belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada matriks juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal matriks dan menemukan solusinya.
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa "$(\ \ )$" atau kurung siku "$[\ \ ]$".
Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Umumnya penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.
Soal-soal yang berkembang pada matriks sering juga dikaitkan dengan materi matematika lainnya, seperti: Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks. Soal berikut yang kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). $a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$ $\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{9} \\
(D)\ & \dfrac{4}{9} \\
(E)\ & 1
\end{align}$ Sekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$. Eksplorasi yang kita lakukan yaitu: $\begin{align}
A^{-1} &= A^{T} \\
& \text{(*kalikan dengan matriks A)} \\
A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\
I & = A \times A^{T} \end{align}$ Sehingga kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\
-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1 \end{bmatrix}$ dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left (pers. 1 \right )$
$\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left (pers. 2 \right )$
$\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left (pers. 3 \right )$ Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan, maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$ 2. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 |*Soal LengkapJika $A=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ maka $x+y=...$ $\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & 19 \\ (D)\ & 23 \\ (E)\ & 25Alternatif Pembahasan: Untuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan, $A^{2}=A\times A$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}$ $xA=\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}$ $yI=\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$ Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya: $\begin{align} 18-2x+0 &= 0 \\ 18 &= 2x \\ 9 &=x \\ \hline 31-5x+y &=0 \\ 31-45+y &=0 \\ -14+y &=0 \\ y &=14 \\ \hline x+y &= 23 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 23$ 3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix}Alternatif Pembahasan: $C=A+B$ $C=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{(5)(2)-(5)(1)}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ 4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$; $C=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$; dan $D=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 31Alternatif Pembahasan: $CD=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} (1)(-1)+(-3)(-2) & (1)(2)+(-3)(1)\\ (4)(-1)+(2)(-2) & (4)(2)+(2)(1) \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} -1+6 & 2-3\\ -4-4 & 8+2 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=2\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=CD$ $\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$. Nilai $2a+\frac{1}{2}b$ $ \begin{align} 2a+\frac{1}{2}b & = 2(5)+\frac{1}{2}(14) \\ & = 10+7 \\ & = 17 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$ 5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}Alternatif Pembahasan: $C=AB$ $C=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 9 & -1\\ 15 & -5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{(9)(-5)-(15)(-1)}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$ 6. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal LengkapAgen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini:Alternatif Pembahasan: Dengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini; $5x+4y=3.100.000$ $6x+5y=3.000.000$ $\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3.100.000 \\ 3.000.000 \end{pmatrix}$ Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks; $\begin{align} A \cdot X & = B \\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ X & = A^{-1} \cdot B \\ \end{align} $ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 3.100.000 \\ 3.000.000 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{(5)(5)-(6)(4)}\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3.100.000 \\ 3.000.000 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3.100.000 \\ 3.000.000 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3.100.000 \\ 3.000.000 \end{pmatrix}$ 7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix}$. maka nilai $ab$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 16Alternatif Pembahasan: $\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+1 & a\\ ab+2 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ ab+2 & = 14 \\ ab & = 12 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$ 8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}$, Jika $A=A^{-1}$, nilai $|a-d|$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: $\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix} d & 3\\ -1 & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\ \dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3} \end{pmatrix}$ Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah... $ \begin{align} \dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\ -1 & = ad+3 \\ ad & = -1-3=-4 \end{align} $ $ \begin{align} a & = \dfrac{d}{ad+3} \\ a & = \dfrac{d}{-4+3} \\ a & = -d \\ ad & = -4 \\ (-d)d & = -4 \\ -d^{2} & = -4 \\ d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2 \end{align} $ Untuk $d=2$ maka $a=-2$ Untuk $d=-2$ maka $a=2$ Nilai $|a-d|=|2-(-2)|=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$ 9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 |*Soal LengkapDiketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0Alternatif Pembahasan: Untuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol. $0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$ Persamaan garis $l$ adalah $(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$ $(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$ $ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$ $ 1-y-x=0$ $ 1-x=y$ Persamaan garis yang sejajar ($m_{1}=m_{2}$) dengan garis $l$ melalui $(3,4)$ adalah: $\begin{align} m & = -1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -1(x-3) \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+y-7=0$ 10. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 |*Soal LengkapDiketahui $P=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0Alternatif Pembahasan: Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=|PQ|$ $\begin{align} m & = |PQ| \\ & = \left | \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right | \\ & = \begin{vmatrix} -1 & -4\\ 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = 6-0=6 \end{align}$ Titik $A$ $\begin{array}{c|c|cc} 2x-y = 4 & (\times 2) \\ 3x-2y = 5 & (\times 1) \\ \hline 4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & (-) \\ \hline x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 3(3)-2y = 5 & \\ y = 2 \end{array} $ Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$ $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 6(x-3) \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6x-y-16=0$ 11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal LengkapNilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah... $\begin{align} (A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}Alternatif Pembahasan: Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$ $\begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$. Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$. Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ 12. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$, $b \neq 0$ dan $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ memenuhi $A \cdot A=A+I$, maka $b^{2}=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Karena matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku: $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & ab+ab\\ ab+ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & 2ab \\ 2ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \hline 2ab & = b \\ a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\ a^{2}+b^{2} & = a+1 \\ b^{2} & = a+1-a^{2} \\ & = \dfrac{1}{2}+1-\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2} \\ & = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{5}{4}$ 13. Soal SBMPTN 2014 Kode 643 |*Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, maka nilai $z-x$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -6Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1-1+0 & -x -y+0\\ 1+1+0 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & -x -y \\ 2 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} -x-y=2 & \\ -x+y+2z = 4 & (+) \\ \hline -2x+2z = 6 & \\ -x+z = 3 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$ 14. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 |*Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ dengan $x \neq \dfrac{1}{2}$, maka nilai $\dfrac{1}{2}x+y=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Kita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$. $\begin{align} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2y+x \\ -y+x^{2} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$ 15. Soal SBMPTN 2014 Kode 601 |*Soal LengkapJika $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix}=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Invers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $\begin{align} P & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ P^{-1} & = \frac{1}{(1)(3)-(2)(1)}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$ 16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B$ memiliki invers, dan $ \left( AB^{-1} \right)^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ maka matriks $B=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -5 \end{pmatrix}Alternatif Pembahasan: Sifat perkalian invers pada matriks berlaku $(AB)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$. $\begin{align} \left( AB^{-1} \right)^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot A \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2+1 & 3-1 \\ 6+0 & 9+0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ 17. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, dan $B= \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix}$. Jika determinan $AB$ adalah $10$, maka $xy=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 12Alternatif Pembahasan: $\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{pmatrix} \\ |AB| & = \begin{vmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{vmatrix} \\ 10 & = (1+2x)(3y+12)-(y+6)(3+4x) \\ 10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\ 10 & = 2xy -6 \\ 10+6 & = 2xy \\ 8 & = xy \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$ 18. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 |*Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dengan $b^{2} \neq 2a^{2}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ax+bx+by \\ bx+2ax+2ay \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} ax+bx+by=a & (\times b)\\ bx+2ax+2ay=b & (\times a) \\ \hline abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\ abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & (-) \\ \hline b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\ \left( b^{2} -2a^{2} \right) x+ \left( b^{2} -2a^{2} \right)y=0 \\ \left( b^{2} -2a^{2} \right) \left( x+y \right) =0 \\ \left( x+y \right) = \dfrac{0}{\left( b^{2} -2a^{2} \right)} \\ \left( x+y \right) = 0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$ 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7Alternatif Pembahasan: $\begin{align} A+B &= C^{t} \\ \begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+9 & -2+3x \\ x+8 & 3y-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$ 20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal LengkapJumlah semua entri pada matriks $X$ dari sistem persamaan berikut adalah... $3X-2Y=\begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix}$ $2X-5Y=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{13}{11} \\ (B)\ & \dfrac{9}{11} \\ (C)\ & \dfrac{8}{11} \\ (D)\ & \dfrac{5}{11} \\ (E)\ & \dfrac{4}{11}Alternatif Pembahasan: Matriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ $\begin{align} 3X-2Y &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ 3\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3a-2c & 3b-2d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \hline 2X-5Y &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ 2\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 2a-5c & 2b-5d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{4}{11}$ 21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal LengkapDiberikan matriks $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ berikut ini. $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$; $D=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Jika $x,\ y,\ z,\ \text{dan}\ w$ secara berurutan adalah jumlah entri-entri pada matriks $A^{2013},\ B^{2013},\ C^{2013},\ \text{dan}\ D^{2013}$, pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah... $\begin{align} (1)\ & w-1=y^{2013} \\ (2)\ & z=3y^{2012} \\ (3)\ & 4z=3x \\ (4)\ & 2w-x=2Alternatif Pembahasan: Sebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$ $\begin{align} A^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(8)\\ A^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(16) \\ A^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix} 16 & 15 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(32) \\ x &= 2^{2013+1} \\ \hline B^{2} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(2) \\ B^{3} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(2) \\ y &= 2 \\ \hline C^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=(6) \\ C^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=(12) \\ C^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 8 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=(24) \\ z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\ \hline D^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(5) \\ D^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(9) \\ D^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=(17) \\ w &= 2^{2013}+1 \\ \end{align}$ Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1),\ (2),\ (3),\ (4),\ \text{BENAR}$ 22. Soal UM UNPAD 2009Apabila transpose dari matriks $X=\left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right )$ sama dengan invers dari $X$, maka nilai dari determinan $X$ yang mungkin adalah... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: $\begin{align} X &= \left ( \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right ) \\ \left| X \right| &= 2008y-2009x \end{align}$ Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$. Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left| A^{t} \right| = \left| A \right|$ dan $ \left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$ dapat kita simpulkan: $\begin{align} X^{-1} &= X^{T} \\ \left| X^{-1} \right| &= \left| X^{T} \right| \\ \dfrac{1}{\left| X \right|} &= \left| X \right| \\ \dfrac{1}{\left( 2008y-2009x \right)} &= \left( 2008y-2009x \right) \\ 1 &= \left( 2008y-2009x \right)^{2} \\ \pm 1 &= 2008y-2009x \\ \pm 1 &= \left| X \right| \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{atau}\ -1$ 23. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapMatriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $(I)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & A^{2} \\ (B)\ & B^{2} \\ (C)\ & C^{2} \\ (D)\ & A \cdot D^{2} \\ (E)\ & A \cdot C^{2}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu;
$\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\ I \cdot C & = C^{-1} \\ C & = C^{-1} \\ C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\ C^{2} &= I \end{align}$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\ I \cdot D^{-1} & = D \\ D^{-1} & = D \\ D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\ I & = D^{2} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ C^{2}$ 24. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -4Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu; Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ $det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $ invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $ $\begin{align} \begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(a-b)-0} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$ 25. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapJika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}Alternatif Pembahasan: $ \begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right) \end{align} $ Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b \\ c-d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \hline M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+b \\ 2c+d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh; $\begin{array}{c|c|cc} a-b = -1 & c-d = 5 & \\ 2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\ \hline 3a = 3 & 3c = 12 \\ a = 1 & c = 4 \\ b = 2 & d = -1 \end{array} $ $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ 26. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A =\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10Alternatif Pembahasan: Jika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} A & = 2B^{T} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$ 27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal LengkapDiketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 6Alternatif Pembahasan: Berdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku: $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+4b & a-2b\\ 2+12 & 1-6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \end{align} $ $\begin{array}{c|c|cc} 2a+4b = 8 & \times 1 \\ a-2b = 12 & \times 2 \\ \hline 2a+4b = 8 & \\ 2a-4b = 24 & (+)\\ \hline 4a=32 \\ a=8 \\ b=-2 \end{array} $ Nilai $2a-b=2(8)-(-2)=18$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 18$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^{4}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 81Alternatif Pembahasan: Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku: $\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \left| A^{2} \right| &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\ \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{n} \right| = \left | A \right | ^{n}$ maka: $\begin{align} \left| A^{4} \right| &= \left| A^{2} \right|^{2} \\ &= 4^{2} =16 \end{align} $$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$ 29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Jika $B-A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka $det \left( 2A^{-1} \right)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Berdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku: $\begin{align} B-A &=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ B-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1-2 & 3-(-1)\\ 0-1 & 2-0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} &= A \\ (-3)(2)-(-1)(4) &= \left| A \right| \\ -2 &= \left| A \right| \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left | A \right |}$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $maka: $\begin{align} \left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$ 30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left( 2A^{-1} \right)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Berdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \left|A \cdot B \right| = \left|A \right| \cdot \left| B \right|$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku: $\begin{align} \left|B \right| &= \begin{vmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= (-3)(2)-(-1)(5)=-1 \\ \left|C \right| &= \begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\ &= (4)(3)-(5)(2)=2 \\ \hline B \cdot A &=C \\ \left|B \cdot A \right| &= \left| C \right| \\ \left|B \right| \cdot \left| A \right| &= \left| C \right| \\ -1 \cdot \left| A \right| &= 2 \\ \left| A \right| &= -2 \\ \hline \left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku: $\begin{align} A^{3}+B &= C \\ A^{3} &= C-B \\ &= \begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7-2 & 2-(-1)\\ 0+3 & 4-2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -9 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \left| A^{3} \right| &= (-9)(2)-(3)(3) \\ \left| A \right|^{3} &= -27 \\ \left| A \right| &= -3 \\ \hline \left| 3 A^{-1} \right| &= 3^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\ &= -3 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$ 32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix}Alternatif Pembahasan: Hubungan matriks: $\begin{align} A & \Leftrightarrow B \\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} $ Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat. $\begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \hline C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$ 33. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*Soal LengkapSuatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut.Alternatif Pembahasan: Jika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini:
Ketiga persamaan yang kita dapat di atas adalah persamaan linear tiga variabel, dimana jika penulisan kita rubah dalam bentuk matrks menjadi: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$ Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$ 34. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 7 & -9 \\ 10 & -2 \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $X=A+2B-C^{T}$, dengan $C^{T}$ merupakan transpose matriks $C$. Invers matriks $X$ adalah... $ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: $ \begin{align} X = & A+2B-C^{T} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 & 14 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4+6-7 & -2+14-10 \\ 1-4+9 & 5-8+2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $ \begin{align} X^{-1} = & \dfrac{1}{(3)(-1)-(-2)(-6)} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ 35. Soal UNBK Matematika IPS 2019 |*Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$ dan $C^{T}$ adalah transpose matriks $C$. Jika $3A-B=C^{T}$, nilai dari $-3x+y+5z$ adalah...Alternatif Pembahasan: $ \begin{align} C^{T} = & 3A-B \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y & -6 \\ 3z & 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y-2 & -6-y-2 \\ 3z-1 & 12-z+x \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14$ 36. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: $ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ 0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \left(t+1 \right)^{2} \\ & t=-1 \\ t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$ 37. Soal UM UGM 2004 |*Soal LengkapJika $M$ matriks berordo $2 \times 2$ dan $M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix}$, maka matriks $M^{2}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix}$ 38. Soal UM UGM 2004 |*Soal LengkapHasil kali matriks $A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix}$ 39. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal LengkapJika matriks $X$ memenuhi $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. maka invers dari matriks $X$ adalah $X^{-1}=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}$ 40. Soal UM UGM 2004 |*Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $p+q+r+s=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh: Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$ 41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 |*Soal LengkapJika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\left(BA^{-1} \right)^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan bantuan sifat invers matriks $\left( A \cdot B \right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left( A^{-1} \right)^{-1}=A$ dapat kita peroleh: $\begin{align} \left(BA^{-1} \right)^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \left(A^{-1} \right)^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} (2)(3)+(1)(-2) & (2)(-1)+(1)(1) \\ (4)(3)+(3)(-2) & (4)(-1)+(3)(1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$ 42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 |*Soal LengkapDiketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh: $\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ (-5)-(-6)} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(3)-(2)} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (-5)(7)+(-2)(5) & (-5)(2)+(-2)(1) \\ (3)(7)+(1)(5) & (3)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$ 43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 |*Soal LengkapJika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...Alternatif Pembahasan: Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh: $\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$ 44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 |*Soal LengkapJika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah...Alternatif Pembahasan: Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:
Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$ 45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 |*Soal LengkapJika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah...Alternatif Pembahasan: Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:
Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$ 46. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah...Alternatif Pembahasan: Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan: $\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{(a)(1)-(1-a)(0)} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$ 47. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left| a-b \right|=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh: $\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(a)+(1)(1) \\ (-2)(a)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$ 48. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal LengkapTranspos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh: $\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(2)(3)-(1)(7)}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} (2)(4)+(-7)(1) \\ (-1)(4)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$ 49. Soal UM UGM 2004 |*Soal LengkapJika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh: dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$ 50. Soal UM UGM 2004 |*Soal LengkapBila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...Alternatif Pembahasan: Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan. $\begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$ 51. Soal SPMB 2005 Regional III |*Soal LengkapJika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh: $\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2(x-3)(x-1) &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 3$ 52. Soal SPMB 2005 Regional I |*Soal LengkapJika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh: $\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} (p)(p)+(-q)(q) \\ (-q)(p)+(p)(q) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$ 53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal LengkapMatriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left| A \right| = 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(1-x)-(1)(-2) & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 2$ 54. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal LengkapAgar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left| A \right| \neq 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ (p-1)(p+1)-(p-q)(p+q) & \neq 0 \\ p^{2}-1- \left(p^{2}-q^{2} \right) & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left( q+1 \right)\left(q-1 \right) & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$ 55. Soal SPMB 2005 Kode 772 (Regional I) |*Soal LengkapJika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2p+3q$ 56. Soal SPMB 2005 Kode 171 (Regional III) |*Soal LengkapJika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\left(P^{-1} \right)^{2}$ sama dengan matriks $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan: $\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)-(-x)(x)} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \left(P^{-1} \right)^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (1-x)^{2}-x^{2} & (1-x)(-x)-x(1+x) \\ x(1-x) + x(1+x) & -x^{2}+(1+x)^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$ 57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$Alternatif Pembahasan: Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$. Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh: $\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$ 58. Soal SPMB 2006 Kode 111 (Regional I) |*Soal LengkapJika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh: $\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{(k)(0)-(1)(1)} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(k) \\ (-1)(0)+(k)(k) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 2-k \right)\left( 1+k \right)$ 59. Soal SPMB 2006 Kode 411 (Regional I) |*Soal LengkapJika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah...Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku:
$\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b (b-a)}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( (b-a) \right) \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right)$ 60. Soal SPMB 2006 Kode 310 (Regional II) |*Soal LengkapJika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh: $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=(2)^{2}-(-1)(1)=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$ 61. Soal SPMB 2006 Kode 510 (Regional III) |*Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2}=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$. $\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$ 62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal LengkapApabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh: $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{(1)(3)-(-2)(-1)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (3)(-1)+(2)(2) \\ (1)(-1)+(1)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$ 63. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left( A+B \right)^{2}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left| A^{n} \right|=\left| A \right|^{n}$ dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$ 64. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal LengkapPada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$ 65. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ 66. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal LengkapDiketahui invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ Matriks $x$ yang memenuhi hubungan $AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$ 67. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal LengkapDiberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$. Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh. $\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$ 68. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$Alternatif Pembahasan: $\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$ 69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal LengkapDiberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$Alternatif Pembahasan: Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:
Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh: $\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$ 70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal LengkapJika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...Alternatif Pembahasan: $\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left| A^{T} A+BB^{T} \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= (3)(10)-(5)(5) \\ &= 30-25 =5 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa dari 60+ Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 |