Apa itu diferensial derivatif turunan fungsi

FUNGSI TURUNAN (DERIVATIF)

Definisi

Contoh:

Contoh :

Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

Sifat-Sifat Turunan Jika ksuatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam sehingga u f() dan v g() maka berlaku:

Contoh:

Contoh Diferensial Perkalian Fungsi f() (3 6) ( + ) Cara 1: Misal : U 3 6 U 1 6 6 V + V 1 1 Sehingga: f 1 () (6 6)(+)+(3 +6).1 f 1 () 6 +1 6 1+3 6 f 1 () 9 1

Contoh :

Contoh Diferensial Pembagian Fungsi f() 3+ Misal U : 4-1 3+ U 1 V 3 4-1 V1 4 Maka : f f f f 1 1 1 1 () () () U 1 V - V 3(4 16 UV 1 1) (3 + )4 (4 1) 1 3 1 8 () 16 8 + 1 11 8 + 1

Diferensial Fungsi Komposit

Tentukan turunan dari fungsi f() (5 1) Jawab : f 1 () (5 1) (10) f 1 () 0 (5 1) f 1 () 100 3 0

Turunan Fungsi Trigonometrik jika f() cos, jika f() sin, jika f() tg, jika f() ctg, jika f() sec, jika f() cosec, maka f () sin maka f () cos maka f () sec maka f () cosec maka f () sec tg maka f () cosec ctg

Contoh: Tentukan turunan fungsi y 5 cos ( 1) Jawab: y -5 sin u () -10 sin ( 1) Tentukan turunan fungsi y sin ln Jawab: y (cos ln ) 1/ 1/ cos ln

Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus)

Turunan Fungsi Logaritma Jika y a log, maka dy 1 ln a contoh: y 5 log, dy 1 ln a 1 ln5

Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik Jika y a log u, dimana u g(), maka : a dy log e du u 3 contoh: y log + ( 3) misalkan : u ( + ) a dy log e du u log e 5 3 ( + ) + du 5log e ( 3)( + ) ( + ) ( 3) ( + ) 5log e ( 6) 5 ( + )

Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat Jika y ( a logu) n, dimana u g() dan n adalah konstanta, maka : a dy dy log e du du u 3 contoh : y (log 5 ) du misalkan u 5 10 dy log e 3(log 5 ) (10) 5 30(log 5 5 ) log e 6 (log 5 ) log e

Diferensiasi fungsi logaritmik-napier Jika y ln, maka dy/ 1/ Contoh : y ln 5, dy/ 1/ 1/5

Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier 6) ( 5 ) ( 5 3) ( ) ( 1 ) ( 5 ) ( 3) ( misalkan : 3 ln contoh: 1 + + + + + du u dy du u y du u dy

Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat Jika y (ln u) n, dimana u g() dan n : konstanta Maka : dy dy 1 du du u contoh : y (ln 5 du misalkan u 5 10 dy 1 6 3(ln 5 ) (10) 5 ) 3 (ln 5 )

Turunan Fungsi Eksponensial

Contoh: Tentukan turunan fungsi dari y 5 Jawab : dy a ln a 5 ln 5 Dalam hal y e,maka dy e juga, sebab ln e 1

Diferensasi fungsi komposit - eksponensial Jika y a u dimana u g(), maka : dy dy a a u Contoh: Kasus u ln y ln a a du 9 3 du 4 9 misalkan 3 4 Khusus :dalam hal (ln 9)(6) y u e 3 u 4 (6)9,maka dy 3 du 4 e u 6 ln 9 du

Diferensiasi fungsi kompleks Jika y u v, dimana u g() dan v h() Maka : dy contoh : dy vu vu ( 3 16 4 v 1 y v 1 )4 3 3+ du + u 4 + 3 1 3 du + u (4) + 4 + 1,misalkan : u v v (4 + 3ln 4) 3 dv ln u dv ln u + 3 ln 4 v 4 3 ln 4(3 du/ dv/ ) 4 3

Diferensiasi fungsi balikan Jika y f() dan g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse functions) Maka : dy contoh: y dy dy 1 dy / 3, inversnya 1 dy / y /3 3 1 3 y 1/3 1 3( y 1/3 ) 1 3y /3

Soal:... 3 4 f() ) +... 6 (3 4) 1 f() 3) 4 3 ) ( 1) 4 + f f 4 1 ) ( ) 4 + ) )( (3 ) ( 5) 1 + f 4 4 4 ) ( 6) + + f ) 3 log( ) ( 7) + f 3 7) log( ) ( ) 8 f ) ln( ) ( 9) + f f sin ) ( ) 10

Diferensiasi Implisit Jika f (, y)0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/ dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari contoh : 4y 8y ( 8y + ) dy dy + 4y + y dy 4y 8y + 0, tentukan + 4y dy y 4y + 1 0 dy

Diferensiasi Implisit

Contoh:

Contoh: Tentukan turunan implisit dari y + sin (y) 5

Contoh:

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: f(t) y g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari f(t) dibentuk t h() dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y g(t) g(h())

Contoh:

Soal: Tentukan turunan fungsi implisit dari 3 y 7y + 1 0 Tentukan turunan fungsi implisit dari Tentukan turunan kedua dari fungsi parameter : t + t 3 Y 3t t

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan fungsi. Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Turunan fungsi mempunyai aplikasi di semua bidang kuantitatif, salah satunya di bidang ekonomi, fisika, dan lain-lain.

Dengan menggunakan turunan, kita bisa mengekspresikan dengan mudah bagaimana perubahan satu variabel (misalnya, ) menentukan perubahan variabel lain (misalnya, ). Meskipun kita dapat menyatakan hubungan antara dan sebagai fungsi

, tapi seringkali tidak mudah untuk menganalisa perubahannya secara implisit. Oleh karena itu, akan jauh lebih mudah untuk menghubungkan secara eksplisit bagaimana perubahan , dilambangkan

, menyebabkan perubahan pada ,

Misalkan terdapat 2 variabel yang saling berhubungan yang dinyatakan sebagai

Bila berubah dari
ke
, nilai perubahannya dinyatakan sebagai
.
Dengan cara yang sama, bila
berubah ke
, maka nilai fungsi
juga berubah menjadi
.

Dapat dinyatakan tingkat perubahan rata-rata (average rate of change) dari

adalah

dengan

. Formula tersebut juga sering disebut dengan hasil bagi perbedaan (difference quotient). Lebih lanjut, dapat kita interpretasikan juga sebagai kemiringan garis potong (slope of secant line).