Persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0, 0) dan melalui titik (3)

Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O(0,0) atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M(a,b). Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan M(a,b) mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu banyak Anda temui pemanfaatan bentuk lingkaran, misalnya ban sepeda. Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Titik tetap itu disebut pusat lingkaran dan jarak titik tetap itu ke titik tertentu disebut jari-jari lingkaran.

Lingkaran dapat dibuat pada bidang Cartesius, yang terdiri dari sumbu x dan sumbu y. Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O(0,0) atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M(a,b). Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan M(a,b) mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.

Perhatikan Gambar 1 di mana lingkaran berpusat pada O(0,0) dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P(x,y) terletak pada lingkaran. Menurut definisi:

Gambar 1. Lingkaran berpusat di O(0,0) dan jari-jari r

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan mempunyai jari-jari r adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan (i) berjari-jari 4; (ii) melalui titik (3,-2).

Pembahasan:

Persamaan lingkaran pada (i) adalah \(x^2+y^2=16\) (r=4)

Pada (ii), persamaan lingkaran \(x^2+y^2=r^2\) melalui titik (3,-2) sehingga x = 3 dan y = -2. Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu, yaitu:

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3,-2) adalah \(x^2+y^2=13\).

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M(a,b) dan Jari-jari r.

Amati Gambar 2 di mana Lingkaran berpusat pada M(a,b) dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P(x,y) terletak pada lingkaran.

Gambar 2. Lingkaran berpusat di M(a,b) dan jari-jari r

Menurut definisi:

Jadi, persamaan garis lingkaran yang berpusat di M(a,b) dan jari-jari r adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan (i) berjari-jari 5; (ii) melalui titik (2,1).

Pembahasan:

Persamaan lingkaran pada (i) adalah

Persamaan lingkaran pada (ii) melalui titik (2,1) sehingga \(x = 2\) dan \(y = 1\). Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu yakni

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan melalui titik (2,1) adalah

\[ (x-4)^2+(y+3)^2=20 \]

Persamaan Umum Lingkaran

Lingkaran mempunyai persamaan umum, yaitu:

Titik pusatnya adalah (-A, -B) dan jari-jarinya adalah r yakni

Bukti:

Jika bentuk umum persamaan lingkaran yang digunakan adalah \[ x^2+y^2+Ax+By+C=0 \] maka pusat lingkarannya adalah

dan jari-jarinya adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 3:

Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan:

Pembahasan:

Persamaan lingkaran \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) merupakan bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu \(x^2+y^2+2Ax+2By+C=0\). Dengan membandingkan letak nilai yang bersesuaian diperoleh:

Sehingga pusat lingkaran (-A,-B) = (2,-3) dan jari-jari lingkaran (r) adalah

Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan: \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) adalah (2,-3) dan 5.

Contoh 4:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,2), (-1,6) dan (-1,2).

Gambar 3. Lingkaran yang melalui titik (3,2), (-1,6) dan (-1,2).

Pembahasan:

Misalkan persamaan lingkaran:

Jika melalui titik (3,2), maka

Jika melalui titik (-1,6), maka

Jika melalui titik (-1,2) maka

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh

Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh