Apa yang anda ketahui tentang fungsi linear

By Akulin Giyai on March 05, 2018

Fungsi adalah suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara satu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas adalah variabel yang menjelaskan variabel lainnya. Adapun Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas. Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun. Contoh: y = 10x + 6 Keterangan: x = Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain y = Variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain 10 = adalah koefisien variabel x 6 = adalah konstanta Contoh: y = x + 1 Keterangan: x = Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain y = Variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain 1 = adalah koefisien variabel x 1 = adalah konstanta Contoh: y = 9x Keterangan: x = Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain y = Variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain 9 = adalah koefisien variabel x 0 = adalah konstanta

Pengertian Fungsi Linear

Fungsi linier adalah suatu fungsi polinom yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus.

Bentuk umum fungsi linear adalah sebagai berikut:

f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c dimana, m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta Contoh : y = 5 + 7x y=2x+5y=-3x+2

Membuat Kurva Fungsi Linear

Adapaun cara membuat kurva linear diantaranya:

a. Dengan cara sederhana yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y.

Contoh : y = 6 + 2x Berikut ini adalah tabel yang diperoleh dari fungsi di atas

Setelah dibuat tabelnya, selanjutnya titik-titik tersebut dihubungkan agar menghasilkan garis pada suatu kurva seperti berikut ini

b. Dengan cara matematis yaitu dengan mencari titik potong untuk sumbu x dan juga sumbu y. Langkah-langkah membuat grafik fungsi linier dengan cara matematis: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A[$x_1$, 0] 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B[0, $y_1$] 3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus. Contoh: Misalkan diketahui y = 6 - 2x. Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu: 1. Titik potong fungsi dengan sumbu y, x = 0, maka y = 6. Jadi titiknya adalah A(0,6) 2. Titik potong fungsi dengan sumbu x, y = 0, maka x = 3. Jadi titiknya adalah B(3,0) Dengan menggunakan kedua ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi y = 6 + 2x seperti terlihat pada gambar berikut:

Bentuk Kurva Suatu Fungsi Apabila persamaan linearnya sebagai berikut: y = ax + b maka berikut ini merupakan cara agar mudah memahami gambar. 1. Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atas Contoh: y = x + 1 Grafiknya sebagai berikut:

2. Jika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah Contoh: y = x - 1 Grafiknya sebagai berikut:

3. Jika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x Contoh: y = 4x Grafiknya sebagai berikut:

Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Gradien adalah koefisien yang menentukan arah garis fungsi linier, biasanya koefisien ini melekat pada variabel x. Jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah maka nilai gradiennya negatif dan juga sebaliknya. Contoh: y = -x + 3 Jika x = 0 → y = 3, koordinat [0,3] Jika y = 0 → x = 3, koordinat [3,0] *Catatan: a. Garis lurus yang melalui titik A[$x_1$, $y_1$] dan B[$x_2$, $y_2$] memiliki gradien m. Diperoleh nilai m-nya dari rumus berikut:

b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A[$x_1$, $y_1$] dan B[$x_2$, $y_2$] adalah sebagai berikut.

c. Persamaan garis lurus yang bergradien m dan melalui titik A[$x_1$, $y_1$], fungsinya adalah:

Hubungan Dua Garis Lurus 1. Dua garis lurus yang sejajar. Sejajar akan terjadi apabila kemiringan garis yang satu sama dengan kemiringan garis yang lain $(m_{1}=m_{2})$. 2. Dua garis lurus yang berhimpit. Berhimpit akan terjadi apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. $y_{1}=mx_{1}+b_{1}$ akan berimpit dengan $y_{2}=mx_{2}+b_{2}$ , jika $y_{1}=n.y_{2}$ ; $a_{1}=n.a_{2}$ ; $b_{1}=n.b_{2}$. 3. Dua garis lurus yang berpotongan. Dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain $(m_{1}\neq m_{2})$. 4. Dua garis lurus yang tegak lurus. Tegak lurus akan terjadi apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan $(m_{1}= \frac{1}{m_{2}})$ atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan nilai –1 $(m_{1}\times m_{2}=-1)$.

Contoh

Soal: Diketahui fungsi linear f : x -> f(x) = ax + bdengan nilai f(0) = 2 dan nilai f(3) = 8. a. Hitunglah nilai a dan b. Kemudian tuliskan rumus untuk fungsi f(x) b. Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu x maupun sumbu y

c. Gambarkanlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal

Pembahasan

Jawaban a f(x) = ax + b saat f(0) = 2, akan diperoleh: 0 + b = 2 b = 2 saat f(3) = 8, akan diperoleh: 3(a) + b = 8 3a + b = 8 3a + 2 = 8 3a = 6 a = 2 Karena nilai a = 2 dan b = 2, maka rumus untuk fungsi f(x) adalah sebagai berikut f(x) = ax + b f(x) = 2x + 2

Jawaban b

y = f(x) = 2x + 2 Titik potong dengan sumbu x diperoleh apabila nilai y = 0 y = 2x + 2 0 = 2x + 2 2x = -2 x = -1 Sehingga koordinat titik dimana y = 0 adalah [-1, 0] Titik potong dengan sumbu y diperoleh apabila nilai x = 0 y = 2x + 2 y = 2(0) + 2 y = 0 + 2 y = 2 Sehingga koordinat titik dimana x = 0 adalah [0, 2] Dengan demikian, kurva grafik fungsi y = f(x) = 2x + 2 akan memotong sumbu x di titik [-1, 0] dan memotong sumbu Y di titik [0, 2].

Jawaban c

Karena titik potong pada sumbu-x dan sumbu-y sudah diketahui, maka kita dapat melukiskan grafik fungsi y = f(x) = 2x + 2 untuk x ∈ R pada bidang Cartesius. Gambar grafik fungsi tersebut adalah sebagai berikut.

Semoga Bermanfaat

Fungsi : hubungan antara satu variable dengan variable lain yang masing-masing variable tersebut saling mempengaruhi.

Variable / peubah : suatu besaran yang didalam suatu permasalahan nilainya dapat berubah-ubah.

Variable bebas ( independent variable ) : peubah yang nilainya tidak tergantung pada peubah lain dan nilai peubah ini akan menentukan nilai fungsi yang bersangkutan.

Variable tergantung ( dependent variable ) : peubah yang nilainya tergantung pada peubah yang lainnya.

· Fungsi Linear

Merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari variable bebasnya adalah 1.

Bentuk umumnya adalah :

y = ax + b

Dimana a = koefisien arah

b = konstanta yang merupakan titik potong pada sumbu y

x = variable bebas

y = variable tergantung

· Penggambaran Fungsi Linear

1. cara daftar

digunakan untuk melihat perubahan nilai angka dari peubah bebas dab peubah tergantungnya. Contoh :

y = 2x + 10

2. cara matematis

Dengan cara mencari ciri matematis dari persamaan yang bersangkutan.

Y = 2x + 10

Titik potong sumbu y apabila x = 0 maka y = 2 (0) + 10

= 10

Sehingga titik potong pada sumbu y = ( 0,10 )

Titik potong sumbu x apabila y = 0 maka 0 = 2x + 10

- 2x = 10

x = - 5

sehinnga titik potong pada sumbu x = ( -5,0 )

· Mencari fungsi linear

a. metode dua titik (dwi koordinat )

merupakan metode pembentukan persamaan linear ( garis lurus ) dari dua buah titik yang diketahui

( Y – Y1) = ( X – X1 )

(Y 2 – Y1) (X2 – X1)

Contoh buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A (4,2) dan B (2,6)

Titik A (4,2) X1 = 4 Y1 = 2

Titik B (2,6) X2 = 2 Y2 = 6

(Y - 2) = (X - 4)

(6 - 2) ( 2 – 4)

(Y – 2) = (X – 4)

(4) (-2)

-2y + 4 = 4x – 16

-2y = 4x – 20

y = -2x + 10

b. metode titik potong sumbu

digunakan untuk kasus tertentu, yaitu jika suatu titik A (x1,y1) merupakan titik potong sumbu Y, misalnya pada titik (0,b) dan titik B (x2,y2) merupakan titik potong sumbu x misalnya pada (a,0) maka persamaan garisnya dapat dibentuk sbb:

y / b – 1 = -x / a

y / b + x / a = 1

contoh :

apabila diketahui suatu garis dengan titik potong sumbu y adalah (0,6) dan titik potong sumbu x adalah (4,0), carilah persamaan garisnya

y / b – 1 = x / a

y / b + x / a = 1

y / 6 + x / 4 = 1 x 12

12y / 6 + 12x / 4 = 12

2y + 3x = 12

2y = -3x + 12

y = -3/2 x + 6

c. metode kemiringan garis dan titik

apabila diketahui suatu titik A (x1,y1) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang memiliki kemiringan m, maka persamaannya adalah :

y – y1 = m (x – x1) persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan kemiringan sebesar m. contoh

carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan kemiringan -3

y – y1 = m(x – x1)

y – 2 = -3(x – 4 )

= -3x + 12

y = -3x + 14

d. metode kemiringan garis dan titik potong sumbu

apabila diketahui suatu titik yang berkoordinat (0,b) merupakan titik potong dengan sumbu y sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m, maka persamaan garis tersbut adalah y = mx + b, merupakan persamaan garis yang melalui titik potong sumbu y dengan kemiringan m, contoh :

apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y pada (0,-4) dan kemiringannya 5 maka bagaimana persamaan garisnya :

y = mx + b

y = 5x – 4