sisanya adalah . . . . $A.\ 8$ $B.\ 4$ $C.\ 0$ $D.\ -1$ $E.\ -2$ [Soal SBMPTN 2010 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(2) = 2^4 + 2.2^3 - 9.2^2 - 2 + k = 0$ $k = 6$ $P(x) = x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2 + 6$ $P(1) = 1^4 + 2.1^3 - 9.1^2 - 2 + 6 = -2$

jawab: E.

$40.$ Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x - 1)$, maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x - 1)(x + 1)$ adalah . . . . $A.\ \dfrac{-f(-1)}{2}(1 + x)$ $B.\ \dfrac{-f(-1)}{2}(1 - x)$ $C.\ \dfrac{f(-1)}{2}(1 + x)$ $D.\ \dfrac{f(-1)}{2}(1 - x)$ $E.\ \dfrac{f(-1)}{2}(x - 1)$ [Soal SIMAK UI 2009 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x + 1)(x - 1).H(x) + ax + b$ $f(1) = a + b = 0$ $a + b = 0$ . . . . (*) $f(-1) = -a + b$ $-a + b = f(-1)$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a + b = 0$ $-a + b = f(-1)$ ------------------------- $+$ $2b = f(-1)$ $b = \dfrac{f(-1)}{2}$ $a = -\dfrac{f(-1)}{2}$ $\begin{align} sisa &= -\dfrac{f(-1)}{2}x + \dfrac{f(-1)}{2}\\ &= \dfrac{f(-1)}{2}(1 - x)\\ \end{align}$

jawab: D.

$41.$ Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x,\ x - 1,\ dan\ x + 2$ berturut-turut adalah $2,\ 3,\ dan\ 4,$ maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^3 + x^2 - 2x$ adalah . . . . $A.\ -\dfrac13x^2 - \dfrac23x - 2$ $B.\ \dfrac13x^2 + \dfrac23x + 2$ $C.\ \dfrac13x^2 + 2x - \dfrac23$ $D.\ \dfrac23x^2 - \dfrac13x - 2$ $E.\ \dfrac23x^2 + \dfrac13x + 2$ [Soal SIMAK UI 2010 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

Karena orde pembagi adalah 3, maka orde dari sisa pembagian adalah 2. $f(x) = (x^3 + x^2 - 2x).H(x) + ax^2 + bx + c$ $f(x) = x(x + 2)(x - 1).H(x) + ax^2 + bx + c$ $f(0) = c = 2$ $f(-2) = 4a - 2b + c = 4$ $4a - 2b + 2 = 4$ $4a - 2b = 2$ $2a - b = 1$ . . . . (*) $f(1) = a + b + c = 3$ $a + b + 2 = 3$ $a + b = 1$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $2a - b = 1$ $a + b = 1$ --------------------- $+$ $3a = 2$ $a = \dfrac23$ $b = \dfrac13$ $\begin{align} sisa &= ax^2 + bx + c\\ &= \dfrac23x^2 + \dfrac13x + 2\\ \end{align}$

jawab: E.

$42.$ Jumlah dari semua solusi riil dari persamaan $x^5 - 4x^4 - 2x^3 + 39x^2 - 54x = 0$ adalah . . . . $A.\ -4$ $B.\ -1$ $C.\ 0$ $D.\ 1$ $E.\ 4$ [Soal SIMAK UI 2010 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

jawab: B.

$43.$ Diketahui $P(x) = ax^5 + bx - 1$, dengan $a$ dan $b$ konstanta. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x - 2010)$ bersisa $6$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x + 2010)$ akan bersisa . . . . $A.\ -8$ $B.\ -2$ $C.\ -1$ $D.\ 1$ $E.\ 8$ [Soal SIMAK UI 2010 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(x) = ax^5 + bx - 1$ $P(2010) = a.(2010)^5 + b.2010 - 1 = 6$ $a.(2010)^5 + b.2010 = 7$ . . . . (*) $\begin{align} P(-2010) &= a.(-2010)^5 + b.(-2010) - 1\\ &= -a.(2010)^5 - b.2010 - 1\\ &= -(a.(2010)^5 + b.2010) - 1\\ &= -7 - 1\\ &= -8\\ \end{align}$

jawab: A.

$44.$ Misalkan $f(x)$ adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama, dan jumlah akar-akarnya adalah $12$. Maka sisa dari pembagian $f(x + 6)$ oleh $x^2 + 1$ adalah . . . . $A.\ 7x - 6$ $B.\ x + 6$ $C.\ 6x - 7$ $D.\ x - 6$ $E.\ x + 1$ [Soal SIMAK UI 2011 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

Misalkan akar-akarnya adalah: $a,\ 2a,\ 3a.$ $a + 2a + 3a = 12$ $6a = 12$ $a = 2$ Dengan demikian akar-akarnya adalah: $2,\ 4,\ 6.$ $f(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 6)$ $f(x + 6) = (x + 6 - 2)(x + 6 - 4)(x + 6 - 6)$ $= (x + 4)(x + 2)(x)$ $= x^3 + 6x^2 + 8x$

$45.$ Misalkan $f(x) = (x - 3)^3 + (x - 2)^2 + (x - 1)$. Maka sisa pembagian $f(x + 2)$ oleh $x^2 - 1$ adalah . . . . $A.\ -2 + 5x$ $B.\ -9 + 14x$ $C.\ 5 - 2x$ $D.\ 14 - 9x$ $E.\ 11 + 19x$ [Soal SIMAK UI 2012 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x - 3)^3 + (x - 2)^2 + (x - 1)$ $f(x + 2) = (x + 2 - 3)^3 + (x + 2 - 2)^2 $$+ (x + 2 - 1)$ $= (x - 1)^3 + x^2 + x + 1$ $= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + x^2 + x + 1$ $= x^3 - 2x^2 + 4x$

$46.$ Sisa dari pembagian $(3x - 10)^{10} + (-4x + 13)^{13} + (5x - 16)^{16} + $$(ax + b)^{19}$ oleh $x - 3$ adalah $3$. Nilai $a$ dan $b$ yang mungkin adalah . . . . $1.\ a = 1,\ b = -3$ $2.\ a = 0,\ b = 0$ $3.\ a = -1,\ b = 3$ $4.\ a = -6,\ b = 19$ [Soal SIMAK UI 2012 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(x) = (3x - 10)^{10} + (-4x + 13)^{13} + $$(5x - 16)^{16} + (ax + b)^{19}$ $P(3) = 3$ $3 = (3.3 - 10)^{10} + (-4.3 + 13)^{13} + $$(5.3 - 16)^{16} + (a.3 + b)^{19}$ $3 = 1 + 1 + 1 + (3a + b)^{19}$ $(3a + b)^{19} = 0$ Kemungkinan: $1.\ a = 1,\ b = -3$ $2.\ a = 0,\ b = 0$ $3.\ a = -1,\ b = 3$ Opsi 1, 2, dan 3 benar.

jawab: A.

$47.$ Jika suku banyak $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ dibagi $x^2 - x$ bersisa $x + 2$ dan jika $xf(x) + g(x)$ dibagi $x^2 + x - 2$ bersisa $x - 4$, maka $f(1) =$ . . . . $A.\ \dfrac34$ $B.\ \dfrac12$ $C.\ 0$ $D.\ -\dfrac12$ $E.\ -\dfrac34$ [Soal SIMAK UI 2016 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$\dfrac{g(x)}{f(x)} = (x^2 - x).H(x) + x + 2$ $\dfrac{g(x)}{f(x)} = x(x - 1).H(x) + x + 2$ $\dfrac{g(1)}{f(1)} = 1(1 - 1).H(1) + 1 + 2$ $\dfrac{g(1)}{f(1)} = 3$ $g(1) = 3f(1)$ . . . . (*) $xf(x) + g(x) = (x^2 + x - 2).I(x) + x - 4$ $xf(x) + g(x) = (x + 2)(x - 1).I(x) + x - 4$ $1.f(1) + g(1) = (1 + 2)(1 - 1).I(1) + 1 - 4$ $f(1) + g(1) = -3$ . . . . (**) Substitusi persamaan (*) ke dalam persamaan (**) $f(1) + 3f(1) = -3$ $4f(1) = -3$ $f(1) = -\dfrac34$

jawab: E.

$48.$ Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^2 - 4$ mempunyai sisa $ax + a$ dan suku banyak $g(x)$ dibagi $x^2 - 9$ mempunyai sisa $ax + a - 5$. Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x + 2$ sama nilainya dengan sisa pembagian $g(x)$ oleh $x - 3$ dan $f(-3) = g(2) = -2$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2 + x - 6$ adalah . . . . $A.\ 4x - 2$ $B.\ -4x - 2$ $C.\ 4x + 2$ $D.\ -4x + 2$ $E.\ -4x - 1$ [Soal SIMAK UI 2017 Matematika IPA]

[Soaal dan Pembahasan Suku Banyak]

$f(x) = (x^2 - 4).H(x) + ax + a$ $f(x) = (x + 2)(x - 2).H(x) + ax + a$ $f(-2) = -2a + a = -a$ $f(2) = 2a + a = 3a$ $g(x) = (x^2 - 9).I(x) + ax + a - 5$ $g(x) = (x + 3)(x - 3).I(x) + ax + a - 5$ $g(-3) = -3a + a - 5$ $g(-3) = -2a - 5$ $g(3) = 3a + a - 5$ $g(3) = 4a - 5$ $f(-2) = g(3)$ $-a = 4a - 5$ $5 = 5a$ $a = 1$ Dengan demikian: $f(-2) = -1$ $f(2) = 3$ $f(-3) = -2$ ← dari soal $g(-3) = -7$ $g(3) = -1$ $g(2) = -2$ ← dari soal $f(x)g(x) = (x^2 + x - 6).J(x) + px + q$ $f(x)g(x) = (x + 3)(x - 2).J(x) + px + q$ $f(2)g(2) = 2p + q$ $3.(-2) = 2p + q$ $2p + q = -6$ . . . . (*) $f(-3)g(-3) = -3p + q$ $(-2).(-7) = -3p + q$ $-3p + q = 14$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $2p + q = -6$ $-3p + q = 14$ ----------------------------- $-$ $5p = -20$ $p = -4$ $q = 2$ $sisa = -4x + 2$

jawab: D.

$49.$ Suku banyak $P(x)$ dibagi $x^2 - x - 2$ mempunyai hasil bagi $Q(x)$ dan sisa $x + 2$. Jika $Q(x)$ dibagi $x + 2$ mempunyai sisa $3$, maka sisa $P(x)$ dibagi $x^2 + 3x + 2$ adalah . . . . $A.\ -11x - 10$ $B.\ -10x - 11$ $C.\ 11x - 10$ $D.\ 10x + 11$ [Soal UM UGM 2013 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(x) = (x^2 - x - 2).Q(x) + x + 2$ $P(x) = (x + 1)(x - 2).Q(x) + x + 2$ . . . . (*) $Q(x) = (x + 2).H(x) + 3$ . . . . (**) Substitusi persamaan (**) ke dalam persamaan (*) $P(x) = (x + 1)(x - 2)[(x + 2).H(x) + 3]$$ + x + 2$ $P(-1) = 0 - 1 + 2 = 1$ $P(-2) = (-1).(-4)[0 + 3] - 2 + 2 = 12$ $P(x) = (x^2 + 3x + 2).I(x) + ax + b$ $P(x) = (x + 2)(x + 1).I(x) + ax + b$ $P(-2) = -2a + b = 12$ . . . . (1) $P(-1) = -a + b = 1$ . . . . (2) Eliminasi persamaan (1) dan (2) $-2a + b = 12$ $-a + b = 1$ ------------------------- $-$ $a = -11$ $b = -10$ $sisa = -11x - 10$

jawab: A.

$50.$ Jika $P(x) = x^5 + ax^4 + x^2 + bx + 2$ dibagi $h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ memberi sisa $r(x) = x^2 - 3x + 4$ maka $a + b =$ . . . . $A.\ -2$ $B.\ -1$ $C.\ 1$ $D.\ 2$ $E.\ 3$ [Soal UM UGM 2014 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

$P(x) = x^5 + ax^4 + x^2 + bx + 2$ $P(1) = 1 + a + 1 + b + 2 = a + b + 4$ $P(-1)= -1 + a + 1 - b + 2 = a - b + 2$ $P(x) = (x^3 + 2x^2 - x - 2).H(x) +$$ x^2 - 3x + 4$ $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2).H(x) +$$ x^2 - 3x + 4$ $P(1) = 2$ $P(-1) = 8$ $a + b + 4 = 2$ $a + b = -2$ . . . . (*) $a - b + 2 = 8$ $a - b = 6$ . . . . (**) Eliminasi persamaan (*) dan (**) $a + b = -2$ $a - b = 6$ ---------------------- $+$ $2a = 4$ $a = 2$ $b = -4$ $a + b = 2 - 4 = -2$

jawab: A.

$51.$ Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^3 - 12x^2 + (p + 4)x - (p + 8) = 0$ Membentuk deret aritmetika dengan beda $2$, maka $p - 36 =$ . . . . $A.\ -2$ $B.\ 0$ $C.\ 4$ $D.\ 8$ $E.\ 12$ [Soal UM UGM 2017 Matematika IPA]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

Misalkan akar-akarnya adalah: $a,\ a + 2,\ a + 4$ $x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac ba$ $a + a + 2 + a + 4 = -\dfrac {-12}{1}$ $3a + 6 = 12$ $3a = 6$ $a = 2$ Dengan demikian akar-akarnya adalah: $2,\ 4,\ 6$ $x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$ $2.4.6 = -\dfrac{-(p + 8)}{1}$ $48 = p + 8$ $p = 40$ $p - 36 = 40 - 36 = 4$

jawab: C.

$52.$ Misalkan suku banyak $f(x)$ habis dibagi $x - 9$ dan $f(x)$ dibagi $x - 16$ bersisa 2. Jika sisa pembagian $f(x^2)$ oleh $x^2 - x - 12$ adalah $S(x)$, maka $S(1) =$ . . . . $A.\ -\dfrac87$ $B.\ -\dfrac47$ $C.\ 0$ $D.\ \dfrac47$ $E.\ \dfrac87$ [Soal SIMAK UI Matematika IPA 2019]

[Soal dan Pembahasan Suku Banyak]

Misalkan: $f(x) = (x - 9)(x - 16)H(x) + ax + b$ $f(9) = 9a + b = 0$ $f(16) = 16a + b = 2$ $......................\ -$ $7a = 2$ $a = \dfrac27$ $b = -\dfrac{18}{7}$ $f(x) = (x - 9)(x - 16).H(x) + \dfrac27x - \dfrac{18}{7}$ $f(x^2) = (x^2 - 9)(x^2 - 16).H(x^2) + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$ $f(x^2) = (x + 3)(x - 3)(x + 4)(x - 4).H(x^2)$$ + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$ $f(x^2) = (x + 3)(x - 4)(x - 3)(x + 4).H(x^2)$$ + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$ $f(x^2) = \underbrace{(x^2 - x - 12)(x - 3)(x + 4).H(x^2)}_{habis\ dibagi\ x^2 - x - 12}$$ + \dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7}$ $\dfrac{f(x^2)}{(x^2 - x - 12)} = \dfrac{(\dfrac27x^2 - \dfrac{18}{7})}{(x^2 - x - 12)}$

jawab: E.